20.2 数据的波动程度
第1课时
教材认知
1．方差：设有n个数据x1，x2，…xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－)2，(x2－)2，…(xn－)2，即用____来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差．
2．方差的意义：方差越大，数据的波动__越大__；方差越小，数据的波动__越小__．
微点拨
方差用来描述一组数据中每一个数据与这组数据的平均数的偏离程度．
基础必会
1．(柳州中考)某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分及方差s2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是(A)
甲 乙 丙
91 91 91
s2 6 24 54
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
2．八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为(单位：环)：4，5，6，6，6，7，8.则下列说法错误的是(D)
A．该组成绩的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
3．(银川质检)已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a－2，b－2，c－2的平均数和方差分别是(B)
A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4
4．一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是(B)
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．方差
5．已知一组数据10, 15, 10, x, 18, 20的平均数为15，则这组数据的方差为____．
6．(甘肃白银质检)甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为s＝0.70，s＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是__甲__同学．
7．(新疆阿克苏期中)已知数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每一个数均为非负整数且互不相等，中位数是2，＝2.
(1)求这组数据．
(2)计算这组数据的方差．
【解析】(1)因各数据互不相等，不妨设x1＜x2＜x3＜x4＜x5，
则x3＝2，故这组数据为0，1，2，3，4.
(2)s2＝[(0－2)2＋(1－2)2＋(2－2)2＋(3－2)2＋(4－2)2]＝(4＋1＋0＋1＋4)＝2.
能力提升
1．(衡阳中考)为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩(单位：分)分别为：85，82，86，82，83，92.关于这组数据，下列说法错误的是(C)
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
2．如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩(环数)制作的折线统计图．你认为
__甲__成绩较为稳定(填“甲”或“乙”).
3．(甘肃酒泉模拟)已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的方差是s，另一组数据a1－6，a2－6，a3－6，a4－6，a5－6的方差是s，则s1与s2的大小关系是s
__＝__s(填写“＞”“＜”或“＝”).
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第1课时
教材认知
1．方差：设有n个数据x1，x2，…xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1－)2，(x2－)2，…(xn－)2，即用__ __来衡量这组数据波动的大小，并把它叫做这组数据的方差．
2．方差的意义：方差越大，数据的波动__ __；方差越小，数据的波动__ __．
微点拨
方差用来描述一组数据中每一个数据与这组数据的平均数的偏离程度．
基础必会
1．(柳州中考)某校九年级进行了3次数学模拟考试，甲、乙、丙三名同学的平均分及方差s2如表所示，那么这三名同学数学成绩最稳定的是( )
甲 乙 丙
91 91 91
s2 6 24 54
A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定
2．八年级某学生在一次户外活动中进行射击比赛，七次射击成绩依次为(单位：环)：4，5，6，6，6，7，8.则下列说法错误的是( )
A．该组成绩的众数是6环
B．该组成绩的中位数是6环
C．该组成绩的平均数是6环
D．该组成绩数据的方差是10
3．(银川质检)已知一组数据a，b，c的平均数为5，方差为4，那么数据a－2，b－2，c－2的平均数和方差分别是( )
A．3，2 B．3，4 C．5，2 D．5，4
4．一组数据：1，2，2，3，若添加一个数据3，则不发生变化的统计量是( )
A．平均数 B．中位数
C．众数 D．方差
5．已知一组数据10, 15, 10, x, 18, 20的平均数为15，则这组数据的方差为__ __．
6．(甘肃白银质检)甲、乙两位同学在近五次数学测试中，平均成绩均为90分，方差分别为s＝0.70，s＝0.73，甲、乙两位同学成绩较稳定的是__ __同学．
7．(新疆阿克苏期中)已知数据x1，x2，x3，x4，x5，其中每一个数均为非负整数且互不相等，中位数是2，＝2.
(1)求这组数据．
(2)计算这组数据的方差．
能力提升
1．(衡阳中考)为了向建党一百周年献礼，我市中小学生开展了红色经典故事演讲比赛．某参赛小组6名同学的成绩(单位：分)分别为：85，82，86，82，83，92.关于这组数据，下列说法错误的是( )
A．众数是82 B．中位数是84 C．方差是84 D．平均数是85
2．如图是根据甲、乙两人5次射击的成绩(环数)制作的折线统计图．你认为
__ __成绩较为稳定(填“甲”或“乙”).
3．(甘肃酒泉模拟)已知一组数据a1，a2，a3，a4，a5的方差是s，另一组数据a1－6，a2－6，a3－6，a4－6，a5－6的方差是s，则s1与s2的大小关系是s
