7.2任意角的三角函数 教案

任意角的三角函数
【教学目标】
理解并掌握有向线段的概念；
正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角的正弦、余弦、正切函数值表示出来，即用正弦线、余弦线、正切线表示出来。
【教学重难点】
正弦、余弦、正切函数值的几何表示。
【教学过程】
一、问题情境
1．情境引入：我们已学过任意角三角函数，给出了任意角的正弦、余弦、正切的定义。
2．提出问题：能不能用几何元素表示三角函数值？例如，能不能用线段表示三角函数值？
二、学生活动
学生思考，讨论，回答。讨论可能沿着下面的方向进行：
1．通过联想，可以提出
问题1：在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段的比，那么，任意角的三角函数是否可以也看成是线段的比呢？
2．明确问题，可以提出
问题2：问题1的实际意义是什么？什么叫做三角函数？任意角的三角函数是怎样定义的？
由此可以进一步明确问题1的意义。具体地，以正弦函数为例，当前的问题就是怎样用几何元素表示。（这里的是角终边上任一点的坐标）
3．简化问题，可以提出
问题3：能进一步简化问题吗？是否可以在角的终边上取一个特殊点，使得三角函数值的表达式更为简单？
结论是，当点在以原点为圆心，半径为1的圆（单位圆）上时，，而的函数值分别为点的纵坐标和横坐标。
三、建构数学
1．有向线段
（1）提出解决问题1的关键就这样解决
问题4：怎样表示点的纵，横坐标？能不能用线段表示坐标？
围绕着如下问题进行讨论：
问题5：坐标是什么？
问题6：能不能用线段表示坐标？能不能用线段表示数？怎样才能做到这点？
问题7：和初中的锐角三角函数相比，我们现在面临的情况有什么不同？
通过讨论，得到以下共识：为了用线段表示数，我们需要规定线段的方向。
（2）给出有向线段、有向线段的数量、有向线段的长度的概念。
下图轴上，的数量分别是多少？
有向线段的数量：。
2．正弦线和余弦线
（1）问题8：怎样用有向线段表示正弦函数值？
围绕着问题8，作出表示正弦值的有向线段，得到正弦线的概念。
（2）由学生仿照正弦线，得到余弦线。
。
有向线段分别叫做角的正弦线、余弦线。
小结：我们已经得到角的正弦线、余弦线、正切线，它们都是与单位圆的弦有关的线段。
3．正切线
（1）探索讨论
问题9：能不能用有向线段表示角的正切呢？
问题10：正切函数值是怎样定义的？怎样才能简化定义中的表达式？这个表达式和正弦函数值的表达式有什么不同？怎样才能使表达式的分母为1？
（2）先解决问题的一部分
当角的终边上存在横坐标为1的点时（这时角的终边在轴的右侧），怎样用有向线段表示正切函数值？
（3）再解决剩余的问题。
当角的终边上不存在横坐标为1的点时（这时角的终边在轴的左侧），怎样用有向线段表示正切函数值？
通过讨论，得到下面的结论。
（4）正切线
正切线一般可按如下方法作出：如下图所示，过点作单位圆的切线（轴的垂线），它与角终边所在直线交于点，则有向线段即为角的正切线。
，因此，我们把有向线段叫做角的正切线。
4．三角函数线：
四、数学运用
练习：讨论
例1．比较下列各组数的大小：
（1）和 （2）和
（3）和 （4）和
分析：三角函数线是一个角的三角函数值的体现，从三角函数线的方向看出三角函数值的正负，其长度是三角函数值的的绝对值。比较两个三角函数值的大小可以借助三角函数线
思考：根据单位圆中三角函数线，探究：
（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域；
（2）正弦函数、余弦函数在区间上的单调性；
（3）正切函数在区间上的单调性。
【教学反思】
单位圆和三角函数线是研究三角函数的几何工具，它是数形结合思想在三角函数中的体现，我们应掌握三角函数线的作法，并能运用它们解决一些有关三角函数的问题，注意在用字母表示有向线段时，要分清起点和终点，书写顺序要正确。
。
。
。
。
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A
C
B
1
O
x
y
M
P
角的终边
1
O
x
y
A
T
角的终边
1
O
x
y
角的终边
A
T
角的终边
O
x
y
A
角的终边
P
O
x
y
A
P
M
M
T
O
x
y
A
角的终边
O
x
y
角的终边
A
T
P
M
M
P
T
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