6.4平面向量的应用 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 6.4 平面向量的应用
一、单选题
1．在锐角中，，，的面积为4，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．不解三角形，下列三角形中有两解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．设O为△ABC所在平面内一点，满足273，则△ABC的面积与△BOC的面积的比值为（ ）
A．6 B． C． D．4
4．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(b+a+c)(a+b－c)=3ab，2cosAsinB=sinC，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
5．在中，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，的中点为，若长度为3的线段（在的左侧）在直线上移动，则的最小值为
A． B．
C． D．
7．在中，内角、、所对的边分别为、、，，．则( )
A． B． C． D．
8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A∶B∶C＝1∶2∶3，则a∶b∶c＝（ ）
A．1∶2∶3 B．3∶2∶1
C．2∶∶1 D．1∶∶2
9．为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
10．河水的流速为2，一艘小船想沿垂直于河岸方向以10的速度驶向对岸，则小船的静水速度为（ ）
A．10 B． C． D．12
11．在中，，，，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知点是所在平面内一点，若，则与的面积之比为（ ）
A． B． C．2 D．
二、填空题
13．在△ABC中，，，，则△ABC的外接圆半径为________
14．对于，有如下四个命题:
①若 ，则为等腰三角形，
②若，则是直角三角形
③若，则是钝角三角形
④若，则是等边三角形.
其中正确的命题序号是_________
15．中，角，，的对边分别为，，，其中为钝角，且，那么的范围是______.
16．锐角三角形的内角分别是A，B，C，并且A＞B.则下列三个不等式中成立的是______.
①sinA＞sinB；②cosA＜cosB；③sinA＋sinB＞cosA＋cosB．
三、解答题
17．在中，、、的对边分别为、、，其中边最长，并且．
(1)求证：是直角三角形；
(2)当时，求面积的最大值．
18．设a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)从下面两个问题中任选一个作答，两个都作答则按第一个记分．
①设角A的角平分线交BC边于点D，且，求面积的最小值．
②设点D为BC边上的中点，且，求面积的最大值．
19．在中，内角、、的对边分别为、、，且.
（1）求角的大小；
（2）如果，，求的值.
20．在中，角，，所对的边分别，，．已知．
(1)求；
(2)若，，设为延长线上一点，且，求线段的长．
21．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求：
（1）的值；
（2）的面积.
条件①：，.
条件②：，.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
利用三角形的面积公式求解即可.
【详解】
因为
所以
因为是锐角三角形，所以
故选：A
2．D
利用三角形大边对大角直接求解
【详解】
对A, B为钝角，只有一解；
对B, , B为锐角，只有一解；
对C, , A为直角，只有一解；
对D, , B为锐角，A有两解；
故选：D
3．D
先设，于是得到点O是△A1B1C1的重心，则k，再结合三角形面积公式即可求出△ABC的面积与△BOC的面积，进而得到答案.
【详解】
不妨设，如图所示，
根据题意则，
即点O是△A1B1C1的重心，所以有k，
又因为，
那么，
，
故△ABC的面积与△BOC的面积的比值为.
故选：D
关键点点睛：根据重心的性质可得k，再由三角形面积公式可得，即，同理可得其他三角形面积，再利用即可求解，属于难题.
4．D
由有，根据余弦定理可求出角，再将化为，化简然后可得出，可得答案.
【详解】
由有,
由余弦定理有：，
又角，所以.
又，即，
所以
则，即,
又，所以,
即，故为等边三角形.
故选：D
5．C
由余弦定理求解可得结果.
【详解】
由余弦定理可得：
又所以
故选：C
6．B
先根据正弦定理求得，以所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据对称性和两点间的距离公式，求得所求的最小值.
【详解】
由正弦定理可得,,
以BC所在直线为轴，则,
则表示轴上的点P与A和的距离和，
利用对称性，关于轴的对称点为，
可得的最小值为=.
本小题主要考查利用正弦定理解三角形，考查距离和的最小值的求法，考查坐标法，属于中档题.
7．A
利用正弦定理并结合已知条件即可求解.
【详解】
由正弦定理可得，.
故选：A.
8．D
三角形中，由角的比例关系可得A＝30°，B＝60°，C＝90°，结合正弦定理即可求a∶b∶c.
【详解】
在△ABC中，有A∶B∶C＝1∶2∶3，
∴B＝2A，C＝3A，又A＋B＋C＝180°，即A＝30°，B＝60°，C＝90°，
由正弦定理知：a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°＝1∶∶2.
故选：D
9．C
先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.
【详解】
依题意，在中，，，
，可得，
则 ，
在中，，，则，
又中，，由余弦定理可得：
则.
故塔尖之间的距离为.
故选：C.
10．B
根据题意，得到，结合向量的运算，即可求解.
【详解】
设河水的流速为，小船在静水中的速度为，船的实际速度为，
则，，所以，
所以（），即小船在静水中的速度大小为.