__ __s(填写“＞”“＜”或“＝”).
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第2课时
教材认知
用样本方差估计总体方差：在考察总体方差时，有时所要考察的总体包含很多个体或者考察本身带有破坏性，就常用样本方差来估计总体方差．
微点拨
方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平．因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断．
基础必会
1．(宁夏中卫质检)根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的______比较小．(D)
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
2．(内蒙古包头质检)为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如表：
甲 2 6 7 7 8
乙 2 3 4 8 8
关于以上数据，下列说法正确的有______个．(A)
①甲、乙的众数相同；②甲、乙的中位数相同；③甲的平均数小于乙的平均数；④甲的方差小于乙的方差．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据(C)
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
4．(新疆克拉玛依质检)如表是某公司员工月收入的资料．能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是(C)
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 5 000 3 400 3 300 1 000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
5．(赤峰中考)学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是(B)
A．平均数 B .中位数 C．众数 D．方差
6．一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是__0.4__．
7．(甘肃庆阳质检)已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为s，s，则s__＞__s.(填“>”“＝”或“<”)
8.(新疆吐鲁番模拟)如图是甲、乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．
(1)请用列表法将他俩的射击成绩统计出来；
(2)请你用学过的统计知识，对他俩的这次射击情况进行比较．
【解析】(1)甲、乙的射击成绩如表：
环数 6 7 8 9 10
甲命中次数 0 0 2 2 2
乙命中次数 0 1 0 3 2
(2)甲的平均成绩：(8×2＋9×2＋10×2)÷6＝9(环)，
乙的平均成绩：(7×1＋9×3＋10×2)÷6＝9(环)，
甲成绩的方差：×2×[(8－9)2＋(9－9)2＋(10－9)2]＝，
乙成绩的方差：×[(7－9)2＋3×(9－9)2＋2×(10－9)2]＝1，
∵甲的平均成绩＝乙的平均成绩，甲成绩的方差＜乙成绩的方差，
∴甲与乙的平均成绩相同，但甲发挥的比乙稳定．
能力提升
1．(台州中考)超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为1，s，则下列结论一定成立的是(C)
A．＜1 B．＞1 C．s2＞s D．s2＜s
2．(甘肃陇南质检)某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩(分)分别为：86，88，90，92，94，方差为s2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差s＝__8.0__．
3．在某中学举行的演讲比赛中，八年级5名参赛选手的成绩如表所示，你根据表中提供的数据，计算出这5名选手成绩的方差为__6.8__．
选手 1号 2号 3号 4号 5号 平均成绩
得分 90 95 ■ 89 88 91
4．(素养提升)(恩施州中考)九(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a b 93.75
乙 175 175 180，175，170 c
(1)求a，b的值；
(2)若九(1)班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
(3)根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．
【解析】(1)甲的成绩从小到大排列为：160，165，165，175，180，185，185，185，
∴甲的中位数a＝＝177.5，
∵185出现了3次，出现的次数最多，∴众数b是185，故a＝177.5，b＝185；
(2)应选乙，∵s＝93.75，s＝37.5，
∴s>s∴选乙参赛．
(3)乙的方差为：[2×(175－175)2＋2×(180－175)2＋2×(170－175)2＋(185－175)2＋(165－175)2]＝37.5，①从平均数和方差相结合看，乙的成绩比较稳定；②从平均数和中位数相结合看，甲的成绩好些．
PAGE20.2 数据的波动程度
第2课时
教材认知
用样本方差估计总体方差：在考察总体方差时，有时所要考察的总体包含很多个体或者考察本身带有破坏性，就常用样本方差来估计总体方差．
微点拨
方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平．因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断．
基础必会
1．(宁夏中卫质检)根据某市统计局发布的该市近5年的年度GDP增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度GDP增长率相当平稳，从统计学的角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据的______比较小．( )
A．中位数 B．平均数 C．众数 D．方差
2．(内蒙古包头质检)为考察两名实习工人的工作情况，质检部将他们工作第一周每天生产合格产品的个数整理成甲，乙两组数据，如表：
甲 2 6 7 7 8
乙 2 3 4 8 8
关于以上数据，下列说法正确的有______个．( )
①甲、乙的众数相同；②甲、乙的中位数相同；③甲的平均数小于乙的平均数；④甲的方差小于乙的方差．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据( )
A．众数改变，方差改变 B．众数不变，平均数改变
C．中位数改变，方差不变 D．中位数不变，平均数不变
4．(新疆克拉玛依质检)如表是某公司员工月收入的资料．能够反映该公司全体员工月收入水平的统计量是( )
月收入/元 45 000 18 000 10 000 5 500 5 000 3 400 3 300 1 000
人数 1 1 1 3 6 1 11 1
A．平均数和众数 B．平均数和中位数
C．中位数和众数 D．平均数和方差
5．(赤峰中考)学校朗诵比赛，共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉一个最高分、一个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数据特征是( )
A．平均数 B .中位数 C．众数 D．方差
6．一组数据3，2，3，4，x的平均数是3，则它的方差是__ __．
7．(甘肃庆阳质检)已知甲、乙两组数据的折线图如图，设甲、乙两组数据的方差分别为s，s，则s__ __s.(填“>”“＝”或“<”)
8.(新疆吐鲁番模拟)如图是甲、乙两人在一次射击比赛中击中靶的情况(击中靶中心的圆面为10环，靶中各数字表示该数所在圆环被击中所得的环数)，每人射击了6次．
(1)请用列表法将他俩的射击成绩统计出来；
(2)请你用学过的统计知识，对他俩的这次射击情况进行比较．
能力提升
1．(台州中考)超市货架上有一批大小不一的鸡蛋，某顾客从中选购了部分大小均匀的鸡蛋，设货架上原有鸡蛋的质量(单位：g)平均数和方差分别为，s2，该顾客选购的鸡蛋的质量平均数和方差分别为1，s，则下列结论一定成立的是( )
A．＜1 B．＞1 C．s2＞s D．s2＜s
2．(甘肃陇南质检)某5人学习小组在寒假期间进行线上测试，其成绩(分)分别为：86，88，90，92，94，方差为s2＝8.0，后来老师发现每人都少加了2分，每人补加2分后，这5人新成绩的方差s＝__ __．
3．在某中学举行的演讲比赛中，八年级5名参赛选手的成绩如表所示，你根据表中提供的数据，计算出这5名选手成绩的方差为__ __．
选手 1号 2号 3号 4号 5号 平均成绩
得分 90 95 ■ 89 88 91
4．(素养提升)(恩施州中考)九(1)班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试．现将测试结果绘制成不完整的统计图表，请根据统计图表中的信息解答下列问题：
平均数 中位数 众数 方差
甲 175 a b 93.75
乙 175 175 180，175，170 c
(1)求a，b的值；
(2)若九(1)班选一位成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁，请说明理由；
(3)根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优．
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