19.2.3 一次函数与方程、不等式
第1课时
教材认知
1．一次函数与一元一次方程的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为__0__时，求自变量x的值．
2．一次函数与一元一次不等式的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可变形为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值__大于0或小于0__时，求自变量x的取值范围．
微点拨
1．一次函数与一元一次方程的关系：
方程ax＋b＝0(a≠0)的解 函数y＝ax＋b中，y＝0时x的值 函数y＝ax＋b与x轴交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式的关系：
ax＋b>0(或ax＋b<0)的解集 y＝ax＋b中，y>0(或y<0)时x的取值范围 直线y＝ax＋b在x轴上方(或下方)部分图象对应的x的取值范围．
基础必会
1．(甘肃武威质检)如图所示，已知点A(－1，2)是一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象上的一点，则方程kx＋b＝2的解是(B)
A．x＝2 B．x＝－1 C．x＝0 D．无法确定
2．(甘肃定西质检)如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋3>0的解集是(B)
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x≤2
3．若直线y＝kx＋b与x轴的交点坐标为(－3，0)，则关于x的方程kx＋b＝0的解是__x＝－3__．
4．若一次函数y＝3x－6的图象与x轴交于点(m，0)，则m＝__2__．
5．(宁夏中卫质检)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式k2x＜k1x＋b的解集为__x＞－2__．
6．已知关于x的不等式kx－2>0(k≠0)的解集是x>－3，则直线y＝－kx＋2与x轴的交点是__(－3，0)__．
7．(新疆克拉玛依质检)给出的网格中画出一次函数y＝2x－3的图象，并结合图象求：
(1)方程2x－3＝0的解；
(2)不等式2x－3＞0的解集；
(3)不等式－1＜2x－3＜5的解集．
【解析】(1)由图象可知，方程2x－3＝0的解是x＝.
(2)由图象可知，不等式2x－3＞0的解集是x＞.
(3)由图象可知，不等式－1＜2x－3＜5的解集是：1＜x＜4.
8．如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a，2)，并且直线y＝kx＋b经过x轴上点B(2，0).
(1)求直线y＝kx＋b的解析式．
(2)求两条直线与y轴围成的三角形面积．
(3)直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集．
【解析】(1)当－x2≥0，即x2≤0时有意义，
而x2≥0，∴x2＝0，∴x＝0时，有意义．
(2)由题意，得解得－5≤x≤，
∴－5≤x≤时，－有意义．
(3)由题意，得解得≤x＜1，
∴当≤x＜1时，有意义．
能力提升
1．(内蒙古鄂尔多斯质检)如图所示，已知点A(－1，2)是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的一点，则下列判断中正确的是(D)
A．y随x的增大而减小 B．k>0，b<0
C．当x<0时，y<0 D．方程kx＋b＝2的解是x＝－1
2．(甘肃酒泉质检) 如图，已知一次函数y＝ax－1的图象过点(1，2)，则不等式ax－1>2的解集是__x>1__．
3．关于x的方程mx－3＝－4的解是x＝1，则直线y＝(m－2)x－3一定不经过第__一__象限．
4．(素养提升)(乌鲁木齐质检)某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式；
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
【解析】(1)设y甲＝k1x，根据题意得5k1＝100，解得k1＝20，
∴y甲＝20x；
设y乙＝k2x＋100，
根据题意得： 20k2＋100＝300，
解得k2＝10，
∴y乙＝10x＋100；
(2)①y甲当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算；
②y甲＝y乙，即20x＝10x＋100，解得x＝10，
当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样；
③y甲>y乙，即20x>10x＋100，解得x>10，
当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算．
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第1课时
教材认知
1．一次函数与一元一次方程的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次方程都可以变形为ax＋b＝0(a≠0)的形式，所以解一元一次方程相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值为__ __时，求自变量x的值．
2．一次函数与一元一次不等式的关系
因为任何一个以x为未知数的一元一次不等式都可变形为ax＋b>0或ax＋b<0(a≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y＝ax＋b的函数值__ __时，求自变量x的取值范围．
微点拨
1．一次函数与一元一次方程的关系：
方程ax＋b＝0(a≠0)的解 函数y＝ax＋b中，y＝0时x的值 函数y＝ax＋b与x轴交点的横坐标．
