18．2.1 矩 形
第2课时
教材认知
矩形的判定：
1．有一个角是__直角__的__平行__四边形是矩形．
2．有__三个__角是直角的四边形是矩形．
3．对角线__相等__的__平行__四边形是矩形．
微点拨
矩形的判定思路
从角上证明：
(1)四边形矩形;
(2)平行四边形矩形.
从对角线上证明：
(1)平行四边形矩形;
(2)四边形矩形.
基础必会
1．(银川质检)在平行四边形ABCD中，若增加一个条件使其成为矩形，则增加的条件是(B)
A．AD＝CD B．∠B＝90° C．AC＝2AB D．对角线互相垂直
2．(新疆喀什模拟)已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得ABCD为矩形，这个条件可以是(C)
A．AC＝BD B．AB＝BC
C．AC与BD互相平分 D．AC⊥BD
3．(青海玉树模拟)已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是(B)
A．① B．② C．③ D．④
4．(新疆和田模拟)如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE＝CF；②AB＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有(D)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．(威海中考)如图，在 ABCD中，AD＝3，CD＝2.连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F.若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为(B)
A． B．2 C．6 D．2
6．(甘肃武威模拟)已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC＝BD，如果添加一个条件，即可判定该四边形是矩形，那么所添加的这个条件可以是__AD＝BC或AB∥CD__．
7．(兰州模拟)如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为
3 cm/s和2 cm/s，则最快__4__ s后，四边形ABPQ成为矩形．
8．(连云港中考)如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD＝BC.
∵点C是BE的中点，
∴BC＝CE，∴AD＝CE，∵AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝DC，
∵AB＝AE，∴DC＝AE，∵四边形ACED是平行四边形，∴四边形ACED是矩形．
能力提升
1.(赤峰中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的面积是(A)
A．15 B．18 C．20 D．22
2．(素养提升)(内蒙古巴彦淖尔市质检)如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
【解析】(1)如图所示．
∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，
∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∵MN∥BC，
∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∴EO＝CO，FO＝CO，
∴OE＝OF；
(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，
∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，
∵CE＝12，CF＝5，
∴EF＝＝13，
∴OC＝EF＝6.5；
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：当O为AC的中点时，AO＝CO，
∵EO＝FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵∠ECF＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形．
PAGE18．2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩 形
第1课时
教材认知
1．矩形
(1)定义：有一个角是__ __的平行四边形．
(2)性质：①矩形的四个角都是__ __．
②矩形的对角线__ __．
2．直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__ __．
微点拨
1．矩形的定义两要素：(1)四边形是平行四边形．(2)有一个角是直角，二者缺一不可．
2．不要误以为有一个角是直角的四边形是矩形．
3．矩形是特殊的平行四边形．
基础必会
1．(新疆伊犁质检)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为( )
A．2.5 B．7.5 C．8.5 D．10
2．(宁夏中卫模拟)矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下结论不一定成立的是( )
A．∠BCD＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OC＝CD
3．(甘肃金昌模拟)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若OM＝3，则AB的长为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
4．在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为( )
A．4 B．6 C．8 D．10
5．(南充中考)如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为__ __．
6．(盐城中考)如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝__ __．
7．(青海中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3 cm，则AC的长为__ __cm.
8．(贺州中考)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF.若BC＝2GC，则∠EGF＝__ __．
9.(安顺中考)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.
(1)求证：△ABN≌△MAD；
(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
能力提升
1．(新疆喀什质检)如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为__ __．
2.(十堰中考)如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__ __．
3．(新疆中考)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.
求证：(1)△ABE≌△DCF；
(2)四边形AEFD是平行四边形．
4.(素养提升)(内蒙古包头模拟)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，对角线AC与BD相交于点O，BO＝DO，点E，F分别是AD，AC的中点．
(1)求证：∠ADC＋∠ADO＝∠EFC.
(2)如果点G是BC的中点，EG与AC相交于点H，求证：EH＝GH.
