北师大版七下数学 第四章全等三角形解答题专练 (word版含答案）

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
全等三角形解答题专练
1．已知：Rt ABC中，∠B＝90°，D是BC上一点，DF⊥BC交AC于点H，且DF＝BC，FG⊥AC交BC于点E.求证：AB＝DE.
2．如图，点D为锐角∠ABC的平分线上一点，点M在边BA上，点N在边BC上，∠BMD+∠BND＝180°．试说明：DM＝DN．
3．如图所示，点E在 外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若 ，AD=AB，求证：AC=AE.
4．如图，已知 ， ，求证 .
5．如图，在△ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG．线段AD与AG的关系如何？说明理由．
6．已知：如图，在 中， ， ，点 是 的中点，以 为斜边在 外作等腰直角三角形 ，连接 、 .试猜想线段 和 的数量关系及位置关系，并证明你的猜想.
7．如图， ， 是 上一点，且 平分 ， 平分 ，求证： ．
8．如图，已知：AB∥CD，E是BD上一点，
（1）AE，CE分别是∠BAC与∠ACD的平分线，求证：AE⊥CE；
（2）若AB+CD=AC，且E是BD中点.求证：CE平分∠ACD.
9．如图，已知在△ABC中，∠BAC为直角，AB=AC，D为AC上一动点，延长BD交CE于E,且CE⊥BD，若BD平分∠ABC，求证：CE= BD
10．如图，四边形 中， ， ， ，M、N分别为AB、AD上的动点，且 ．求证： ．
11．如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB＝∠DBC＝90°，点 E 是 BC 的中点，DE⊥AB 于点F，且 AB＝DE．
（1）求证：△ACB≌△EBD；
（2）若 DB＝12，求 AC 的长．
12．如图，已知AD∥BC，点E是CD上一点，AE平分∠BAD，BF平分∠ABC，延长BE交AD的延长线于点F
（1）求证：△ABE≌△AFE；
（2）若AD＝2，BC＝6，求AB的长.
13．已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝50°，AB＝AC，AD＝AE，连结BD、CE，BD所在直线交CE、AC分别于点F、G.
（1）
求证：△BAD≌△CAE；
（2）
求∠BFC的度数.
14．如图，CF=EB，∠C=90°；DE⊥AB于点E，点F在AC上，DF=BD．
（1）求证：点D在∠BAC平分线上，
（2）若AB=14， AF=10，求CF的长．
15．定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的图形能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
（1）如图1， 是 的平分线，请你在图1中画出一对以 所在直线为对称轴的全等三角形.
（2）请你仿照这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
①如图2，在 中， ， ， 、 分别是 、 的平分线， 、 相交于点 .猜想 和 之间的数量关系，直接写出结论.
②如图3，在 中，如果 ，而①中的其它条件不变，请问①中结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.
16．已知：△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点A作AD⊥AE，且AE＝AD.
（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE.求证：EH＝AC：
（2）如图2，当点D在CB延长线上时，连接BE交AC的延长线于点M.求证：BM＝EM：
17．在
中，
，
，直线
经过点
，且
于
，
于
.
（1）当直线
绕点
旋转到图1的位置时，
①求证：
≌
；
②求证：
；
（2）当直线
绕点
旋转到图2的位置时，（1）中的结论②还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.
18．如图
（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，线段EF、BE、FD之间的关系是　 　；（不需要证明）
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明．若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．
19．（问题背景）
在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系。
（1）（初步探索）
小晨同学认为：延长FD到点G，使DG=BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，则可得到BE、EF 、FD之间的数量关系是　 　
（2）（探索延伸）
在四边形ABCD中如图2，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的
点，∠EAF= ∠BAD，上述结论是否仍然成立？说明理由。
（3）（结论运用）
如图3，在某次南海海域军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以80海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以100海里/小时的速度前进1.2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角（∠EOF）为70°，试求此时两舰艇之间的距离。
20．八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧．
（1）（探究与发现）
如图1，是的中线，延长至点，使，连接，写出图中全等的两个三角形　 　
（2）（理解与应用）
填空：如图2，是的中线，若，，设，则的取值范围是　 　．
（3）已知：如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：．
21．如图1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC边上的中线BD的取值范围．
（1）小聪同学是这样思考的：延长BD至E，使DE＝BD，连接CE，可证得△CED≌△ABD．
①请证明△CED≌△ABD；
②中线BD的取值范围是
　▲ 　．
（2）问题拓展：如图2，在△ABC中，点D是AC的中点，分别以AB，BC为直角边向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，连接MN．请写出BD与MN的数量关系，并说明理由．
22．如图
（1）如图1，∠MAN=90°，射线AE在这个角的内部，点B、C在∠MAN的边AM，AN上，且AB=AC，CF⊥AE于点F，BD⊥AE于点D．求证： ．
（2）如图2，点B、C在∠MAN的边AM、AN上，点E、F在∠MAN内部射线AD上，∠1，∠2分别是 ， 的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC，求证： ；
（3）如图3，在 中，AB=AC，AB>BC，点D在边BC上，CD=2BD，点E、F在线段AD上， ，若 的面积是15，则 与 的面积之和是　 　．
23．已知CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA=CB．E、F分别是直线CD上两点，且∠BEC=∠CFA=∠ ．
（1）若直线CD经过∠BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面问题：
①如图1若∠BCA=90°，∠ =90°、探索三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
②如图2，若0°＜∠BCA＜180°， 请添加一个关于∠ 与∠BCA关系的条件，使①中的结论仍然成立；
（2）如图3，若直线CD经过∠BCA的外部，∠ =∠BCA，请写出三条线段EF、BE、AF的数量关系并证明你的结论.
