7.2任意角的三角函数 教案

任意角的三角函数
【教学目标】
1．理解并掌握任意角三角函数的定义。?
2．理解三角函数是以实数为自变量的函数。?
3．掌握正弦、余弦、正切函数的定义域。?
【教学重点】
任意角三角函数的定义。?
【教学难点】
正弦、余弦、正切函数的定义域。
【课时安排】
1课时
【内容分析】
通过三角函数定义的变化：从锐角三角函数到任意角三角函数，由边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，使学生在理解掌握定义的基础上，加深特殊与一般关系的理解。通过对定义的剖析，使学生对正弦、余弦、正切函数的定义域有比较深刻的认识，达到突破难点之目的。使学生通过任意角三角函数的定义，认识锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例，加深特殊与一般关系的理解。??
【教学过程】
一、复习引入：
1．在初中我们学习了锐角三角函数，它是以锐角为自变量，边的比值为函数值的三角函数：
2．前面我们对角的概念进行了扩充，并学习了弧度制，知道角的集合与实数集是一一对应的，在这个基础上，今天我们来研究任意角的三角函数。
二、讲解新课：
对于锐角三角函数，我们是在直角三角形中定义的，今天，对于任意角的三角函数，我们利用平面直角坐标系来进行研究。
1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x，y）
则P与原点的距离
2．比值叫做的正弦 记作：
比值叫做的余弦 记作：
比值叫做的正切 记作：
比值叫做的余切 记作：
比值叫做的正割 记作：
比值叫做的余割 记作：
根据相似三角形的知识，对于终边不在坐标轴上确定的角，上述六个比值都不会随P点在的终边上的位置的改变而改变。当角的终边在纵轴上时，即时，终边上任意一点P的横坐标x都为0，所以tan、sec无意义；当角的终边在横轴上时，即＝kπ（k∈Z）时，终边上任意一点P的纵坐标ｙ都为0，所以cot、csc无意义，除此之外，对于确定的角，上面的六个比值都是惟一确定的实数，这就是说，正弦、余弦、正切、余切、正割、余割都是以角为自变量，以比值为函数值的函数。?
以上六种函数，统称为三角函数。
3．突出探究的几个问题：
①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等
②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用
③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④而x，y的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定。
⑤定义域：对于正弦函数，因为ｒ＞0，所以恒有意义，即取任意实数，恒有意义，也就是说sin恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域；对于正切函数，因为x＝0时，无意义，即tan无意义，又当且仅当角的终边落在纵轴上时，才有x＝0，所以当的终边不在纵轴上时，恒有意义，即tan恒有意义，所以正切函数的定义域是。从而有
4．注意：
（1）以后我们在平面直角坐标系内研究角的问题，其顶点都在原点，始边都与x轴的非负半轴重合。?
（2）OP是角的终边，至于是转了几圈，按什么方向旋转的不清楚，也只有这样，才能说明角是任意的。
（3）sin是个整体符号，不能认为是“sin”与“”的积。其余五个符号也是这样。
（4）定义中只说怎样的比值叫做的什么函数，并没有说的终边在什么位置(终边在坐标轴上的除外)，即函数的定义与的终边位置无关。?
（5）比值只与角的大小有关。
（6）任意角的三角函数的定义与锐角三角函数的定义的联系与区别：
任意角的三角函数就包含锐角三角函数，实质上锐角三角函数的定义与任意角的三角函数的定义是一致的，锐角三角函数是任意角三角函数的一种特例。 所不同的是，锐角三角函数是以边的比来定义的，任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比来定义的。 即正弦函数值是纵坐标比距离，余弦函数值是横坐标比距离， 正切函数值是纵坐标比横坐标，余切函数值是横坐标比纵坐标，正割函数值是距离比横坐标，余割函数值是距离比纵坐标。
（7）为了便于记忆，我们可以利用两种三角函数定义的一致性，将直角三角形置于平面直角坐标系的第一象限，使一锐角顶点与原点重合，一直角边与x轴的非负半轴重合，利用我们熟悉的锐角三角函数类比记忆。?
三、讲解范例：
例1 已知角的终边经过点P(2，－3)(如图)，求的六个三角函数值。
解：∵x＝2，ｙ＝－3?
∴
于是
例2求下列各角的六个三角函数值。?
（1）0 （2）π （3） （4）
解：（1）因为当＝0时，x＝r，y＝0，所以
sin0=0 cos0=1 tan0=0 cot0不存在?
sec0=1 csc0不存在?
（2）因为当＝π时，x＝－r，y＝0，所以?
sinπ＝0 cosπ＝－1? tanπ＝0 cotπ不存在?
secπ＝－1 cscπ不存在?
（3）因为当时，x＝0，ｙ＝－r，所以?
不存在
不存在
（4）当=时 ，所以
sin=1 cos=0 tan不存在 cot=0
sec不存在 csc=1
例3填表：
0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360
弧度
例4（1） 已知角的终边经过P(4，3)，求2sin+cos的值
（2）已知角的终边经过P(4a，3a)，(a0)求2sin+cos的值
解：（1）由定义 ： sin= cos= ∴2sin+cos=
（2）若 则sin= cos= ∴2sin+cos=
若 则sin= cos= ∴2sin+cos=
例5 求函数的值域
解： 定义域：cosx0 ∴x的终边不在x轴上
又∵tanx0 ∴x的终边不在y轴上
当x是第Ⅰ象限角时， cosx=|cosx| tanx=|tanx| ∴y=2
当x是第Ⅱ象限角时，|cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=2
当x是第Ⅲ象限角时， |cosx|=cosx |tanx|=tanx ∴y=0
当x是第Ⅳ象限角时， |cosx|=cosx |tanx|=-tanx ∴y=0
四、课堂练习：
1．若点P(－3，y)是角α终边上一点，且，则ｙ的值是____。答案：
2．角的终边上一个点P的坐标为(5a，-12a)(a≠0)，求sin+2cos的值。
解：依题意得：x=5a，y=-12a，
∴
（1）当a>0时，角α是第四象限角，则
，
∴sin+2cos=-；
（2）当a<0时，角是第二象限角，则
。
∴cos+2cos=。
五、小结
本节课我们给出了任意角三角函数的定义，并且讨论了正弦、余弦、正切函数的定义域，任意角的三角函数实质上是锐角三角函数的扩展，是将锐角三角函数中边的比变为坐标与距离、坐标与坐标、距离与坐标的比，记忆方法可用锐角三角函数类比记忆，至于三角函数的定义域可由三角函数的定义分析得到。
【作业布置】
已知角θ的终边上一点P的坐标是（x，–2）(x≠0)，且，求sinθ和tanθ的值。?
分析：，又，即ｒx＝3x
由于x≠0，∴ｒ＝3 ∴x2＋4＝9 x2＝5，x＝±。
当x＝时，P点的坐标是（，－2）。
当x＝－时，P点的坐标是（－，－2）
。?
答案：当x=时，
当x=–时，