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第九章 统计
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】D
【解析】【解答】，
应抽取的大型城市个数为个．
故答案为：D．
【分析】先算抽样比，然后由大型城市数乘以抽样比可得.
2．【答案】B
【解析】【解答】依题意，该田径队运动员的平均身高为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法和平均数公式，进而得出该田径队运动员的平均身高。
3．【答案】D
【解析】【解答】这五个社团的总人数为，．A不符合题意，C不符合题意．
因为太极拳社团人数的占比为，所以脱口秀社团人数的占比为
，B不符合题意．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】由饼状图逐项判断即可。
4．【答案】D
【解析】【解答】乙销售数据的极差是112－88＝24，A符合题意；
甲销售数据的众数为93，B符合题意；
甲销售数据的均值为(80×3＋90×5＋100×2＋7＋6＋4＋9＋8＋3＋3＋1＋6＋3)×＝94，
乙销售数据的均值为(80＋90×4＋100×4＋110＋8＋5＋7＋8＋8＋1＋2＋3＋6＋2)×＝100，∴乙销售数据的均值比甲大，C符合题意；
甲销售数据的中位数为93，D不符合题意.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合茎叶图中的数据，再结合极差公式、众数公式、平均数公式和中位数公式，进而找出错误说法的选项。
5．【答案】C
【解析】【解答】由题可得抽取的10人中，高一有4人，高二有4人，高三有2人，
所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，基本事件总数为，
所抽取的两人中，至少有一个是高一学生的基本事件个数为，
所以从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为，
故答案为：C
【分析】根据分层抽样的定义计算出抽取的样本中高一学生的人数，分别计算出选两人做问卷调查的基本事件数和所选取的两人中至少有一个是高一学生的基本事件个数，最后利用古典概型公式计算即可．
6．【答案】A
【解析】【解答】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；
则平均数；
方差，即；
对于A选项，若存在，则有，所以不可能是参赛选手成绩；
对于B选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；
对于C选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；
对于D选项，若存在，则有，所以有可能是参赛选手成绩；
综上所述，60不可能是参赛选手成绩；
故答案为：A.
【分析】设所有参赛的500名选手成绩为：，，，；由 平均数为82，方差为0.82 可得 ，逐项验证选项即可。
7．【答案】C
【解析】【解答】第一组的频率为，前两组的频率之和为，
知25%分位数在第二组内，故25%分位数为。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用分位数的求解方法，进而得出由直方图得到的25%分位数。
8．【答案】D
【解析】【解答】A选项，，故非洲的面积占陆地面积的，比亚洲小，并不是最大.
B选项，大洋洲面积占地球陆地表面积的，并不是总面积的.
C选项，与题意不符.
D选项，符合题意.
故答案为：D
【分析】 计算出非洲的面积,大洋洲的面积，亚洲的面积，大洋洲面积占陆地表面积的百分比，再与选项对比即得答案.
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．【答案】B,D
【解析】【解答】由折线图得：
对于A，甲组数据的极差小于乙组数据的极差，A不符合题意；
对于B，甲组数据除第二天数据略低于乙组数据，其它天数据都高于乙组数据，可知，B符合题意；
对于C，甲组数据比乙组数据稳定，，C不符合题意；
对于D，甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数，D符合题意．
故答案为：BD．
【分析】利用已知条件结合折线图中的数据，再结合极差公式、平均数公式、方差公式和中位数公式，进而找出说法正确的选项。
10．【答案】A,C
【解析】【解答】对于A，原数据的中位数为，去掉后的中位数为，即中位数没变，A符合题意；
对于B，原数据的平均数为，去掉后的平均数为即平均数不变，B不符合题意：
对于C，则原数据的方差为，
去掉后的方差为，
故，即方差变大，C符合题意，D不符合题意.
故答案为：AC.
【分析】由中位数的概念可判断A，根据平均数的概念结合等差数列的性质判断B；由方差计算公式即可判断C，D。
11．【答案】A,C
【解析】【解答】对于A，的平均数，的平均数为，正确；
对于B，的方差，的平均数为，方差为，错误；
对于C， ，又，，故，故当x＝时，函数有最小值，正确；
对于D，由上知，，错误.
故答案为：AC.
【分析】A、B选项直接计算平均数和方差即可判断；C选项先化简得到，再结合得到，即可判断；由的最小值即可判断D选项.
