新人教版高中数学必修第一册2.2 基本不等式(共18张PPT)

(共18张PPT)
第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
人教A版2019高中数学必修第一册
基本不等式及其推导
前面我们利用面积法和完全平方公式得出了一类重要不等式：
，有：
特别地，如果，我们用分别代替上式中的
，可得：
当且仅当时，等号成立.
当且仅当时，等号成立
通常称为基本不等式，又叫均值不等式.其中， 叫做正数
的算术平均数， 叫做正数的几何平均数
基本不等式及其推导
【问题】上述均值不等式是如何推导的？
【证法一】当时，，由重要不等式可得：
，
，所以
【证法二】当然我们也可以利用倒推法：
要证，去分母并调换方向，相当于证；移项，相
当于证；配方，相当于证.而此式显然成
立.当且仅当时，等号成立.把这个过程倒过来，就是证明的过程.
基本不等式及其推导
（1）基本不等式成立的条件是.
①若，如，此时是不成立的；
②若中有一个小于0，如如，则无意义
③若等于0，虽然该不等式也成立，但一般不研究这种情况
（2）基本不等式的常见变形式：
① ②
基本不等式链
高中数学需要掌握的几个公式
完全立方公式
完全立方公式
立方和公式
立方差公式
基本不等式的推广
①三元不等式：
当为正实数时，
.
当且仅当时成立
②n元基本不等式：
当且仅当时成立
基本不等式的几何意义
【答】可证，因此CD=，由于CD
小于或等于圆的半径，所以用不等式表示为：
如图，AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=，BC= .过点C作
垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？
A
B
D
C
E
显然，当且仅当点C与圆心重合，即当时，
等号成立.
利用基本不等式求最值
题【1】
【解】因为，所以
已知，求的最小值.
本题可拓展为当时，，
当且仅当，即时，等号成立.
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值是2
利用基本不等式求最值
题【2】已知都是正数，求证：
（1）如果等于定值P，那么当时，有最小值
【证明】所以
（1）等于定值P时， ，所以
当且仅当时，上式等号成立，此时有最小值
（2）如果等于定值S，那么当时，有最大值
（2）时， ，两边平方，所以
，当且仅当时，上式等号成立，此时有最大值
利用基本不等式求最值
【1】利用基本不等式解决最值问题要牢记三个关键词：一正二定三相等.
一正：各项必须为正
二定：各项之和或各项之积为定值
三相等：必须验证取等号时的条件十分具备
【2】利用基本不等式求最值的关键：根据定值求最值，配凑变换不可少.
【3】基本不等式求最值模型：若，，则有
，当且仅当时等号成立
①当时，，，
当且仅当时，等号成立.
什么是最值定理？
②当时，，
当且仅当时，等号成立.
练习①：已知，求证：.
【证明】
，即.
练习②：已知都是正数，且，求证：
（1） （2）
【证明】（1）∵ ， ，∴ ，
∴ ，
由于，等号取不到，所以
（2）∵ ， ， ，∴，
∴ ，∴ ，
∴
本题可拓展到求，等同类式子的最小值.
练习③：取何值时，取得最小值？最小值是多少？
【解】由题意∵ ， 所以，
∴,
当且仅当，即时，取得最小值，最小值为
基本不等式的实际应用
【例题】(1)用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，当这个矩形的边长
为多少时，所用的篱笆最少，最短长度是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以米
当且仅当米，即围成正方形时，有最短长度40米
基本不等式的实际应用
【例题】(2)用一段长为36米的铁丝网围成一个矩形菜园，当这个矩形的长和
宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
【解】由题意设篱笆的长和宽分别为米，且
所以为平方米，根据基本不等式，
，即
当且仅当，即围成正方形时，有最大面积81平方米.
基本不等式的实际应用
【例题】（3）某工厂要建造一个长方体形状的无盖蓄水池，其容积为4800立
方米，深为3米.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方
米的造价为120元，那么怎样设计水池才能使总造价最低？最低
造价是多少？
【解】设水池底面的长和宽分别为米，且，总造价元，
根据题意，有
因为容积为，所以，，
当且仅当米时，取得最低总造价
元
，
练习④：已知直角三角形的面积为50，当两条直角边的长度各为多少时，
两条直角边的和最小？最小值是多少？.
【解】由题意设两条直角边的长度分别为，且
则面积为，即，
所以，
当且仅当 时，两条直角边的和有最小值20