24．综合与探究：问题情景：如图1所示，已知，在△ABC中，AC＝BA，∠ACB＝90°，AD是△ABC的中线，过点C作CE⊥AD，垂足为M，且交AB于点E．
（1）（探究一）小虎通过度量发现∠BCE＝∠CAD，请你帮他说明理由；
（2）（探究二）小明在图中添加了一条线段CN，且CN平分∠ACB交AD于点N，如图2所示，即可得CN＝BE，符合题意吗？请说明理由；
（3）（探究三）小刚在（2）的基础上，连接DE，如图3所示，又发现了一组全等三角形，你能发现吗？请找出来，并说明理由．
答案与解析
1．【答案】证明： DF⊥BC，FG⊥AC，
又∵
在 与 中
（ASA）
AB＝DE.
2．【答案】解：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F．
∴∠DEB＝∠DFB＝90°．
又∵BD平分∠ABC，
∴DE＝DF．
∵∠BMD+∠DME＝180°，∠BMD+∠BND＝180°，
∴∠DME＝∠BND．
在△EMD和△FND中，
，
∴△EMD≌△FND（AAS）．
∴DM＝DN．
3．【答案】证明： ，
，即 ，
由对顶角相等得： ，
又 ，
，
在 和 中， ，
，
.
4．【答案】证明： ，
，
即 ，
在 和 中，
，
，
.
5．【答案】解： BE、CF分别是AC、AB两边上的高，
，
在 与 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
且 ．
6．【答案】解： ， .
证明： ，点 是 的中点，
，
，
，
在 和 中，
，
，
， ，
，
， .
7．【答案】证明：如图：
过 作 于 ，
， 平分 ， 平分 ，
， ， ， ， ， ，
在 和 中，
，
，
，
同理：AE=AB，
．
8．【答案】（1）证明：∵AB//CD
∴∠BAC+∠DCA=180°
∵AE，CE分别是∠BAC与∠ACD的平分线，
∴∠EAC= ∠BAC，∠ECA= ∠DCA，
∴∠EAC+∠ECA= ∠BAC+ ∠DCA= （∠BAC+∠DCA）=90°.
∴∠AEC=180°-（∠EAC+∠ECA）=90°，
∴AE⊥BE
（2）解：延长CD交AE的延长线于点F，
∵AB//CD
∴∠FDB=∠B，∠F=∠BAF，
∵E是BD中点.
∴BE=ED，
∴△ABE≌△FDE，
∴AB=DF，AE=EF
∵AB+CD=AC，
∴CF=DF+CD=AB+CD=AC，
∵CE=CE，
∴△AEC≌△CFE，
∴∠ACE=∠FCE，
即CE平分∠ACD.
9．【答案】证明：延长CE、BA交于点F．
∵CE⊥BD于E，∠BAC＝90°，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∵ ，
∴△ABD≌△ACF（ASA），
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∵ ，
∴△BCE≌△BFE（ASA），
∴CE＝EF，
即CE＝ CF，
∴CE＝ BD．
10．【答案】证明：延长 至点 ，使得 ，连接 ，
四边形 中， ， ，
，
在 和 中，
，
，
， ，
， ，
，
，
在 和 中，
，
，
．
11．【答案】（1）解：，，
，
，
在和中，，
；
（2）解：由（1）已证：，
，
点是的中点，
，
．
12．【答案】（1）证明：∵AE、BE分别平分∠DAB、∠CBA，
∴∠BAE＝∠EAF，∠ABF＝∠EBC，
∵AD∥BC，
∴∠EBC＝∠F，∠ABF＝∠F，
在△ABE和△AFE中，
，
∴△ABE≌△AFE（AAS）；
（2）解：∵△ABE≌△AFE，
∴BE＝EF，
在△BCE和△FDE中，
，
∴△BCE≌△FDE（ASA），
∴BC＝DF，
∴AD+BC＝AD+DF＝AF＝AB，
即AD+BC＝AB.