PAGE18.1.2 平行四边形的判定
第2课时
教材认知
1．三角形的中位线：连接三角形两边__中点__的线段．
2．三角形的中位线定理：三角形的中位线__平行__于第三边，并且等于第三边的__一半__．
微点拨
当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法“遇到中点想中位线”，利用三角形的中位线定理不仅可以证明线段平行，也可证明线段的倍分关系．
基础必会
1．如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝(D)
A．20° B．45° C．65° D．70°
2．(新疆喀什模拟)如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，延长CB至点D，使MN＝BD，连接DN，若CD＝6，则MN的长为(A)
A．2 B．3 C．4 D．6
3．(青海海东质检)如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15 m，则A，B两点间的距离是(C)
A．15 m B．20 m C．30 m D．60 m
4．(甘肃平凉模拟)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC上，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是__100°__．
5．(甘肃白银质检)若线段DE是等边△ABC的中位线，且DE＝2，则△ABC的周长为__12__．
6.(内蒙古包头质检)如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长．
【解析】∵D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∴EF∥BC，
∵CF∥BE，∴四边形BCFE为平行四边形，∴BC＝EF＝3，∴DE＝BC＝.
7.(内蒙古乌海模拟)如图所示，在△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，AB＝10 cm，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，求△DEF的面积．
【解析】∵AC＝6，BC＝8，AB＝10，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，
∴DE＝AC＝3，DF＝BC＝4.EF＝AB＝5，∴△DEF为直角三角形．
∴△DEF的面积＝DE×DF＝×3×4＝6(cm2).
8．(新疆吐鲁番模拟)如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD.
(1)求证：DE＝CF.
(2)求EF的长．
【解析】(1)∵D，E分别为AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，∵EF∥CD，∴四边形DEFC是平行四边形，∴DE＝CF.
(2)∵四边形DEFC是平行四边形，∴DC＝EF，
∵D为AB的中点，等边△ABC的边长是2，
∴AD＝BD＝1，CD⊥AB，BC＝2，∴EF＝DC＝＝.
能力提升
1．(赤峰中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是(B)
A．2 B．3 C．4 D．5
2．(西宁质检)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为AC中点．若AB＝10，BC＝6，则DE的长为__2__．
3．(菏泽中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D，E分别为AC，BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为__8__．
PAGE18．2.1 矩 形
第2课时
教材认知
矩形的判定：
1．有一个角是__ __的__ __四边形是矩形．
2．有__ __角是直角的四边形是矩形．
3．对角线__ __的__ __四边形是矩形．
微点拨
矩形的判定思路
从角上证明：
(1)四边形矩形;
(2)平行四边形矩形.
从对角线上证明：
(1)平行四边形矩形;
(2)四边形矩形.
基础必会
1．(银川质检)在平行四边形ABCD中，若增加一个条件使其成为矩形，则增加的条件是( )
A．AD＝CD B．∠B＝90° C．AC＝2AB D．对角线互相垂直
2．(新疆喀什模拟)已知在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，再补充一个条件使得ABCD为矩形，这个条件可以是( )
A．AC＝BD B．AB＝BC
C．AC与BD互相平分 D．AC⊥BD
3．(青海玉树模拟)已知平行四边形ABCD中，下列条件：①AB＝BC；②AC＝BD；③AC⊥BD；④AC平分∠BAD，其中能说明平行四边形ABCD是矩形的是( )
A．① B．② C．③ D．④
4．(新疆和田模拟)如图，l1∥l2，BE∥CF，BA⊥l1，DC⊥l2，下面给出四个结论：①BE＝CF；②AB＝DC；③S△ABE＝S△DCF；④四边形ABCD是矩形．其中说法正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．(威海中考)如图，在 ABCD中，AD＝3，CD＝2.连接AC，过点B作BE∥AC，交DC的延长线于点E，连接AE，交BC于点F.若∠AFC＝2∠D，则四边形ABEC的面积为( )
A． B．2 C．6 D．2
6．(甘肃武威模拟)已知四边形ABCD中，AD∥BC，AC＝BD，如果添加一个条件，即可判定该四边形是矩形，那么所添加的这个条件可以是__ __．