12．【答案】A,D
【解析】【解答】A：数据的平均数为，
众数和中位数都是3，A符合题意；
B：根据样本的抽样比等于各层的抽样比知，
样本容量为，B不符合题意；
C：乙组数据的平均数为，
乙组数据的方差为，
所以这两组数据中较稳定的是乙，C不符合题意；
D：该组数据共10个数，由，
则该组数据的分位数为4.5，D符合题意．
故答案为：AD
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】5.2
【解析】【解答】由题意知：，所以，而，
∴
故答案为：5.2
【分析】由平均数求得a，再由方差公式即可求解。
14．【答案】6
【解析】【解答】由平均数的计算公式，可得，可得，
所以方差.
故答案为：6.
【分析】 根据已知条件，结合平均数公式和方差的公式，即可求解出方差 .
15．【答案】390
【解析】【解答】，则
故答案为：390.
【分析】先求出，再用即可求出队射击环节的加罚距离平均数。
16．【答案】7500
【解析】【解答】由图可知，第五小组的频率为，
又因为从左至右五个小组的频率之比为5∶7∶12∶10∶6，
所以第一小组、第五小组的频率之比为5∶6，
所以第一小组的频率为，
所以该市6万名高一学生中视力在范围内的学生人数约为。
故答案为：7500。
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频数等于频率乘以样本容量，进而得出该市6万名高一学生中视力在范围内的学生人数。
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．【答案】（1）解：由题意可知
解得，
（2）解：利用分层抽样从样本中抽取10人，
易知其中属于高关注人群的有人，
属于次高关注人群的有人．
则的所有可能取值为3，2，1，0，
所以，，
，
所以的分布列为
X 3 2 1 0
P
所以
【解析】【分析】（1）由题意易得求解即可；
（2）由分层抽样易得 高关注人群 6人， 次高关注人群 4人，进而判断 的所有可能取值为3，2，1，0 ，再由古典概型概率公式计算X取每一个值对应概率，即可解决问题。
18．【答案】（1）解：①高一学生每天抽检人数为（人）；
②方案二更合理，因为新冠病毒奥密克戎毒株传染性更强、潜伏期更短，分散抽检可以全面检测年级中每班学生的状况，更有利于防控筛查工作；
（2）解：①，，
所以，
，
变量和的相关系数为，
因为，可知两变量线性相关性很强；
②由可知变量和是负相关，可能的原因：随着抽检工作的开展，学校相关管理协调工作效率提高，因此用时缩短；
【解析】【分析】(1)①首先求出高一年级的总人数，即可求出高一学生每天抽检人数；②显然分散抽检更合理；
(2)①根据相关系数公式求出r，即可判断线性相关关系；②根据相关系数的正负判断即可，再给出合理解析即可。
19．【答案】（1）解：由题可得列联表：
了解 不了解 合计
男生 140 60 200
女生 110 90 200
合计 250 150 400
根据所给数据得
故有超过99.5%的把握该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
（2）解：①采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，由题可得不了解冬季奥运会项目的学生中男女比例为2：3，
故这5人中包含3名女生，2名男生，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，
则“男、女生至少各抽到一名”的概率为；
②由题意得学生了解冬季奥运会项目的概率为，可知，
故.
【解析】【分析】（1）完善列联表，计算，根据临界值，即可判断；
（2）①根据分层抽样的定义以及古典概型公式即可求解；
②由题意得学生了解冬季奥运会项目的概率为 ，满足二项分布，根据二项分布期望公式求解.
20．【答案】（1）解：由直方图知
成绩在区间[80,90)内的学生有 ，
成绩在区间[90,100]内的学生有 ，
所以成绩优秀的学生有 100 人
（2）解：用分层抽样的方法从优秀的学生中任选 5 人，即从成绩在区间[80,90)的学生中抽取 ，记此 3 人分别为 A、B、C；从成绩在区间[90,100)的学生中抽取 ，记此2人分别为M、N.从这5人中任选2人的选法有 共10种，其中2人的成绩都在区间[90,100]的选法有 共1种.
故所选2人的成绩都在区间[90,100]的概率
【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图求出成绩在[80，90)内的学生人数以及成绩在[90，100]内的学生人数，进而可以求出结果；
(2)首先根据分层抽样确定[80，90)与[90，100]的人数，然后列举法列出基本事件，再根据古典概型的概率公式即可求解.
21．【答案】（1）解：平均值估计为：
，
前三个小矩形的面积之和为
故中位数落在第四个矩形中
中位数估计为：．
（2）解：投资项目的回报率概率分布为：
16 8 -16
P 0.55 0.35 0.1
期望值，
方差，
投资项目的回报率概率分布为：
13 9 -3
0.55 0.35 0.1
期望值，
方差，
两个投资方案期望值相同，但投资项目的方差更小，建议投资项目．
【解析】【分析】(1)用每个小矩形底边中点乘以该矩形的面积再相加即得平均值，中位数就是频率分布直方图面积的一半所对应的横坐标；
(2)两个项目投资回报率的期望值相同，比较方差,方差越小说明投资回报率越稳定，风险更小，应该选择风险小的项目.