∵AD＝2，BC＝6，
∴AB＝8.
13．【答案】（1） 证明：∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
即∠BAD＝∠EAC，
在△BAD与△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
（2） 解：∵△BAD≌△CAE，
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠AGB＝∠CGF，
∴∠BFC＝∠BAC＝50°
14．【答案】（1）证明：∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠DEB=90°
在Rt△CDF与Rt△EDB中，
∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL)，
∴DE=DC
∵∠C=90°，DE⊥AB，DE=DC
∴AD平分∠BAC
（2）解：设CF=BE=x，则AE=14-x，AC=10+x
在Rt△ACD与Rt△AED中，
∴Rt△ACD≌Rt△AED(HL)，
∴AC=AE，
∴10+x=14-x，解得x=2，
∴CF=2
15．【答案】（1）解：如图，△OQM与△OQN即为所求作，
∵OP是∠MON的平分线，
∴∠MOP=∠NOP，
∵OM=ON，OP= OP，
∴△OQM≌△OQN；
（2）解：①FE=FD.
如图，在AC上截取AG=AE，连接FG.
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠EAF=∠GAF，
在△EAF和△GAF中，
∵ ，
∴△EAF≌△GAF（SAS），
∴FE=FG，
∵∠B=60°，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，且∠EAF=∠GAF，
∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= （180°-∠B）=60°，
∴∠AFC=120°，
∴∠CFD=60°=∠CFG，
∴∠AFG=60°，
又∵∠EFA =∠CFD=60°，
∴∠EFA=∠GFA =60°，
在△FDC和△FGC中，
∵ ，
∴△FDC≌△FGC（ASA），
∴FD=FG.
∴FE=FD.
②结论FE=FD仍然成立.
在AC上截取 如图：
同①可得△EAF≌△HAF，
∴FE=FH，∠EFA=∠HFA.
∵∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠ACB，
∴∠FAC+∠FCA= （∠BAC+∠ACB）= （180°-∠B）=60°.
∴∠AFC=180°-（∠FAC+∠FCA）=120°.
∴∠EFA=∠HFA=180°-120°=60°.
同①可得△FDC≌△FHC，
∴FD=FH.
∴FE=FD.
16．【答案】（1）证明：∵AD⊥AE，EH⊥AC，
∴∠AHE=∠EAD=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAH=90°，
∴∠EAH=∠ADC，
又∵AD=AE，∠ACD=∠AHE=90°，
∴△AHE≌△DCA（AAS），
∴EH=AC；
（2）解：如图2，过点E作EN⊥AM，交AM的延长线于N，
∵AD⊥AE，EN⊥AM，
∴∠ANE=∠EAD=∠ACB=90°，
∴∠DAC+∠ADC=90°，∠DAC+∠EAN=90°，
∴∠EAN=∠ADC，
又∵AD=AE，∠ACD=∠ANE=90°，
∴△ANE≌△DCA（AAS），
∴EN=AC，
∵BC=AC，
∴BC=NE，
又∵∠BMC=∠EMN，∠BCM=∠ENM=90°，
∴△BCM≌△ENM（AAS），
∴BM=EM.
17．【答案】（1）证明：①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCE=90°，∠DAC+∠ACD=90°，
∴∠DAC=∠BCE，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ；
②∵ ≌ ，
∴CD=BE，AD=CE，
∵DE=CE+CD，
∴DE=AD+BE；
（2）解：DE=AD+BE不成立，此时应有DE=AD－BE，理由如下：
∵BE⊥MN，AD⊥MN，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∴∠EBC+∠ECB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ECB+∠ACE=90°，
∴∠ACD=∠EBC，
又∵AC=BC，
∴ ≌ ，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE－CD，
∴DE=AD－BE.
