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第六章 平面向量及其应用
1.单选题:(本题共8小题,每小题5分,共40分)
温馨提示:每一题的四个答案中只有一个是正确的,请将正确的答案选择出来!
1.【答案】D
【解析】【解答】,,
则。
故答案为:D
【分析】利用已知条件结合三角形法则、平行四边形法则和向量共线定理,再结合平面向量基本定理得出和,再利用数量积的运算法则和数量积的定义,进而得出的值。
2.【答案】A
【解析】【解答】因为向量,,所以;
若与共线,则,解得。
故答案为:A.
【分析】利用已知条件结合向量共线的坐标表示得出实数x的值。
3.【答案】D
【解析】【解答】由题意知:,,故.
故答案为:D.
【分析】由即可求解。
4.【答案】C
【解析】【解答】因为,,所以与同向,与反向,所以与反向.
故答案为:C.
【分析】由共线向量判定定理即可求解。
5.【答案】A
【解析】【解答】因为向量,,
所以,
因为不超过5,
所以,
解得,
所以k的取值范围是 [-2,6]。
故答案为:A
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和向量求模公式,进而得出实数k的取值范围。
6.【答案】C
【解析】【解答】,,
即,解得:,,
即与的夹角为.
故答案为:C.
【分析】根据向量数量积的定义和运算律可得方程,求得,由此求出答案。
7.【答案】B
【解析】【解答】由题意知:,,故。
故答案为:B.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式,再结合数量积的运算法则和数量积的定义,进而得出的值。
8.【答案】A
【解析】【解答】因为向量,且,所以.
设,则,解得:,即.
故答案为:A
【分析】根据题意设,求出的坐标,由,求出的值,得到的坐标.
2.多选题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)
温馨提示:每一题的四个答案中只有一个是正确的,请将正确的答案选择出来!
9.【答案】B,D
【解析】【解答】对于A,若为负数,可知,A不符合题意,
对于B,由定义知B符合题意,
对于C,若,则,共线,C不符合题意,
对于D,由定义知,D符合题意.
故答案为:BD
【分析】利用定义空间两个非零向量的一种运算:结合两向量垂直数量积为0的等价关系、向量共线定理和向量的模的定义,进而找出结论恒成立的选项。
10.【答案】A,C,D
【解析】【解答】由平面向量基本定理知,当,不共线时,若,则,
当与共线时,只是其中一组解,此时解不唯一,所以A不符合题意,所以B符合题意,
而且当,不共线时,不一定有与垂直,所以C不符合题意,
当与中至少一个为时,中至少有一个可以不为零,所以D不符合题意.
故答案为:ACD.
【分析】用平面向量的共线定理来判断.即当,不共线时,.
11.【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A:,因,, ,
即,则,可得,A不正确;
对于B:设的中点为D,则,若直线过的中点,则存在实数满足,
由A知,,而与不共线,则有且,无解,即不存在,AO不过BC中点,B符合题意;
对于C:取点,,使得,,,则,即点O为的重心,如图,
则,
而,同理可得:,
因此,, C符合题意;
对于D:由,得,而,
则,解得,
所以,D符合题意.
故答案为:BCD
【分析】对于A:由,, 代入化简即可判断,A不正确;
对于B:设的中点为D,假设直线过的中点,存在实数满足,由A知,,而与不共线,则有且,无解,即不存在,AO不过BC中点,B符合题意;
对于C:取点,,使得,,,则,即点O为的重心,则,根据三角形面积即可求面积比, C符合题意;
对于D:由,得,由已知条件解得,
代入数量积即可判断,D符合题意.
12.【答案】A,B,D
【解析】【解答】对于A,,方向相反,是平行向量,A符合题意;
对于B,为一组基底,不共线,
也不共线,也可以作为一组基底,B符合题意;
对于C,虽然单位向量模长相等,但方向可以不同,故不是所有单位向量均相等,C不符合题意;
对于D,为等边三角形,,D符合题意.
故答案为:ABD.
【分析】利用已知条件结合向量共线定理、平面向量基底的判断方法、单位向量的定义和相等向量判断方法、等边三角形的结构特征以及互补角求向量夹角的方法,进而找出正确命题的选项。
3.填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)
温馨提示:填空题必须是最简洁最正确的答案!
13.【答案】
【解析】【解答】∵向量,,
∴,
∴.
故答案为:.
【分析】利用向量数量积的运算法则可得,即得.
14.【答案】
【解析】【解答】以 为x轴, 为y轴,建立直角坐标系,
则 , ,设 ,
依题意有 , ,
,
即 ,向量 的终点在圆心为 ,半径为 的圆上,
的最大值= ;
故答案为: .
【分析】建立直角坐标系,用坐标表示向量 ,根据几何意义求解即可.
15.【答案】6
【解析】【解答】因为正三角形ABC中,D是边BC上的点,,
所以D是BC的三等分点,
所以,
所以,
所以.
故答案为:6
【分析】 根据题意利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义、两个向量的数量积的定义,求得 的值.
16.【答案】
【解析】【解答】设,的夹角为,由已知,
因为,
所以,
所以,
故在方向上的投影为·
故答案为:
【分析】设,的夹角为,由,可求得,由即可求解。
四.解答题(共6题,共70分,17-19每题10分,20-21每题12分,22题16分)
温馨提示:解答题应将必要的解答过程呈现出来!
17.【答案】(1)解:∵,则由正弦定理可得,
∴,∵,∴,,
∴,解得.
(2)解:若选择(1),由(1)可得,即
则,解得,
则由余弦定理可得BC边上的中线的长度为:
.
若选择(2):由(1)可得,设的外接圆半径为R,
则由正弦定理可得,,
则周长,解得,则,,
由余弦定理可得BC边上的中线的长度为:.
