7.1.1角的推广 教案
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文档简介
角的推广
【核心素养】
1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养。
2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象核心素养。
【教学目标】
1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角。
2．理解象限角的概念。
3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置。
【教学重点】
理解象限角的概念。
【教学难点】
掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置。
【教学过程】
一、问题导入
当摩天轮在持续不断地转动时，
（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？
从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？
二、新知探究
1．任意角的概念
【例1】（1）已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是（ ）。
A．A＝B＝C B．A C
C．A∩C＝B D．B∪C C
（2）下面与－850°12′终边相同的角是（ ）。
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
[思路探究]利用角的概念进行判断。
【答案】（1）D；（2）B。[（1）第一象限角可表示为k·360°<α（2）与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°（k∈Z），当k＝3时，α＝－850°12′＋1080°＝229°48′。]
[教师小结]
1．判断角的概念问题的关键与技巧：
（1）关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念。
（2）技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可。
2．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
（1）一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式（其中0°≤β<360°，k∈Z），其中的β就是所求的角。
（2）如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止。
2．象限角与区域角的表示
【例2】（1）如图，终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是（ ）。
A．{α|k·360°＋30°<αB．{α|k·180°＋150°<αC．{α|k·360°＋150°<αD．{α|k·360°＋30°<α（2）已知角β的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围。
[思路探究]
【答案】（1）C。[在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为{α|k·360°＋150°<α（2）解：阴影在x轴上方部分的角的集合为：
A＝{β|k·360°＋60°≤β阴影在x轴下方部分的角的集合为：B＝{β|k·360°＋240°≤β所以阴影部分内角β的取值范围是A∪B，即{β|k·360°＋60°≤β其中B可以化为：{β|k·360°＋180°＋60°≤β即{β|（2k＋1）·180°＋60°≤β<（2k＋1）·180°＋105°，k∈Z}。
集合A可以化为：{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}。
故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β[教师小结]表示区间角的三个步骤：
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α第三步：扇形区域起始、终止边界对应角α，β再加上k·360°，即得区间角集合。对顶区域，始边、终边再加上k·180°即得区间角集合。（k∈Z）。
【课堂总结】
1．终边在坐标轴上的角的集合表示
角α的终边位置 角α的集合表示
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
2．象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α第二象限角 {α|k·360°＋90°<α第三象限角 {α|k·360°＋180°<α第四象限角 {α|k·360°＋270°<α3．对终边相同的角的说明
所有与角α终边相同的角，连同角α在内（而且只有这样的角），可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示。在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉。
②α是任意角。
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°）（k∈Z）。
四、课堂检测
1．以下说法正确的是（ ）。
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A B
C．若k·360°<αD．终边在x轴上的角可表示为k·360°（k∈Z）
【答案】B。[对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A B，故选B。]
2．已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有（ ）。
A．M＝N B．NM
C．MN D．M∩N＝
【答案】C。[由于k·90°（k∈Z）表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°（k∈Z）表示终边落在y＝x或y＝－x上的角。（如图（1））
又由于k·45°＋90°（k∈Z）表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x 8个位置上的角（如图（2）），因而MN，故正确答案为C。]
3．若角α与角β终边相同，则α－β＝________。
【答案】k·360°（k∈Z）。[根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°（k∈Z）。]
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角。
（1）－120°；（2）640°。
【解】（1）与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}。
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角。
（2）与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}。
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角。
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【核心素养】
1．通过角的概念的学习，体现了数学抽象核心素养。
2．借助终边相同角的求解、象限角的判断等，培养学生的直观想象核心素养。
【教学目标】
1．了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角。
2．理解象限角的概念。
3．掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置。
【教学重点】
理解象限角的概念。
【教学难点】
掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置。
【教学过程】
一、问题导入
当摩天轮在持续不断地转动时，
（1）摩天轮所转过的角度大小是否会超过360°？
（2）如果甲、乙两人分别站在摩天轮的两侧观察，那么他们所看到的摩天轮旋转方向相同吗？如果不同，你能用合适的数学符号表示这种不同吗？
从这个实例出发，你能将以前所学的角进行推广吗？
二、新知探究
1．任意角的概念
【例1】（1）已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是（ ）。
A．A＝B＝C B．A C
C．A∩C＝B D．B∪C C
（2）下面与－850°12′终边相同的角是（ ）。
A．230°12′ B．229°48′
C．129°48′ D．130°12′
[思路探究]利用角的概念进行判断。
【答案】（1）D；（2）B。[（1）第一象限角可表示为k·360°<α
[教师小结]
1．判断角的概念问题的关键与技巧：
（1）关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念。
（2）技巧：判断命题为真需要证明，而判断命题为假只要举出反例即可。
2．在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法：
（1）一般地，可以将所给的角α化成k·360°＋β的形式（其中0°≤β<360°，k∈Z），其中的β就是所求的角。
（2）如果所给的角的绝对值不是很大，可以通过如下方法完成：当所给角是负角时，采用连续加360°的方式；当所给角是正角时，采用连续减360°的方式，直到所得结果达到要求为止。
2．象限角与区域角的表示
【例2】（1）如图，终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合是（ ）。
A．{α|k·360°＋30°<α
[思路探究]
【答案】（1）C。[在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分（不包括边界）的角的集合为{α|k·360°＋150°<α
A＝{β|k·360°＋60°≤β
集合A可以化为：{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z}。
故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β
第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界；
第二步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α
【课堂总结】
1．终边在坐标轴上的角的集合表示
角α的终边位置 角α的集合表示
在x轴上 {α|α＝k·180°，k∈Z}
在y轴上 {α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}
在坐标轴上 {α|α＝k·90°，k∈Z}
2．象限角的集合表示
象限角 象限角α的集合表示
第一象限角 {α|k·360°<α
所有与角α终边相同的角，连同角α在内（而且只有这样的角），可以用式子α＋k·360°，k∈Z表示。在运用时，需注意以下三点：
①k是整数，这个条件不能漏掉。
②α是任意角。
③k·360°与α之间用“＋”号连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋（－30°）（k∈Z）。
四、课堂检测
1．以下说法正确的是（ ）。
A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角
B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A B
C．若k·360°<α
【答案】B。[对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A B，故选B。]
2．已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有（ ）。
A．M＝N B．NM
C．MN D．M∩N＝
【答案】C。[由于k·90°（k∈Z）表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°（k∈Z）表示终边落在y＝x或y＝－x上的角。（如图（1））
又由于k·45°＋90°（k∈Z）表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x 8个位置上的角（如图（2）），因而MN，故正确答案为C。]
3．若角α与角β终边相同，则α－β＝________。
【答案】k·360°（k∈Z）。[根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°（k∈Z）。]
4．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角。
（1）－120°；（2）640°。
【解】（1）与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}。
当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角。
（2）与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}。
当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角。
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