7．(兰州模拟)如图，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为
3 cm/s和2 cm/s，则最快__ __ s后，四边形ABPQ成为矩形．
8．(连云港中考)如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形．
(1)求证：四边形ACED是平行四边形；
(2)如果AB＝AE，求证：四边形ACED是矩形．
能力提升
1.(赤峰中考)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，把Rt△ABC沿直线BC向右平移3个单位长度得到△A′B′C′，则四边形ABC′A′的面积是( )
A．15 B．18 C．20 D．22
2．(素养提升)(内蒙古巴彦淖尔市质检)如图，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)连接AE，AF，当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？请说明理由．
PAGE18.1.2 平行四边形的判定
第2课时
教材认知
1．三角形的中位线：连接三角形两边__ __的线段．
2．三角形的中位线定理：三角形的中位线__ __于第三边，并且等于第三边的__ __．
微点拨
当遇到中点时，可考虑构造三角形的中位线来解决问题，这种思路方法“遇到中点想中位线”，利用三角形的中位线定理不仅可以证明线段平行，也可证明线段的倍分关系．
基础必会
1．如图，M，N分别是△ABC的边AB，AC的中点，若∠A＝65°，∠ANM＝45°，则∠B＝( )
A．20° B．45° C．65° D．70°
2．(新疆喀什模拟)如图，在△ABC中，点M，N分别是AB，AC的中点，延长CB至点D，使MN＝BD，连接DN，若CD＝6，则MN的长为( )
A．2 B．3 C．4 D．6
3．(青海海东质检)如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点C，分别取AC，BC的中点D，E，测得DE＝15 m，则A，B两点间的距离是( )
A．15 m B．20 m C．30 m D．60 m
4．(甘肃平凉模拟)如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F在BC上，ED是∠AEF的平分线，若∠C＝80°，则∠EFB的度数是__ __．
5．(甘肃白银质检)若线段DE是等边△ABC的中位线，且DE＝2，则△ABC的周长为__ __．
6.(内蒙古包头质检)如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，连接BE，过点C作CF∥BE，交DE的延长线于点F，若EF＝3，求DE的长．
7.(内蒙古乌海模拟)如图所示，在△ABC中，AC＝6 cm，BC＝8 cm，AB＝10 cm，D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，求△DEF的面积．
8．(新疆吐鲁番模拟)如图，等边△ABC的边长是2，D，E分别为AB，AC的中点，过点E作EF∥CD交BC的延长线于点F，连接CD.
(1)求证：DE＝CF.
(2)求EF的长．
能力提升
1．(赤峰中考)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是( )
A．2 B．3 C．4 D．5
2．(西宁质检)如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD⊥BD，垂足为D，E为AC中点．若AB＝10，BC＝6，则DE的长为__ __．
3．(菏泽中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝30°，D，E分别为AC，BC的中点，DE＝2，过点B作BF∥AC，交DE的延长线于点F，则四边形ABFD的面积为__ __．
PAGE18.1.2 平行四边形的判定
第1课时
教材认知
平行四边形的判定方法：
1．两组对边分别__ __的四边形是平行四边形．
2．两组对边分别__ __的四边形是平行四边形．
3．一组对边__ __且__ __的四边形是平行四边形．
4．两组对角分别__ __的四边形是平行四边形．
5．对角线__ __的四边形是平行四边形．
微点拨
判定平行四边形的方法
已知条件 证明思路
一组对边相等 1.另一组对边相等
2.该组对边平行
一组对边平行 1.另一组对边平行
2.该组对边相等
对角线相交 对角线互相平分
角 两组对角相等
基础必会
1．(新疆喀什质检)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是( )
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
2．(内蒙古鄂尔多斯质检)小明要做一个挂衣架，首先需要一个平行四边形框架，于是他采用了如下方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再把AB，BC，CD，AD用木条钉起来，则四边形ABCD就是平行四边形框架，小明制作平行四边形框架的依据是( )
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3．(甘肃天水模拟)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是__ __．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__ __，使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).
5．(新疆伊犁模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.
