7.3.2.2 正弦函数、余弦函数的性质 教案

第七章　三角函数
7.3.2.2 正弦函数、余弦函数的性质
三角函数的基础是几何中的相似形和圆，而研究方法又主要是代数的，因此三角函数集中地体现了形数结合的思想，在代数和几何之间建立了初步的联系．在本章中，充分渗透了数形结合的思想．一方面是以形助数，突出了几何直观对理解抽象数学概念的作用．借助三角函数的图象理解三角函数在一个周期上的单调性、最大和最小值、图象与坐标轴的交点等性质；
课程目标 学科素养
1.掌握y＝sin x，y＝cos x的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值域和最值. 2.掌握y＝sin x，y＝cos x的单调性，并能利用单调性比较大小. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间． 1.逻辑推理： 求正弦、余弦形函数的单调区间； 2.数学运算：利用性质比较大小、求最值、值域及判断奇偶性. 3.数学建模：让学生借助数形结合的思想，通过图像探究正、余弦函数的性质.
教学重点：通过正弦曲线、余弦曲线这两种曲线探究正弦函数、余弦函数的性质；
教学难点：应用正、余弦函数的性质来求含有cosx,sinx的函数的单调性、最值、值域及对称性.
1．已知sin x＝m－1且x∈R，则m的取值范围是________．
答案：[0,2]
2．函数y＝3＋2cos x的最大值为________．
答案：5
3．若cos x≥，则x的取值范围为________．
答案：
4. 函数f(x)＝sin(－x)的奇偶性是_______．
答案：奇函数
知识点一　正弦、余弦函数的定义域、值域
观察下图中的正弦曲线和余弦曲线．
正弦曲线：
余弦曲线：
可得如下性质：
由正弦、余弦曲线很容易看出正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R，值域都是[－1,1]．
对于正弦函数y＝sin x，x∈R，有：
当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
对于余弦函数y＝cos x，x∈R，有：
当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1；
当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
知识点二　正弦、余弦函数的单调性
思考1　观察正弦函数y＝sin x，x∈的图象．正弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案　观察图象可知：
当x∈时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由－1增大到1；
当x∈时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈(k∈Z)时，正弦函数y＝sin x是减函数，函数值由1减小到－1.
思考2　观察余弦函数y＝cos x，x∈[－π，π]的图象．
余弦函数在[－π，π]上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？
答案　观察图象可知：
当x∈[－π，0]时，曲线逐渐上升，函数是增函数，cos x的值由－1增大到1；
当x∈[0，π]时，曲线逐渐下降，函数是减函数，cos x的值由1减小到－1.
推广到整个定义域可得
当x∈[2kπ－π，2kπ]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是增函数，函数值由－1增大到1；
当x∈[2kπ，(2k＋1)π]，k∈Z时，余弦函数y＝cos x是减函数，函数值由1减小到－1.
思考3　正弦函数、余弦函数的单调区间是什么？
答案　 y＝sin x的增区间为，k∈Z，减区间为，k∈Z.
y＝cos x的增区间为[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z，减区间为[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z.
梳理　
解析式 y＝sin x y＝cos x
图象
值域 [－1,1] [－1,1]
单调性 在，k∈Z上递增，在，k∈Z上递减 在[－π＋2kπ，2kπ]，k∈Z上递增， 在[2kπ，π＋2kπ]，k∈Z上递减
最值 当x＝＋2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝－＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1 当x＝2kπ，k∈Z时，ymax＝1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，ymin＝－1
典型例题
类型一　求正弦、余弦函数的单调区间
例1　求函数y＝2sin的单调递增区间．
解　y＝2sin＝－2sin，
令z＝x－，则y＝－2sin z.
因为z是x的一次函数，所以要求y＝－2sin z的单调递增区间，即求sin z的单调递减区间，
即2kπ＋≤z≤2kπ＋(k∈Z)．
∴2kπ＋≤x－≤2kπ＋(k∈Z)，
即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
∴函数y＝2sin的单调递增区间为(k∈Z)．
总结　用整体替换法求函数y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间．求单调区间时，需将最终结果写成区间形式．
跟踪训练1　求函数f(x)＝2cos的单调递增区间．
解　令－π＋2kπ≤2x－≤2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
类型二　正弦、余弦函数单调性的应用
命题角度1　利用正、余弦函数的单调性比较大小
例2　利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小．
(1)sin 196°与cos 156°；
(2)cos与cos.
解　(1)sin 196°＝sin(180°＋16°)＝－sin 16°，
cos 156°＝cos(180°－24°)＝－cos 24°＝－sin 66°.
∵0°<16°<66°<90°，且y＝sin x在[0°，90°]上是增函数，
∴sin 16°从而－sin 16°>－sin 66°，即sin 196°>cos 156°.
(2)cos＝cos π＝cos＝cos π，
cos＝cos π＝cos＝cos .
∵0<<π<π，且y＝cos x在[0，π]上是减函数，
∴cos π总结　用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小．
跟踪训练2　cos 1，cos 2，cos 3的大小关系是________．(用“>”连接)
答案　cos 1>cos 2>cos 3
解析　由于0<1<2<3<π，而y＝cos x在[0，π)上单调递减，所以cos 1>cos 2>cos 3.
命题角度2　已知三角函数的单调性求参数范围
例3　已知ω是正数，函数f(x)＝2sin ωx在区间上是增函数，求ω的取值范围．
解　由－＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，ω>0，得
－＋≤x≤＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
根据题意，得 (k∈Z)，
从而有解得0<ω≤.
故ω的取值范围是.
总结　此类问题可先解出f(x)的单调区间，将问题转化为集合间的包含关系，然后列不等式组求出参数范围．
跟踪训练3　已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
答案　A
解析　取ω＝，f(x)＝sin，
其减区间为，k∈Z，
显然 ，k∈Z，排除B，C.
取ω＝2，f(x)＝sin，
其减区间为，k∈Z，
显然 ，k∈Z，排除D.
类型三　正弦、余弦函数的值域或最值
例4　求函数f(x)＝2sin2x＋2sin x－，x∈的值域．
解　令t＝sin x，因为x∈，
所以t∈，则f(x)可化为
y＝2t2＋2t－＝22－1，t∈，
所以当t＝时，ymin＝1，
当t＝1时，ymax＝，
故f(x)的值域是.
总结　一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等．三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质．
常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种：
(1)形如y＝sin(ωx＋φ)的三角函数，令t＝ωx＋φ，根据题中x的取值范围，求出t的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出y＝sin t的最值(值域)．
(2)形如y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)的三角函数，可先设t＝sin x，将函数y＝asin2x＋bsin x＋c(a≠0)化为关于t的二次函数y＝at2＋bt＋c(a≠0)，根据二次函数的单调性求值域(最值)．
(3)对于形如y＝asin x(或y＝acos x)的函数的最值还要注意对a的讨论．
跟踪训练4　求函数y＝3－4cos，x∈的最大、最小值及相应的x值．
解：∵x∈，
∴2x＋∈，
从而－≤cos≤1.
∴当cos＝1，
即2x＋＝0，x＝－时，
ymin＝3－4＝－1.
当cos＝－，
即2x＋＝，x＝时，
ymax＝3－4×＝5.
综上所述，当x＝－时，ymin＝－1；
当x＝时，ymax＝5.
本节课主要探究正弦函数、余弦函数的性质，从而用性质解决一些问题。但是本节课内容量比较多，一节课讲完有一定的难度，可根据学生的实际情况分两节课展开.