22．【答案】
（1）解：
（2）解：质量指标值的样本平均数为
,
所以这种面包质量指标值的平均数的估计值为100.2
（3）解：质量指标值不低于85的面包所占比例为，
由于该值大于0.9，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定”.
【解析】【分析】(1)由频数分布表能画出频率分布图；
(2)利用频率分布直方图能求出质量指标值的样本平均数，由此能求出这种面包质量指标值的平均数的估计值；
(3)求出质量指标值不低于85的面包所占比例的估计值为0.92，由于该估计值大于0.9，故可以认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定.”
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第九章 统计
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．某区域有大型城市24个，中型城市18个，小型城市12个，为了解该区域城市空气质量情况，现采用分层抽样的方法抽取9个城市进行调查，则应抽取的大型城市个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，用分层抽样的方法从全体运动员中抽取一个容量为7的样本，抽出的男运动员平均身高为，抽出的女运动员平均身高为，估计该田径队运动员的平均身高是（ ）
A．172.95cm B．173.6cm C．172.3cm D．176cm
3．某学校组建了合唱、朗诵、脱口秀、舞蹈、太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己的兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的25%
C．这五个社团总人数占该校学生人数的8%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%
4．如图所示的茎叶图记录了甲 乙两种商品连续10天的销售数据，则下列说法错误的是( )
A．乙销售数据的极差为24 B．甲销售数据的众数为93
C．乙销售数据的均值比甲大 D．甲销售数据的中位数为92
5．某校有高一、高二、高三三个年级，其人数之比为，现用分层抽样的方法从总体中抽取一个容量为10的样本，现从所抽取样本中选两人做问卷调查，至少有一个是高一学生的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某高校举行科普知识竞赛，所有参赛的500名选手成绩的平均数为82，方差为0.82，则下列四个数据中不可能是参赛选手成绩的是（ ）
A．60 B．70 C．80 D．100
7．下图是根据某班学生在一次数学考试中的成绩画出的频率分布直方图，则由直方图得到的25%分位数为（ ）
A．66.5 B．67 C．67.5 D．68
8．地球的表面积为5.1亿平方千米，而陆地面积为1.49亿平方千米.右侧的扇形统计图表示的是各大洲面积占地球陆地面积的百分比，则关于七大洲的说法中，正确的是（ ）
A．非洲的面积最大
B．大洋洲的面积占地球表面积的6%
C．大洋洲的面积大约为0.306亿平方千米
D．亚洲的面积超过0.298亿平方千米
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．甲组数据的极差大于乙组数据的极差
B．若甲，乙两组数据的平均数分别为，则
C．若甲，乙两组数据的方差分别为，则
D．甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
10．已知一组数据，，…，是公差不为0的等差数列，若去掉数据，则（ ）
A．中位数不变 B．平均数变小 C．方差变大 D．方差变小
11．设一组样本的统计数据为：，其中n∈N*，．已知该样本的统计数据的平均数为，方差为，设函数，x∈R．则下列说法正确的是（ ）
A．设b∈R，则的平均数为
B．设a∈R，则的方差为
C．当x＝时，函数有最小值
D．
12．下列命题中是真命题的有（ ）
A．一组数据2，1，4，3，5，3的平均数、众数、中位数相同
B．有A、B、C三种个体按3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的A个体数为9，则样本容量为30
C．若甲组数据的方差为5，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6的80%分位数为4.5
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．若一组样本数据2，3，7，8，的平均数为5，则该组数据的方差 .
14．一组数据1，a，4，5，8的平均数是4，则这组数据的方差为
15．冬季两项起源于挪威，与冬季狩猎活动有关，是一种滑雪加射击的比赛，北京冬奥会上，冬季两项比赛场地设在张家口赛区的国家冬季两项中心，其中男女混合公里接力赛项目非常具有观赏性，最终挪威队惊险逆转夺冠，中国队获得第15名.该项目每队由4人组成（2男2女），每人随身携带枪支和16发子弹（其中6发是备用弹），如果备用弹用完后仍有未打中的残存目标，就按残存目标个数加罚滑行圈数（每图150米），以接力队的最后一名队员到达终点的时间为该队接力的总成绩.根据赛前成绩统计分析某参赛队在一次比赛中，射击结束后，残存目标个数X的分布列如下：
X 0 1 2 3 4 5 6 >6
P 0.15 0.1 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0
则在一次比赛中，该队射击环节的加罚距离平均为 米.
