新人教版高中数学必修第一册2.3 二次函数与一元二次方程、不等式(共16张PPT)

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第2章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
人教A版2019高中数学必修第一册
函数、方程、不等式知识回顾
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程，一元一次不等式，
发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以让我们更简便的解决问题：
方程的解为
的解为
的解为
对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，
他们的联系又是怎样的呢？
一元二次不等式的概念
【问题】园艺师傅打算在绿地上用栅栏围成一个矩形区域种
植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大
于20 m 2，则这个矩形的长和宽应该是多少？
【解】由题意设这个矩形的两条边长分别为米，则：
，其中，
，
，则，即长和宽都在2到10米之间.
即，或
一元二次不等式的概念
【定义】在上题中我们得到这样一个不等式
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，
称为一元二次不等式.它的一般形式是
， ，
，，
其中都是常数且 .
1.“一元”指的是只有一个未知数，不代表只有一个字母，如等；
2.“二次”指的是未知数的最高次必须存在并且是2，并且最高次系数不为0.
二次函数的零点
观察一下一元二次不等式和二次函数的
在初中，我们学习了从一次函数的观点看一元一次次方程、一元一次不等式的思想方法.类似的，能否从二次函数的观点来看一元二次不等式，进而得到
一元二次不等式的求解方法呢？
关系.如图在坐标系中画出二次函数的图像，图像与
轴有两个交点.它们的更坐标就是方程
的两个实根，即交点坐标为(2,0)
和(10，0).我们把使得的实数叫做
函数的零点.
的零点就是
【注意】零点不是点，是交点的横坐标，是数
一元二次不等式的解法
从图中可以看出，二次函数的两个零点将轴分成三段.
当，函数图像位于轴下方，此时，即 ，所以，一元二次不等式的解集为：
{}
上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式 的解集.首先求出一元二次方程的根，再根据二次函数图像求解.
当时，函数图像位于轴上方，此时 ，即 ；
一元二次不等式的解法
()
两个不等实根
()
两个相等实根
没有实数根
{}
{}
R
{}


一元二次不等式的解法
三个“二次”关系的实质用数形结合的思想来解读：
的解的图像与轴的交点的横坐标；
的解集的图像上的点处于轴
上方时，对应的的取值范围的集合；
的解集的图像上的点处于轴
下方时，对应的的取值范围的集合；
【例题】求不等式的解集.
【分析】方程的根是函数的零点，所以先求
出的根，再根据图像求的解集.
【解】方程，因为，所以它有
两个实数根.解方程得.画出函数
的图像如图所示，
结合图像可知不等式的解集为{|}
一元二次不等式的应用
例题① 一家车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的
的摩托车数量(单位:辆)与创造的价值(单位:元)之间有如下的关系：
，若这家工厂希望在一个星期
内利用这条流水线创收60000元以上，则应该生产
摩托车多少辆？
【解】设一星期内生产摩托车辆，由题意有：
，整理得，
方程有两个实数根.
结合图像可知的解集为
{|}
一元二次不等式的应用
例题② 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位:米)和汽车刹车前的速度(单位:
km/h)之间有如下关系:.再一次交通
事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5米，那么
这辆车刹车前的速度至少为多少？
【解】根据题意得： ，整理得：
，方程有两个实数
根， ，
结合图像可知的解集为
{|}，即车速至少为80 km/h.
练习①：解关于的不等式.
【证明】对于方程，
【解含参数的一元二次不等式】
的正负未知，故需要分类讨论：
①当或时，方程的两根为
所以原不等式的解集为{|}
②当时， ，方程有两个相等实根
所以原不等式的解集为{|}
练习①：解关于的不等式.
【证明】对于方程，
【解含参数的一元二次不等式】
的正负未知，故需要分类讨论：
③当时， ，有两个相等实根
④当时， ，方程无解
所以原不等式的解集为R
所以原不等式的解集为{|
练习②：已知不等式的解集为{|}，求的值
【方法1】由题设条件知，且1，2是方程的两实根.
【三个“二次”的关系】
由韦达定理知
解得
【方法2】把 ，分别代入方程中，
得
解得
练习③：不论取何值，不等式恒成立，求的取值范围.
【解】因为不等式恒成立，即函数
的图像全部在轴下方.
【不等式恒成立的问题】
当时，，显然对任意不能恒成立；
当时，由二次函数图像可知有
解得
综上可知，解得的取值范围是{|}
解一元二次不等式的过程
将原不等式化成的形式
计算的值
方程有两个不等实根( )
原不等式的解集为
{|｝
方程有两个相等实根( )
原不等式的解集为
{|｝
方程
没有实根
原不等式的解集为
R