18．【答案】（1）EF＝BE+FD
（2）解：（1）中的结论仍然成立，
理由如下：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM，
∵∠ABC+∠D＝180°，∠ABC+∠1＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM和△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS），
∴AM＝AF，∠3＝∠2，
∵∠EAF＝∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠EAF，
∴∠EAM＝∠3+∠4＝∠2+∠4＝∠EAF，
在△MAE和△FAE中，
，
∴△MAE≌△FAE（SAS），
∴EF＝EM，
∵EM＝BM+BE＝BE+DF，
∴EF＝BE+FD；
（3）解：（1）中的结论不成立，EF＝BE﹣FD，
理由如下：如图3，在EB上截取BH＝DF，连接AH，
同（2）中证法可得，△ABH≌△ADF，
∴AH＝AF，∠BAH＝∠DAF，
∴∠HAE＝∠FAE，
在△HAE和△FAE中，
，
∴△HAE≌△FAE（SAS），
∵EH＝BE﹣BH＝BE﹣DF，
∴EF＝BE﹣FD．
19．【答案】（1）
（2）结论仍然成立
证明：如图2，延长 到 ，使 ，连接 ，
∵ ， ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：如图3，连接 ，延长 、 交于点 ，
∵ ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴符合探索延伸中的条件，
∴结论 成立，即 海里．
答：此时两舰艇之间的距离是216海里．
20．【答案】（1）
（2）
（3）证明：如图3，延长到，使，连接，
，
是的中线，
，
在与中，
，
，
，，
，
，，
，，
，
，
，
在与中，
，
，
．
21．【答案】（1）解：①∵BD是三角形ABC的中线，
∴AD=CD，
又∵∠ABD=∠CDE，BD=ED，
∴△CED≌△ABD（SAS）；
②∵△CED≌△ABD，
∴AB=CE，
∵ ，
∴ 即 ，
又∵ ，
∴ ；
故答案为： ；
（2）MN=2BD，理由如下：
如图所示，延长BD到E使得DE=BD，
同（1）原理可证△ADE≌△CDB（SAS），
∴∠DAE=∠DCB，AE=CB，
∵BC=BN，
∴AE=BN，
∵∠ABM=∠NBC=90°，
∴∠MBN+∠ABC=360°-∠ABM-∠NBC=180°，
∵∠ABC+∠BAC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠BAC+∠DAE=180°，
∴∠BAE+∠ABC=180°，
∴∠BAE=∠MBN，
又∵AB=BM，
∴△BAE≌△MBN（SAS），
∴MN=BE，
∵BE=BD+ED=2BD，
∴MN=2BD．
22．【答案】（1）证明：∵BD⊥AE，CF⊥AE
∴
∵
∴∠BAD+∠FAC=90°
∵∠FAC+∠ACF=90°
∴∠BAD=∠ACF
在△ABD与△CAF中
（2）证明：∵∠1=∠2，
∴∠AEB=∠CFA，
∵∠1=∠ABE+∠EAB，∠1=∠BAC，
∴∠ABE=∠CAF，
在△ABE与△CAF中
所以
（3）5
23．【答案】（1）①如图1中，.
.
E点在F点的左侧，.
∵BE⊥CD，AF⊥CD，∠ACB=90°，.
∴∠BEC=∠AFC=90°，.
∴∠BCE+∠ACF=90°，∠CBE+∠BCE=90°，.
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
②∠α+∠ACB=180°时，①中两个结论仍然成立；.
证明：如图2中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠α+∠ACB=180°，.
∴∠CBE=∠ACF，.
在△BCE和△CAF中，.
，.
∴△BCE≌△CAF（AAS），.
∴BE=CF，CE=AF，.
∴EF=CF-CE=BE-AF，.
当E在F的右侧时，同理可证EF=AF-BE，.
∴EF=|BE-AF|；
（2）EF=BE+AF．.
理由是：如图3中，.
.
∵∠BEC=∠CFA=∠a，∠a=∠BCA，.
又∵∠EBC+∠BCE+∠BEC=180°，∠BCE+∠ACF+∠ACB=180°，.
∴∠EBC+∠BCE=∠BCE+∠ACF，.
∴∠EBC=∠ACF，.
在△BEC和△CFA中，.
，.
∴△BEC≌△CFA（AAS），.
∴AF=CE，BE=CF，.
∵EF=CE+CF，.
∴EF=BE+AF．
24．【答案】（1）证明：如图1中，
，
，
，
， ，
．
（2）结论： 符合题意．
理由：如图2中，
平分 ， ，
，
，
，
，
在 和 中，
，
，
．
（3）结论： ．
理由： 是 的中点，
，
在 和 中，
，
．
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1