【解析】【分析】(1)直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果角B的大小;
(2)选①时,利用三角形的面积公式和余弦定理的应用求出结果;
选②时,利用余弦定理和三角形的周长求出结果.
18.【答案】(1)解:
∵即
∴则可得,
∵即则
∴,即,
则即.
(2)解:∵则,,
∴.
又∵为锐角三角形且则:,
∴,则,即
∴的取值范围为.
【解析】【分析】(1)由已知利用三角函数恒等变换的应用可得,即, 结合范围,可得的值.
(2)由正弦定理及三角函数两角差的正弦公式得, 结合为锐角三角形,且 即可解答 的取值范围.
19.【答案】(1)解:依题意,由正弦定理,
可得:,
即:,
由于在中,,所以,
又,所以,或.
(2)解:由,则,
又由正弦定理,得,
在中,由余弦定理,
得,所以,
所以,即的面积为.
【解析】【分析】(1)由正弦定理及正弦两角和公式即可求出角A的大小;
(2)由正弦定理、余弦定理、面积公式即可求解出的面积。
20.【答案】(1)证明:在△ACD中,由正弦定理得,
即,
因为,所以∠ACD=∠CAB,
所以
在△ABC中,由正弦定理得,
即,
所以.
又,
所以,即BC=2CD.
(2)解:由(1)知.
在△ACD中,由余弦定理得,
解得.
所以.
在△ABC中,,解得或3.
又因为ABCD为梯形,所以.
又梯形ABCD的高为,
所以梯形ABCD的面积为
【解析】【分析】(1) 在△ACD和△ABC中,分别利用正弦定理可得,,再由可得∠ACD=∠CAB,所以得.再结合已知条件可得,从而可证的结论;
(2)在△ACD中,由余弦定理可求得,, 在△ABC中,再利用余弦定理可求出AB,从而可求出梯形的面积。
21.【答案】(1)解:由正弦定理得
(2)解:若,则,故,由余弦定理得=2
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合正弦定理和同角三角函数基本关系式得出角A的正切值,再结合三角形中角A的取值范围,进而得出角A的值。
(2)利用已知条件结合数量积的定义,得出bc的值,再利用余弦定理得出a的值。
22.【答案】(1)证明:因为,
所以,
所以,即,
两边同时乘,可得,
即。所以,
因为,所以,
由正弦定理可得,即.
(2)解:因为,
所以由余弦定理可得,
因为,,
所以 ,
当且仅当时,等号成立,
所以的最小值为.
【解析】【分析】(1)利用已知条件结合同角三角函数基本关系式,再利用三角形内角和为180度的性质和诱导公式,再结合正弦定理证出 。
(2)利用已知条件结合数量积的定义和余弦定理以及,再结合均值不等式求最值的方法得出 的最小值。
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第六章 平面向量及其应用
1.单选题:(本题共8小题,每小题5分,共40分)
温馨提示:每一题的四个答案中只有一个是正确的,请将正确的答案选择出来!
1.已知平行四边形中,,则( )
A.9 B.-9 C.18 D.-18
2.设向量,.若与共线,则实数的值为( )
A. B. C.10 D.-11
3.已知平面向量,均为单位向量,若向量,的夹角为,则( )
A.3 B.7 C. D.
4.已知、、均为非零向量,且,,则( )
A.与垂直 B.与同向
C.与反向 D.与反向
5.已知向量,.若不超过5,则k的取值范围是( )
A.[-2,6] B.[-6,4] C.[-6,2] D.[-4,6]
6.已知和为非零向量,且,与的夹角为( )
A. B. C. D.
7.设,为平面向量.若为单位向量,,与的夹角为,则( )
A. B. C. D.
8.已知点和向量,且,则点B的坐标为( )
A. B. C. D.
2.多选题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)
温馨提示:每一题的四个答案中只有一个是正确的,请将正确的答案选择出来!
9.定义空间两个非零向量的一种运算:,则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有( )
A. B.
C.若,则 D.
10.若,则,那么下列对,的判断不正确的是( )
A.与一定共线 B.与一定不共线
C.与一定垂直 D.与中至少有一个为
11.已知点为所在平面内一点,且,则下列选项正确的是( )
A.
B.直线不过边的中点
C.
D.若,则
12.下列命题正确的是( )
A.若向量满足,则为平行向量
B.已知平面内的一组基底,则向量也能作为一组基底
C.模等于1个单位长度的向量是单位向量,所有单位向量均相等
D.若是等边三角形,则
3.填空题(本题共4小题,每题5分,共20分)
温馨提示:填空题必须是最简洁最正确的答案!
13.已知向量,,则 .
14.已知 是平面内两个相互垂直的单位向量,若向量 满足, 则 的最大值为 .
15.在正三角形ABC中,D是边BC上的点.若,则 .
16.已知,,,则在方向上的投影为 .
四.解答题(共6题,共70分,17-19每题10分,20-21每题12分,22题16分)
温馨提示:解答题应将必要的解答过程呈现出来!
17.已知在中,A,B,C为三个内角,a,b,c为三边,,.
(1)求角B的大小;
(2)在下列两个条件中选择一个作为已知,求出BC边上的中线的长度.
①的面积为;
②的周长为.
18.在中,内角A、B、C所对的边分别为、、,已知.
(1)求角的大小;
(2)若为锐角三角形,且,求的取值范围.
19.在ABC中,内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,且.
(1)求角A的大小;
(2)若a=1,b>a,,求ABC的面积.
20.如图,在梯形ABCD中,,.
(1)求证:BC=2CD;
(2)若AD=BC=2,∠ADC=120°,求梯形ABCD的面积.
21.在中,A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
(1)求A的大小;
(2)若,且,求a的值.
22.记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足.
(1)求证:;
(2)若,求的最小值.
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