6．(永州中考)如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF.
(1)求证：△AEC≌△BFD.
(2)判断四边形DECF的形状，并证明．
能力提升
1．(内蒙古包头质检)顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②BC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有( )
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
2．一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是__ __．
3.(兰州质检)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝__ __秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
4．(银川质检)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B＝50°，则∠D＝__ __．
5.(素养提升)(呼和浩特质检)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连接BF，CE.
(1)求证：四边形BECF是平行四边形；
(2)若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．
PAGE18．2 特殊的平行四边形
18．2.1 矩 形
第1课时
教材认知
1．矩形
(1)定义：有一个角是__直角__的平行四边形．
(2)性质：①矩形的四个角都是__直角__．
②矩形的对角线__相等__．
2．直角三角形的性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一半__．
微点拨
1．矩形的定义两要素：(1)四边形是平行四边形．(2)有一个角是直角，二者缺一不可．
2．不要误以为有一个角是直角的四边形是矩形．
3．矩形是特殊的平行四边形．
基础必会
1．(新疆伊犁质检)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，E是AC的中点．若DE＝5，则AB的长为(D)
A．2.5 B．7.5 C．8.5 D．10
2．(宁夏中卫模拟)矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，以下结论不一定成立的是(D)
A．∠BCD＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OC＝CD
3．(甘肃金昌模拟)如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若OM＝3，则AB的长为(B)
A．5 B．6 C．7 D．8
4．在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为(C)
A．4 B．6 C．8 D．10
5．(南充中考)如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为__3__．
6．(盐城中考)如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的中线，若CD＝2，则AB＝__4__．
7．(青海中考)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知∠BOC＝120°，DC＝3 cm，则AC的长为__6__cm.
8．(贺州中考)如图，在矩形ABCD中，E，F分别为BC，DA的中点，以CD为斜边作Rt△GCD，GD＝GC，连接GE，GF.若BC＝2GC，则∠EGF＝__45°__．
9.(安顺中考)如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.
(1)求证：△ABN≌△MAD；
(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．
【解析】(1)在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，
∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，
在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD(AAS)；
(2)∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，
又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，
∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，
∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝4－8.
能力提升
1．(新疆喀什质检)如图，将矩形ABCD折叠，折痕为EF，BC的对应边B′C′与CD交于点M，若∠B′MD＝50°，则∠BEF的度数为__70°__．
2.(十堰中考)如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__20__．
3．(新疆中考)如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，点F在BC的延长线上，且BE＝CF.
求证：(1)△ABE≌△DCF；
(2)四边形AEFD是平行四边形．
【证明】(1)∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝CD，∠ABC＝∠DCB＝90°，AD＝BC，AD∥BC，
∴∠ABE＝∠DCF＝90°，在△ABE和△DCF中，，
∴△ABE≌△DCF(SAS).
(2)∵BE＝CF，∴BE＋EC＝CF＋EC，∴BC＝EF＝AD，
又∵AD∥BC，即AD∥EF，∴四边形AEFD是平行四边形．
4.(素养提升)(内蒙古包头模拟)如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝90°，对角线AC与BD相交于点O，BO＝DO，点E，F分别是AD，AC的中点．
(1)求证：∠ADC＋∠ADO＝∠EFC.
(2)如果点G是BC的中点，EG与AC相交于点H，求证：EH＝GH.
【证明】(1)∵点E，F分别是AD，AC的中点，
∴EF∥CD，∠ADC＝∠AEF，
∵∠BAD＝90°，OB＝OD，∴AO＝BD＝OD，
∴∠ADO＝∠DAO，
∴∠ADO＋∠ADC＝∠DAO＋∠AEF＝∠EFC.
(2)连接FG，GO，OE，
∵E，F，G，O分别是AD，AC，BC，BD的中点，
∴FG∥AB，FG＝AB，OE∥AB，OE＝AB，
∴FG∥OE，FG＝OE，∴四边形EFGO是平行四边形，∴EH＝GH.
