18．2.2 菱 形
第2课时
教材认知
菱形的判定：
1．有一组邻边__ __的__ __四边形是菱形．
2．四条边__ __的四边形是菱形．
3．对角线互相__ __的__ __四边形是菱形．
微点拨
菱形的判定思路
基础必会
1．(宁夏中卫模拟)下列条件中，能判定 ABCD是菱形的是( )
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
2．(嘉兴中考)将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是( )
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
3．(内蒙古赤峰模拟)如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是__ __．(写出一个即可)
4．(甘肃庆阳模拟)如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE＝70°，则∠CAD＝__ __°.
5.如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(2)求BD的长．
6．(青海中考)如图，DB是 ABCD的对角线．
(1)尺规作图(请用2B铅笔)：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF(保留作图痕迹，不写作法).
(2)试判断四边形DEBF的形状并说明理由．
能力提升
1．(新疆吐鲁番模拟)如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是( )
A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE
2．(甘肃天水模拟)如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：①四边形BFDE是菱形；②S四边形ABCD＝EF×BD；③∠ADE＝∠EDO；④△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
PAGE18．2.2 菱 形
第1课时
教材认知
1．菱形的定义：有一组__ __相等的__ __四边形．
2．菱形的性质
(1)菱形的四条边__ __．
(2)菱形的两条对角线互相__ __，并且每一条对角线__ __一组对角．
微点拨
1．菱形的定义两要素：(1)四边形是平行四边形．(2)一组邻边相等，二者缺一不可．
2．不要误以为有一组邻边相等的四边形是菱形．
3．菱形是特殊的平行四边形．
基础必会
1．(河南中考)关于菱形的性质，以下说法不正确的是( )
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．(成都中考)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是( )
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
3．(青海果洛模拟)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是( )
A．5 B．20 C．24 D．32
4．(甘肃天水模拟)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是( )
A．2 B． C．3 D．4
5．(白银中考)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝
20 cm，则∠DAB的度数是( )
A．90° B．100° C．120° D．150°
6．(凉山州中考)菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24，则菱形的高等于
___ __．
7．(安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0，0)，点B的坐标是(0，1)，且BC＝，则点A的坐标是__ __．
8.(菏泽中考)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN.
能力提升
1．(绍兴中考)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC－CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是( )
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
2．(连云港中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为__ __．
3．(素养提升)(新疆中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：(1)△ODE≌△FCE；
(2)四边形OCFD是矩形．
PAGE18．2.2 菱 形
第2课时
教材认知
菱形的判定：
1．有一组邻边__相等__的__平行__四边形是菱形．
2．四条边__相等__的四边形是菱形．
3．对角线互相__垂直__的__平行__四边形是菱形．
微点拨
菱形的判定思路
基础必会
1．(宁夏中卫模拟)下列条件中，能判定 ABCD是菱形的是(D)
A．AC＝BD B．AB⊥BC C．AD＝BD D．AC⊥BD
2．(嘉兴中考)将一张三角形纸片按如图步骤①至④折叠两次得图⑤，然后剪出图⑤中的阴影部分，则阴影部分展开铺平后的图形是(D)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．矩形 D．菱形
3．(内蒙古赤峰模拟)如图，两个完全相同的三角尺ABC和DEF在直线l上滑动．要使四边形CBFE为菱形，还需添加的一个条件是__CB＝BF(答案不唯一)__．(写出一个即可)
4．(甘肃庆阳模拟)如图，CD与BE互相垂直平分，AD⊥DB，∠BDE＝70°，则∠CAD＝__70__°.
5.如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D.依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.
(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由；
(2)求BD的长．
【解析】(1)四边形ABCD为菱形；
由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，所以四边形ABCD为菱形；
(2)∵四边形ABCD为菱形，
∴OA＝OC＝4，OB＝OD，AC⊥BD，
在Rt△AOB中，OB＝＝3，
∴BD＝2OB＝6.
6．(青海中考)如图，DB是 ABCD的对角线．
(1)尺规作图(请用2B铅笔)：作线段BD的垂直平分线EF，交AB，DB，DC分别于E，O，F，连接DE，BF(保留作图痕迹，不写作法).
(2)试判断四边形DEBF的形状并说明理由．
【解析】(1)如图，DE，BF为所作；
(2)四边形DEBF为菱形．
理由如下：
∵EF垂直平分BD，
∴EB＝ED，FB＝FD，OB＝OD，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴CD∥AB，∴∠FDB＝∠EBD，
在△ODF和△OBE中，，
∴△ODF≌△OBE(ASA)，∴DF＝BE，
∴DE＝EB＝BF＝DF，∴四边形DEBF为菱形．
能力提升
1．(新疆吐鲁番模拟)如图，AD是△ABC的中线，四边形ADCE是平行四边形，增加下列条件，能判断 ADCE是菱形的是(A)
A．∠BAC＝90° B．∠DAE＝90° C．AB＝AC D．AB＝AE
2．(甘肃天水模拟)如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，E，F分别是OA，OC的中点，下列结论：①四边形BFDE是菱形；②S四边形ABCD＝EF×BD；③∠ADE＝∠EDO；④△DEF是轴对称图形．其中正确的结论有(C)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
PAGE18．2.2 菱 形
第1课时
教材认知
1．菱形的定义：有一组__邻边__相等的__平行__四边形．
2．菱形的性质
(1)菱形的四条边__相等__．
(2)菱形的两条对角线互相__垂直__，并且每一条对角线__平分__一组对角．
微点拨
1．菱形的定义两要素：(1)四边形是平行四边形．(2)一组邻边相等，二者缺一不可．
2．不要误以为有一组邻边相等的四边形是菱形．
3．菱形是特殊的平行四边形．
基础必会
1．(河南中考)关于菱形的性质，以下说法不正确的是(B)
A．四条边相等 B．对角线相等
C．对角线互相垂直 D．是轴对称图形
2．(成都中考)如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是(C)
A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD
3．(青海果洛模拟)菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是(B)
A．5 B．20 C．24 D．32
4．(甘肃天水模拟)如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，点E是CD上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是(B)
A．2 B． C．3 D．4
5．(白银中考)如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节AE间的距离．若AE间的距离调节到60 cm，菱形的边长AB＝
20 cm，则∠DAB的度数是(C)
A．90° B．100° C．120° D．150°
6．(凉山州中考)菱形ABCD中，对角线AC＝10，BD＝24，则菱形的高等于
_____．
7．(安顺中考)如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD对角线的交点坐标是O(0，0)，点B的坐标是(0，1)，且BC＝，则点A的坐标是__(2，0)__．
8.(菏泽中考)如图，在菱形ABCD中，点M，N分别在AB，CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN.
【证明】∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.
在△AMD和△CND中，
∴△AMD≌△CND(ASA).
∴AM＝CN，∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN.
能力提升
1．(绍兴中考)如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC－CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是(C)
A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形
B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形
C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形
2．(连云港中考)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为____．
3．(素养提升)(新疆中考)如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.
求证：(1)△ODE≌△FCE；
(2)四边形OCFD是矩形．
【证明】(1)∵CF∥BD，∴∠ODE＝∠FCE，
∵E是CD中点，∴CE＝DE，
在△ODE和△FCE中，，
∴△ODE≌△FCE(ASA)；
(2)∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC，
∵CF∥BD，即CF∥OD，∴四边形OCFD是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°，
∴四边形OCFD是矩形．
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