故选：B.
11．A
先根据，求出，再由正弦定理，求解即可.
【详解】
在中，
由正弦定理可知
即.
故选：A.
12．C
特例验证法解选择题是一个快捷途径.本题可以把设为的三角形.
【详解】
不妨设中，，边长，边长，
以A为原点、AB为x轴、AC为y轴建立平面直角坐标系
则、、,
,设，则
故
可得，故
的面积为，
的面积为
则与的面积之比为
故选：C
13．##
运用正弦定理及余弦定理可得解.
【详解】
根据余弦定理：
，
得，
由正弦定理△ABC的外接圆半径为.
故答案为:.
14．③④
对于①可得或；②若可判断；③由正弦定理得，即，是钝角三角形；④由正弦定理知，进而，可判断.
【详解】
解：对于①可推出或，故不正确；
②若，显然满足条件，但不是直角三角形；
③由正弦定理得，所以，是钝角三角形；
④由正弦定理知，由于半角都是锐角，所以，三角形是等边三角形.
故答案为：③④
15．
先利用正弦定理实现边化角，整理条件得到，再根据为钝角，确定角的范围，从而得出的范围.
【详解】
在中，根据正弦定理，可将条件化为.
把代入整理得，.
所以或，解得或(舍去).
又为钝角，所以
由，解得.
所以的范围.
故答案为：.
16．①②③
根据三角形的内角关系和边长关系，结合三角函数的性质即可求解.
【详解】
A＞Ba＞b（大角对大边）sinA＞sinB（正弦定理），故①成立.
函数y＝cosx在区间[0，π]上是减函数，∵A＞B，∴cosA＜cosB，故②成立.
在锐角三角形中，∵A＋B＞，∴0＜－B＜A＜，
函数y＝sinx在区间上是增函数，
则有sinA＞sin，即sinA＞cosB，
同理sinB＞cosA，故③成立.
故答案为：①②③.
17．(1)证明见解析
(2)
（1）利用同角关系，将已知条件变形，配合诱导公式，可以证明结论.（2）利用勾股定理知，利用基本不等式可得面积最大值
(1)
证明：由，得，即，
又边最长，则、均为锐角，所以，
解得，即，所以为直角三角形．
(2)
因为，由勾股定理,因为，所以.
记面积为,则，由得，
当且仅当时等号成立．
所以当时，面积取到最大值．
18．(1)；
(2)①；②.
（1）利用正余弦定理即求；
（2）选①利用基本不等式及面积公式即求；选②利用余弦定理可得，然后利用基本不等式及面积公式即求.
(1)
∵且,
∴，即，
∴，又，
∴；
(2)
选①∵AD平分∠BAC，
∴，
∵，
∴，
即，
∴
由基本不等式可得：
，
∴，当且仅当时取“=”，
∴，
即的面积的最小值为；
②因为AD是BC边上的中线，
在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
∵，
∴，
在中，，由余弦定理得，
∴
∴，
解得，当且仅当时取“=”，
所以，
即的面积的最大值为.
19．（1）；（2）.
（1）利用正弦定理化简可得的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用平面向量数量积的定义可求得的值，再利用余弦定理可求得的值.
【详解】
（1），由正弦定理可得，可得，
，因此，；
（2）由平面向量数量积的定义可得，可得，
由余弦定理可得，
因此，.
20．(1)；
(2).
（1）根据正弦定理，结合两角和的正弦公式进行求解即可；
（2）根据正弦定理，结合两角和的余弦公式进行求解即可.
(1)
，
由正弦定理可得：
，
，，，；
(2)
由（1）知，
，，
由正弦定理可得，，即，
，
或（舍去），
，
，
，，
，
．
21．选择条件①：（1）；（2）；选择条件②：（1）；（2）.
选择条件①：
（1）由三角形内角和关系和正弦定理化简可得，在结合已知数据即可求出；
（2）由余弦定理求出，再根据三角形面积公式即可求出.
选择条件②：
（1）由三角形内角和关系和正弦定理化简可得，再由余弦定理可求出A，再利用正弦定理即可求出；
（2）由求出，再根据三角形面积公式即可求出.
【详解】
选择条件①：，.
（1）在中，，则，，
所以，
.
所以，
整理得，
由正弦定理可得，
则，解得.
（2）因为，，所以，
由（1）及余弦定理可得，
又，所以，
所以.
选择条件②：，.
（1）在中，，则，，
所以，
.
所以，
整理得，
由正弦定理可得，
由余弦定理可得，
又，所以.
因为，所以，
所以.
由正弦定理得.
（2）由（1）知，
所以.
关键点睛：一是能够利用三角形内角和定理及诱导公式对题设条件进行变换；二是能根据正弦定理、余弦定理对所给关系式进行“边”与“角”之间的转化.
答案第1页，共2页
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