18．1.1 平行四边形的性质
第2课时
教材认知
平行四边形的性质：平行四边形的对角线__互相平分__．
微点拨
平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形；两条对角线又分成两对小的全等三角形．
基础必会
1．(银川模拟)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中相等的线段共有的对数为(D)
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(内蒙古巴彦淖尔质检)如图，在平行四边形ABCD中，若AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，
则OA长的取值范围是(A)
A．1 cm＜OA＜4 cm B．2 cm＜OA＜8 cm
C．2 cm＜OA＜5 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
3．(青海海东模拟)在 ABCD中，AB＝7，AC＝6，则对角线BD的取值范围是(A)
A．8＜BD＜20 B．6＜BD＜7 C．4＜BD＜10 D．1＜BD＜13
4．(内蒙古通辽质检)如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是(C)
A．10 B．15 C．20 D．25
5．(新疆喀什质检)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则 ABCD的面积为__12__ cm2.
6．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为__14__．
7．(兰州质检)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF.
【证明】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB，
∵AF＝CE，∴AE＝CF，∴OE＝OF，
在△BEO和△DFO中，
∴△BEO≌△DFO，∴BE＝DF.
能力提升
1.(南充中考)如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是(A)
A．OE＝OF B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
2．(乌鲁木齐模拟)如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是对角线的交点，若OE＝4 cm，OF＝3 cm，求 ABCD的周长．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO＝CO，BO＝DO，AB＝CD，AD＝BC，
∵E，F分别是AB，BC的中点，∴BC＝2EO，CD＝2FO，
∵OE＝4 cm，OF＝3 cm，∴BC＝8 cm，DC＝6 cm，
∴AD＝8 cm，AB＝6 cm，∴ ABCD的周长为6＋6＋8＋8＝28(cm).
3.(素养提升)(宿迁中考)在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，________(填写序号).
求证：BE＝DF.
【证明】选②，连接BE，DF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，
又∵OE＝OF，∠BOE＝∠DOF，
∴△BOE≌△DOF，∴BE＝DF.
选①，连接BE，DF，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，OA＝OC，又∵AE＝CF，∴OE＝OF，
又∵∠BOE＝∠DOF，∴△BOE≌△DOF，∴BE＝DF.
选③，连接BE，DF，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO＝DO，∵BE∥DF，∴∠EBO＝∠FDO，
∠BEO＝∠DFO，∴△BOE≌△DOF，∴BE＝DF.
PAGE第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时
教材认知
1．平行四边形的概念：两组对边分别__ __的四边形．
2．平行四边形的性质：
(1)平行四边形的对边__ __．
(2)平行四边形的对角__ __．
3．两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上__ __到另一条直线的距离．
微点拨
1．平行四边形的定义既是判定，又是性质．
2．两条平行线之间的距离：(1)当两条平行线确定后，它们之间的距离是一定值，不随位置的不同而改变．(2)平行线间的距离处处相等．(3)夹在两条平行线间的线段必须和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线之间的距离．
基础必会
1．(乌鲁木齐质检)如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是( )
A．7 B．10 C．11 D．12
2．(宁夏石嘴山模拟)如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4.则CE的长是( )
A．5 B．6 C．4 D．5
3．(泸州中考)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是( )
A．61° B．109° C．119° D．122°
4.(株洲中考)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝( )
A．38° B．48° C．58° D．66°
5．(常州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是__ __．
6．(新疆吐鲁番模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，则DE＋DF的长度为__ __ __．
7．(甘肃陇南模拟)如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为__ __．
8．如图，在 ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE，连接DE，BF.求证：DE∥BF.
能力提升
1．(内蒙古包头质检)如图，若平行四边形ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为( )
A．14 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm
2．(青海中考)如图，在 ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为__ __ __．
3．(怀化中考)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；(2)ED∥BF.
4．(素养提升)(内蒙古赤峰模拟)如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘．想使池塘的面积扩大为原来的两倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要求的平行四边形；若不能，请说明理由．
PAGE第十八章 平行四边形
18．1 平行四边形
18．1.1 平行四边形的性质
第1课时
教材认知
1．平行四边形的概念：两组对边分别__平行__的四边形．
2．平行四边形的性质：
(1)平行四边形的对边__相等__．
(2)平行四边形的对角__相等__．
3．两条平行线之间的距离：两条平行线中，一条直线上__任意一点__到另一条直线的距离．
微点拨
1．平行四边形的定义既是判定，又是性质．
2．两条平行线之间的距离：(1)当两条平行线确定后，它们之间的距离是一定值，不随位置的不同而改变．(2)平行线间的距离处处相等．(3)夹在两条平行线间的线段必须和这两条平行线垂直，否则其长度不是两条平行线之间的距离．
基础必会
1．(乌鲁木齐质检)如图，在 ABCD中，AB＝4，BC＝6，AC的垂直平分线交AD于点E，则△CDE的周长是(B)
A．7 B．10 C．11 D．12
2．(宁夏石嘴山模拟)如图，在 ABCD中，CE平分∠BCD，交AB于点E，EA＝3，EB＝5，ED＝4.则CE的长是(C)
A．5 B．6 C．4 D．5
3．(泸州中考)如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD且交BC于点E，∠D＝58°，则∠AEC的大小是(C)
A．61° B．109° C．119° D．122°
4.(株洲中考)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝(B)
A．38° B．48° C．58° D．66°
5．(常州中考)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC是平行四边形，其中点A在x轴正半轴上．若BC＝3，则点A的坐标是__(3，0)__．
6．(新疆吐鲁番模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，BE平分∠ABC，交AD于点E，交CD延长线于点F，则DE＋DF的长度为__4__cm__．
7．(甘肃陇南模拟)如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为__50°__．
8．如图，在 ABCD中，点E，F是对角线AC上的两点，且AF＝CE，连接DE，BF.求证：DE∥BF.
