6.2平面向量的运算 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 6.2 平面向量的运算
一、单选题
1．已知，是坐标原点，则（ ）
A． B． C． D．
2．在平行四边形中，，若，则=（ ）
A． B． C． D．3
3．化简得（ ）
A． B．
C． D．
4．在中，，则一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
6．已知是所在平面内的一动点，且，则点的轨迹一定通过的（ ）．
A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与其左支交于点，若存在，使，，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．若，，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知向量，满足，，且，则与的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
10．已知，是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（ ）
①，；②，；
③，．
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
11．设，是两个不共线的向量，若向量(k∈R)与向量共线，则（ ）
A．k＝0 B．k＝1 C．k＝2 D．k＝
12．已知平面向量满足，则向量的夹角为（ ）
A． B． C． D．
13．正的边长为3，M是正所在平面内一点，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
14．如图，点在的内部，，是边，的中点(，，三点不共线)，，，则向量与的夹角大小为（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
15．点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（ ）
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB延长线上
C．点P在线段AB反向延长线上
D．点P在直线AB外
二、填空题
16． 在四边形中，， ， ， ，点在线段的延长线上，且，则__________.
17．如图所示的平行四边形ABCD中，为DC的中点，则____________.
18．已知向量，的夹角为60°，，则______.
三、解答题
19．如图，已知平行四边形，点为任一点，设，，，试用，，表示．
20．已知内接，点为边上一点，点为边中点，与交于点，且．
（Ⅰ）若（，），求的值；
（Ⅱ）若，则是否为定值？若是，求出这个值；若不是，请说明理由．
21．在等腰三角形ABC中，，，D为BC的中点．
(1)求在上的投影向量；
(2)求在上的投影向量．
22．如图，已知向量，，不共线，作向量++．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
根据向量线性运算可得，由坐标可得结果.
【详解】
故选：
本题考查平面向量的线性运算，属于基础题.
2．B
由题意分析可知，四边形为菱形且，然后求解.
【详解】
，则平分，则四边形为菱形.
且，由，则,
故选：B.
关键点睛：本题考查向量的综合运用，解题的关键是要注意为上的单位向量，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于基础题.
3．A
由向量的加减琺法则计算．
【详解】
．
故选：A．
4．C
由向量数量积的定义式可得，即可判断.
【详解】
∵，∴，
又∵为三角形内角，∴是钝角，即是钝角三角形.
故选：C.
5．C
根据平行四边形中的对边平行且相等结合向量的概念求解.
【详解】
，，所以A正确；
，所以B正确；
所以C错误；
，，，所以D正确.
故选：C
6．C
设为的中点，由向量的线性运算可得，代入已知条件计算可知，进而可得答案.
【详解】
如图：设为的中点，
因为
由可得，，
所以三点共线，因为，
所以点在射线上，
所以点的轨迹一定通过的重心，
故选：C.
7．D
根据向量共线和向量垂直的数量积为零，结合直线的倾斜角得到△为等腰直角三角形，所以在轴上，根据向量的投影的概念，结合已知向量等式得到,进而判定△为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质和双曲线的定义得到关于的关系，进而求得斜率.
【详解】
存在，使，说明为线段上的点，说明，即为直角，过且斜率为的直线与其左支交于点，说明，所以△为等腰直角三角形，所以在轴上，
是在上的投影，是在上的投影，
分别是线段和的长度，，
说明,∴,∴△≌△,
∴△为等腰直角三角形，
,
∴双曲线的离心率为,
故选：D.
8．C
利用向量模的三角不等式可求得的取值范围.
【详解】
因为，所以，，即.
故选：C.
9．A
利用数量积的定义，即可求解.
【详解】
解：,所以,即，
解得,又因为向量夹角的范围为，则与的夹角为30°，
故选：A.
10．A
根据平面向量共线定理得到，对于①，故两向量共线；对于②，故两向量共线；对于③不存在实数满足，故不共线.
【详解】
对于①，，，故两向量共线；
对于②，，，故两向量共线；
对于③，，
假设存在
，因为，是不共线向量，
故得到无解.
故选：A.
11．D
根据向量共线定理可得，再由与是不共线向量，可得，解方程组即可求解.
【详解】
由共线向量定理可知存在实数λ，使，
即，
又与是不共线向量，
∴，解得
故选：D
12．D
利用求出，再求出夹角的余弦，再得到夹角即可.
【详解】
，即，
．．
故选：D．
13．C
首先利用向量的运算法则，转化向量，再利用不等式关系求数量积的最小值.
【详解】
，记，则，连接AN，取AN的中点O，，
，.
故选：C.
关键点点睛：本题考查向量的转化，以及向量数量积，本题的关键是由可知，重点考查转化与化归的思想，计算能力.
14．B
由，是边，的中点，得，由可得答案.
【详解】
连接，如下图所示.
因为，是边，的中点，所以，且，所以，所以
，解得.又因为，
所以.则向量与的夹角大小为120°，
故选：B.
本题考查向量的线性运算，数量积.
15．C
由题设条件得出，即可得出点P与AB的位置关系.
【详解】
∴点P在线段AB反向延长线上
故选：C.
16．.
建立坐标系利用向量的坐标运算分别写出向量而求解．
【详解】
建立如图所示的直角坐标系，则，．
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为．
由得，，
所以．
所以．
平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便．
17．
先用的线性组合表示出，然后根据向量的数量积运算结合向量模长以及夹角求解出的值.
【详解】
因为为中点，所以，
所以，
所以，
故答案为：.
18．2
先利用数量积的运算律展开，再计算即得解.
【详解】
由题得.
故答案为：2
本题主要考查平面向量的数量积运算律和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
19．
利用向量的加法运算即可求解.
【详解】
解：
20．（Ⅰ）；（Ⅱ）是定值，定值为.
（Ⅰ）根据平面向量基本定理，由向量的运算法则，先得到，设，根据三点共线的充要条件，得到，再由向量运算法则，用和表示出，结合题中条件，即可得出结果；
（Ⅱ）根据向量数量积的几何意义，得到，，即可根据（Ⅰ）的结果，求出的值.
【详解】
（Ⅰ）因为点为边中点，与交于点，且，
所以，
又点为边上一点，所以存在实数，使得，
因此，
因为，，三点共线，所以，则，
即，所以，整理得：，
又，所以，因此；
（Ⅱ）分别取，的中点，，连接，，则，，
所以，，
又，
所以
.
关键点点睛：
求解本题的关键在于利用平面向量基本定理，以及三点共线的充要条件，确定点的具体位置，即由，结合题中条件，由，，三点共线，求得，即可求解.
21．(1)（或）
(2)
（1）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得；
（2）先求出在上的投影，然后乘以与同向的单位向量即得．
(1)
如图，，，D为BC的中点．则，，，
所以，
，
在上的投影为，
在上的投影向量为；
(2)
在上的投影为，
在上的投影向量为．
22．答案见详解.
利用向量加法的三角形法则即可求解.
【详解】
由向量加法的三角形法则，
++如图，
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