16．中小学生的视力状况受到社会的广泛关注，某市有关部门从全市6万名高一学生中随机抽取了400名，对他们的视力状况进行一次调查统计，将所得到的有关数据绘制成频率分布直方图，如图所示．从左至右五个小组的频率之比依次是5：7：12：10：6，则全市高一学生视力在范围内的学生约有 人．
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4日在中国北京开幕，简称“北京冬奥会”．某媒体通过网络随机采访了某市100名关注“北京冬奥会”的市民，其年龄数据绘制成如图所示的频率分布直方图．
（1）已知、、三个年龄段的人数依次成等差数列，求a，b的值；
（2）该媒体将年龄在内的人群定义为高关注人群，其他年龄段的人群定义为次高关注人群，为了进一步了解其关注项目．现按“关注度的高低”采用分层抽样的方式从参与采访的100位关注者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行电视访谈，求此3人中来自高关注人群的人数X的分布列与数学期望．
18．近期新冠病毒奥密克戎毒株全球蔓延，传染性更强、潜伏期更短、防控难度更大．为落实动态清零政策下的常态化防疫，某高中学校开展了每周的核酸抽检工作：周一至周五，每天中午13：00开始，当天安排450位师生核酸检测，五天时间全员覆盖．
（1）该校教职工有410人，高二学生有620人，高三学生有610人，
①用分层抽样的方法，求高一学生每天抽检人数；
②高一年级共15个班，该年级每天抽检的学生有两种安排方案，方案一：集中来自部分班级；方案二：分散来自所有班级．你认为哪种方案更合理，并给出理由．
（2）学校开展核酸抽检的第一周，周一至周五核酸抽检用时记录如下：
第天 1 2 3 4 5
用时（小时） 1.2 1.2 1.1 1.0 1.0
①计算变量和的相关系数（精确到0.01），并说明两变量线性相关的强弱；
②根据①中的计算结果，判定变量和是正相关，还是负相关，并给出可能的原因．
参考数据和公式：，相关系数．
19．第24届冬季奥林匹克运动会（The XXIV Olympic Winter Games），即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事，于2022年2月4日开幕，2月20日闭幕.2022年北京冬季奥运会共设7个大项，15个分项，109个小项．北京赛区承办所有的冰上项目，延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目，张家口赛区承办除雪车、雪橇、高山滑雪之外的所有雪上项目．为调查学生对冬季奥运会项目的了解情况，某中学进行了一次抽样调查，统计得到以下列联表．
了解 不了解 合计
男生 60 200
女生 110 200
合计
附：．
（1）完成列联表，并判断有超过多大的把握认为该校学生对冬季奥运会项目的了解情况与性别有关；
（2）①为弄清学生不了解冬季奥运会项目的原因，按照性别采用分层抽样的方法，从样本中不了解冬季奥运会项目的学生中随机抽取5人，再从这5人中抽取3人进行面对面交流，求“男、女生至少各抽到一名”的概率；
②用样本估计总体，若再从该校全体学生中随机抽取40人，记其中对冬季奥运会项目了解的人数为X，求X的数学期望．
附表：
0.025 0.010 0.005 0.001
5.024 6.635 7.879 10.828
20．某学校高二年级学生共有400人，将其体育达标测试成绩（单位：分）按区间[50,60），[60,70),[70,80),[80,90),[90,100)分组，由此绘制的频率分布直方图如图所示.规定成绩不低于80分为优秀.
（1）求成绩优秀的学生人数；
（2）从成绩优秀的学生中按组分层抽样选出5人，再从这5人中选出2人，求这2人的成绩都在区间[90,100]的概率.
21．投资人甲为预测某行业的发展前景，对100位从事该行业的人进行了访问，根据被访问者的问卷评分（满分100分）得到如下频率分布直方图．将该行业发展前景预期分为三个等级，评分不超过40分认为悲观，大于40分不超过60分认为尚可，超过60分认为乐观．将这100人预测各等级的频率估计为未来该行业各等级发生的可能性．
（1）估计这100个人评分的平均值和中位数；
（2）投资人甲在该行业有A，B两个备选投资项目，投资回报率都与该行业发展前景等级有关，根据分析，大致关系如下：
行业发展前景等级 乐观 尚可 悲观
项目A年回报率（） 16 8 -16
项目B年回报率（） 13 9 -3
根据以上信息，分别计算这两个备选投资项目的年回报率的期望与方差，并用统计学的知识给甲投资建议．
22．从某食品厂生产的面包中抽取100个，测量这些面包的一项质量指标值，由测量结果得如下频数分布表：
质量指标值分组
频数 8 22 36 28 6
（1）在相应位置上作出这些数据的频率分布直方图；
（2）估计这种面包质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.
（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该食品厂生产的这种面包符合“质量指标值不低于85的面包至少要占全部面包90%的规定”？
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