【证明】在 ABCD中，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠BAF＝∠DCE，在△ABF和△CDE中，，
∴△ABF≌△CDE(SAS)，∴∠DEF＝∠BFA，∴ED∥BF.
能力提升
1．(内蒙古包头质检)如图，若平行四边形ABCD的周长是28 cm，△ABC的周长是22 cm，则AC的长为(D)
A．14 cm B．12 cm C．10 cm D．8 cm
2．(青海中考)如图，在 ABCD中，对角线BD＝8 cm，AE⊥BD，垂足为E，且AE＝3 cm，BC＝4 cm，则AD与BC之间的距离为__6__cm__．
3．(怀化中考)已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，点E，A，C，F在同一直线上，AE＝CF.
求证：(1)△ADE≌△CBF；(2)ED∥BF.
【证明】(1)∵四边形ABCD为平行四边形
∴DA＝BC，DA∥BC，∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠DAC＋∠EAD＝180°，∠BCA＋∠FCB＝180°，
∴∠EAD＝∠FCB，在△ADE和△CBF中，，
∴△ADE≌△CBF(SAS)；
(2)由(1)知，△ADE≌△CBF，∴∠E＝∠F，∴ED∥BF.
4．(素养提升)(内蒙古赤峰模拟)如图，某村有一个四边形池塘，它的四个顶点A，B，C，D处均有一棵大树，村里准备开挖池塘建鱼塘．想使池塘的面积扩大为原来的两倍，又想保持大树在池塘边不动，并要求扩建后的池塘为平行四边形的形状，请问能否实现这一设想？若能，请你设计出所要求的平行四边形；若不能，请说明理由．
【解析】能，连接对角线AC，BD交于点O，
过点A作BD的平行线，过点C作BD的平行线，
过点B作AC的平行线，过点D作AC的平行线，
四条平行线依次交于M，N，G，H四点，
则可得四边形AODH，AOBM，BOCN，OCGD均为平行四边形．
在 AODH中，AO＝HD，AH＝OD，AD＝AD，
∴△AHD≌△DOA.∴S△AHD＝S△AOD，同理S△COD＝S△CGD.
S△AOB＝S△AMB，S△COB＝S△CNB，
∴S MNGH＝2S四边形ABCD， MNGH即为所示．
故能设计出所要求的平行四边形．
PAGE18．1.1 平行四边形的性质
第2课时
教材认知
平行四边形的性质：平行四边形的对角线__ __．
微点拨
平行四边形的每一条对角线将平行四边形分为两个全等的三角形；两条对角线又分成两对小的全等三角形．
基础必会
1．(银川模拟)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中相等的线段共有的对数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(内蒙古巴彦淖尔质检)如图，在平行四边形ABCD中，若AB＝3 cm，BC＝5 cm，对角线AC，BD相交于点O，
则OA长的取值范围是( )
A．1 cm＜OA＜4 cm B．2 cm＜OA＜8 cm
C．2 cm＜OA＜5 cm D．3 cm＜OA＜8 cm
3．(青海海东模拟)在 ABCD中，AB＝7，AC＝6，则对角线BD的取值范围是( )
A．8＜BD＜20 B．6＜BD＜7 C．4＜BD＜10 D．1＜BD＜13
4．(内蒙古通辽质检)如图，在 ABCD中，O是对角线AC，BD的交点．若△AOD的面积是5，则 ABCD的面积是( )
A．10 B．15 C．20 D．25
5．(新疆喀什质检)如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若DO＝1.5 cm，AB＝5 cm，BC＝4 cm，则 ABCD的面积为__ __ cm2.
6．如图，已知 ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC＝8，BD＝10，AB＝5，则△OCD的周长为__ __．
7．(兰州质检)如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，且AF＝CE.求证：BE＝DF.
能力提升
1.(南充中考)如图，点O是 ABCD对角线的交点，EF过点O分别交AD，BC于点E，F，下列结论成立的是( )
A．OE＝OF B．AE＝BF
C．∠DOC＝∠OCD D．∠CFE＝∠DEF
2．(乌鲁木齐模拟)如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，O是对角线的交点，若OE＝4 cm，OF＝3 cm，求 ABCD的周长．
3.(素养提升)(宿迁中考)在①AE＝CF；②OE＝OF；③BE∥DF这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并完成证明过程．
已知，如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F在AC上，________(填写序号).
求证：BE＝DF.
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