PAGE18.1.2 平行四边形的判定
第1课时
教材认知
平行四边形的判定方法：
1．两组对边分别__平行__的四边形是平行四边形．
2．两组对边分别__相等__的四边形是平行四边形．
3．一组对边__平行__且__相等__的四边形是平行四边形．
4．两组对角分别__相等__的四边形是平行四边形．
5．对角线__互相平分__的四边形是平行四边形．
微点拨
判定平行四边形的方法
已知条件 证明思路
一组对边相等 1.另一组对边相等
2.该组对边平行
一组对边平行 1.另一组对边平行
2.该组对边相等
对角线相交 对角线互相平分
角 两组对角相等
基础必会
1．(新疆喀什质检)如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，下列条件不能判断四边形ABCD是平行四边形的是(C)
A．AB∥DC，AD∥BC B．AB＝DC，AD＝BC
C．AB∥DC，AD＝BC D．OA＝OC，OB＝OD
2．(内蒙古鄂尔多斯质检)小明要做一个挂衣架，首先需要一个平行四边形框架，于是他采用了如下方法：如图所示，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，再把AB，BC，CD，AD用木条钉起来，则四边形ABCD就是平行四边形框架，小明制作平行四边形框架的依据是(A)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3．(甘肃天水模拟)小敏不慎将一块平行四边形玻璃打碎成如图的四块，为了能在商店配到一块与原来相同的平行四边形玻璃，他带来了两块碎玻璃，其编号应该是__②③__．
4．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件__AB∥CD(答案不唯一)__，使四边形ABCD是平行四边形(填一个即可).
5．(新疆伊犁模拟)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝∠C.E是边BC上一点，且DE＝DC.求证：AD＝BE.
【证明】∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠C.
∵∠B＝∠C，∴∠B＝∠DEC，∴AB∥DE，
∵AD∥BC，∴四边形ABED是平行四边形，∴AD＝BE.
6．(永州中考)如图，已知点A，D，C，B在同一条直线上，AD＝BC，AE＝BF，AE∥BF.
(1)求证：△AEC≌△BFD.
(2)判断四边形DECF的形状，并证明．
【证明】(1)∵AD＝BC，
∴AD＋DC＝BC＋DC，∴AC＝BD，
∵AE∥BF，∴∠A＝∠B，
在△AEC和△BFD中，，
∴△AEC≌△BFD(SAS).
(2)四边形DECF是平行四边形．
∵△AEC≌△BFD，
∴∠ACE＝∠BDF，CE＝DF，∴CE∥DF，
∴四边形DECF是平行四边形．
能力提升
1．(内蒙古包头质检)顺次连接平面上A，B，C，D四点得到一个四边形，从①AB∥CD；②BC＝AD；③∠A＝∠C；④∠B＝∠D四个条件中任取其中两个，可以得出“四边形ABCD是平行四边形”这一结论的情况共有(C)
A．5种 B．4种 C．3种 D．1种
2．一个四边形的边长依次为a，b，c，d，且a2＋b2＋c2＋d2＝2ac＋2bd，则这个四边形是__平行四边形__．
3.(兰州质检)如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝3，BC＝8，E是BC的中点，点P以每秒1个单位长度的速度从A点出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动，点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t＝__1或__秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形．
4．(银川质检)在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，如果∠B＝50°，则∠D＝__50°__．
5.(素养提升)(呼和浩特质检)如图，在△ABC中，D是BC边的中点，分别过点B，C作射线AD的垂线，垂足分别为E，F，连接BF，CE.
(1)求证：四边形BECF是平行四边形；
(2)若AF＝FD，在不添加辅助线的条件下，直接写出与△ABD面积相等的所有三角形．
【解析】(1)∵D是BC的中点，∴BD＝CD，
∵BE⊥AD，CF⊥AD，
∴∠BED＝∠CFD＝90°，
在△BED与△CFD中，，
∴△BED≌△CFD(AAS)，
∴ED＝FD，又∵BD＝CD，
∴四边形BECF是平行四边形．
(2)若AF＝FD，
则与△ABD面积相等的三角形有△ACD，△CEF，△BEF，△BEC，△BFC.
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