2．一次函数与一元一次不等式的关系：
ax＋b>0(或ax＋b<0)的解集 y＝ax＋b中，y>0(或y<0)时x的取值范围 直线y＝ax＋b在x轴上方(或下方)部分图象对应的x的取值范围．
基础必会
1．(甘肃武威质检)如图所示，已知点A(－1，2)是一次函数y＝kx＋b(k≠0)图象上的一点，则方程kx＋b＝2的解是( )
A．x＝2 B．x＝－1 C．x＝0 D．无法确定
2．(甘肃定西质检)如图，直线y＝kx＋3经过点(2，0)，则关于x的不等式kx＋3>0的解集是( )
A．x>2 B．x<2 C．x≥2 D．x≤2
3．若直线y＝kx＋b与x轴的交点坐标为(－3，0)，则关于x的方程kx＋b＝0的解是__ __．
4．若一次函数y＝3x－6的图象与x轴交于点(m，0)，则m＝__ __．
5．(宁夏中卫质检)直线l1：y＝k1x＋b与直线l2：y＝k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，关于x的不等式k2x＜k1x＋b的解集为__ __．
6．已知关于x的不等式kx－2>0(k≠0)的解集是x>－3，则直线y＝－kx＋2与x轴的交点是__ __．
7．(新疆克拉玛依质检)给出的网格中画出一次函数y＝2x－3的图象，并结合图象求：
(1)方程2x－3＝0的解；
(2)不等式2x－3＞0的解集；
(3)不等式－1＜2x－3＜5的解集．
8．如图，直线y＝－2x与直线y＝kx＋b相交于点A(a，2)，并且直线y＝kx＋b经过x轴上点B(2，0).
(1)求直线y＝kx＋b的解析式．
(2)求两条直线与y轴围成的三角形面积．
(3)直接写出不等式(k＋2)x＋b≥0的解集．
能力提升
1．(内蒙古鄂尔多斯质检)如图所示，已知点A(－1，2)是一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象上的一点，则下列判断中正确的是( )
A．y随x的增大而减小 B．k>0，b<0
C．当x<0时，y<0 D．方程kx＋b＝2的解是x＝－1
2．(甘肃酒泉质检) 如图，已知一次函数y＝ax－1的图象过点(1，2)，则不等式ax－1>2的解集是__ __．
3．关于x的方程mx－3＝－4的解是x＝1，则直线y＝(m－2)x－3一定不经过第__ __象限．
4．(素养提升)(乌鲁木齐质检)某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图所示，解答下列问题：
(1)分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数解析式；
(2)请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算．
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第2课时
教材认知
1．一次函数与二元一次方程的关系
因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可改写为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个__ __，于是也对应一条直线，这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的__ __．
2．一次函数与二元一次方程组的关系
含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个__ __，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组就是求使两个函数值__ __的自变量的值以及此时的函数值；从“形”的角度看，两条直线交点的坐标就是相应方程组的解．
微点拨
一次函数与二元一次方程组的关系：
(1)如果两个一次函数的图象平行(无交点)，那么相应的二元一次方程组无解．
(2)如果两个一次函数的图象重合，那么相应的二元一次方程组有无数组解．
(3)如果两个一次函数的图象相交(有一个交点)，那么相应的二元一次方程组有唯一解．
基础必会
1．(新疆吐鲁番质检)下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x－3y＝6的解的是( )
2．已知直线AB∥x轴，且点A的坐标是(－1，1)，则直线y＝x与直线AB的交点是( )
A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)
3．(新疆哈密质检)如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与直线l2：y＝kx＋b(k≠0)在第一象限交于点M，若直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，则k的取值范围为( )
A．－2＜k＜2 B．－2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x＋3分别与x轴，直线y＝－2x交于点A，B，则△AOB的面积为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
5．(安徽中考)某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为( )
A．23 cm B．24 cm C．25 cm D．26 cm
6．(内蒙古呼伦贝尔质检)如图，一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是__ __．
能力提升
1．(甘肃白银质检)如图，已知函数y＝x＋1和y＝ax＋3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是( )
A． B． C． D．
2．(宁夏吴忠质检)某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y(元)与上网时间x(min)之间的关系如图所示，当上网时间为300 min时，方式A产生的费用__ __(填“高于”或“低于”)方式B产生的费用．
3．(西宁质检)已知直线y1＝2x与直线y2＝－2x＋4相交于点A.有以下结论：①点A的坐标为A(1，2)；②当x＝1时，两个函数值相等；③当x＜1时，y1＜y2；④直线y1＝2x与直线y3＝2x－4在平面直角坐标系中的位置关系是平行．其中正确的是__ __．
4．(素养提升)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为y1(元)，且y1＝k1x＋b；按照方案二所需费用为y2(元)，且y2＝k2x.其函数图象如图所示．
(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
(2)求打折前的每次健身费用和k2的值；
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
PAGE第2课时
教材认知
1．一次函数与二元一次方程的关系
因为每个含有未知数x和y的二元一次方程，都可改写为y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的形式，所以每个这样的方程都对应一个__一次函数__，于是也对应一条直线，这条直线上每个点的坐标(x，y)都是这个二元一次方程的__解__．
2．一次函数与二元一次方程组的关系
含有未知数x和y的两个二元一次方程组成的二元一次方程组，都对应两个__一次函数__，于是也对应两条直线．从“数”的角度看，解这样的方程组就是求使两个函数值__相等__的自变量的值以及此时的函数值；从“形”的角度看，两条直线交点的坐标就是相应方程组的解．
微点拨
一次函数与二元一次方程组的关系：
(1)如果两个一次函数的图象平行(无交点)，那么相应的二元一次方程组无解．
(2)如果两个一次函数的图象重合，那么相应的二元一次方程组有无数组解．
(3)如果两个一次函数的图象相交(有一个交点)，那么相应的二元一次方程组有唯一解．
基础必会
1．(新疆吐鲁番质检)下面四条直线，其中直线上的每一个点的坐标都是二元一次方程2x－3y＝6的解的是(D)
2．已知直线AB∥x轴，且点A的坐标是(－1，1)，则直线y＝x与直线AB的交点是(A)
A．(1，1) B．(－1，－1) C．(1，－1) D．(－1，1)
3．(新疆哈密质检)如图，已知直线l1：y＝－2x＋4与直线l2：y＝kx＋b(k≠0)在第一象限交于点M，若直线l2与x轴的交点为A(－2，0)，则k的取值范围为(D)
A．－2＜k＜2 B．－2＜k＜0 C．0＜k＜4 D．0＜k＜2
4．在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x＋3分别与x轴，直线y＝－2x交于点A，B，则△AOB的面积为(B)
A．2 B．3 C．4 D．6
5．(安徽中考)某品牌鞋子的长度y cm与鞋子的“码”数x之间满足一次函数关系．若22码鞋子的长度为16 cm，44码鞋子的长度为27 cm，则38码鞋子的长度为(B)
A．23 cm B．24 cm C．25 cm D．26 cm
6．(内蒙古呼伦贝尔质检)如图，一次函数y＝k1x＋b1的图象l1与y＝k2x＋b2的图象l2相交于点P，则方程组的解是____．
能力提升
1．(甘肃白银质检)如图，已知函数y＝x＋1和y＝ax＋3图象交于点P，点P的横坐标为1，则关于x，y的方程组的解是(A)
A． B． C． D．
2．(宁夏吴忠质检)某电信公司为顾客提供了A，B两种手机上网方式，一个月的手机上网费用y(元)与上网时间x(min)之间的关系如图所示，当上网时间为300 min时，方式A产生的费用__低于__(填“高于”或“低于”)方式B产生的费用．
3．(西宁质检)已知直线y1＝2x与直线y2＝－2x＋4相交于点A.有以下结论：①点A的坐标为A(1，2)；②当x＝1时，两个函数值相等；③当x＜1时，y1＜y2；④直线y1＝2x与直线y3＝2x－4在平面直角坐标系中的位置关系是平行．其中正确的是__①②③④__．
4．(素养提升)暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下．
方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；
方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠．
设某学生暑期健身x(次)，按照方案一所需费用为y1(元)，且y1＝k1x＋b；按照方案二所需费用为y2(元)，且y2＝k2x.其函数图象如图所示．
(1)求k1和b的值，并说明它们的实际意义；
(2)求打折前的每次健身费用和k2的值；
(3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由．
【解析】(1)∵y1＝k1x＋b过点(0，30)，(10，180)，
∴解得
k1＝15表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，
b＝30表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元．
(2)由题意可得，打折前的每次健身费用为15÷0.6＝25(元)，则k2＝25×0.8＝20.
(3)选择方案一所需费用更少．理由如下：由题意可知，y1＝15x＋30，y2＝20x.
当健身8次时，选择方案一所需费用：y1＝15×8＋30＝150(元)，
选择方案二所需费用：y2＝20×8＝160(元)，
∵150＜160，∴选择方案一所需费用更少．
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