7.2复数的四则运算 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 7.2 复数的四则运算
一、单选题
1．设，则的虚部为（ ）
A．1 B． C． D．
2．设，则
A． B． C． D．
3．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
4．复数满足，则（ ）
A． B． C． D．2
5．已知是虚数单位，复数的共轭复数为，下列说法正确的是（ ）
A．如果，则，互为共轭复数
B．如果复数，满足，则
C．如果，则
D．
6．设z=i(2+i)，则=
A．1+2i B．–1+2i
C．1–2i D．–1–2i
7．已知是复数，为的共轭复数.若命题：，命题：，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知复数，则的共轭复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
9．已知复数z满足，其中为虚数单位，则z的虚部为（ ）
A．0 B． C．1 D．
10．设复数，满足，，则（ ）
A．1 B． C． D．
11．设复数满足，为虚数单位，则（ ）
A．1 B．2 C． D．
12．设复数满足，则（ ）
A．1 B． C． D．
13．若复数满足，则复数的实部为（ ）
A． B． C． D．
14．非零复数、分别对应复平面内的向量、，若，则
A． B． C． D．和共线
15．欧拉在年给出了著名的欧拉公式：是数学中最卓越的公式之一，其中底数，根据欧拉公式，任何一个复数，都可以表示成的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数，，则复数在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
二、填空题
16．若，且，则________.
17．设i是虚数单位，且，则______．
18．若复数z满足（i为虚数单位），则_____．
三、解答题
19．设，．
（1）求证：是纯虚数；
（2）求的取值范围．
20．已知复数满足（为虚数单位），复数的虚部为2，且是纯虚数，求．
21．已知复数z满足：z2=3+4i，且z在复平面内对应的点位于第三象限.
（1）求复数z；
（2）设aR，且，求实数a的值.
22．已知关于的方程的两根为，求.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】
解：，
的虚部为1．
故选：A．
2．C
【详解】
分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后求解复数的模.
详解：
，
则，故选c.
点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
3．D
先利用复数的模长和除法运算化简得到，再根据虚部的定义，即得解
【详解】
由，
得，
∴的虚部为.
故选：D
4．C
先由条件有，求出复数，再求复数的模.
【详解】
由，则
所以
故选：C
本题考查复数的运算，复数的模，是基础题.
5．D
对于A，举反例，可判断；对于B，设，代入验证可判断；对于C，举反例可判断；对于D，设，，代入可验证.
【详解】
对于A，设，，，但，不互为共轭复数，故错误；
对于B，设（，），（，）．
由，得，
则，而不一定等于，故错误；
对于C，当时，有，故错误；
对于D，设，，则，正确
故选：
6．D
本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据共轭复数的概念，写出．
【详解】
，
所以，选D．
本题主要考查复数的运算及共轭复数，容易题，注重了基础知识、基本计算能力的考查．理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求．部分考生易出现理解性错误．
7．A
设，则，则，化简命题，再结合充分必要条件的定义判断即可.
【详解】
设，则，则
命题：等价于，即
命题：等价于，即或，即或，
∴是成立的充分不必要条件，
故选：A.
8．D
利用复数的除法化简复数，利用共轭复数的定义以及复数的几何意义可得出结论.
【详解】
解：由题意，得，所以，
所以复数对应的点的坐标为，位于第四象限．
故选：D.
9．B
根据题意，化简复数，结合复数的概念，即可求解.
【详解】
由题意，复数z满足，可得，
所以z的虚部为.
故选：B.
10．D
利用性质，结合已知求出，再由即可求.
【详解】
由题设，，又，
∴，而，
∴，故.
故选：D
11．C
根据题意，结合复数的运算法则与模长公式，即可求解.
【详解】
由，得，因此，故.
故选：C.
12．B
利用复数的四则运算以及复数模的运算即可求解.
【详解】
解析因为，
所以，.
故选：B
13．D
利用复数的四则运算以及共轭复数的概念，根据对应相等即可求解.
【详解】
设()，则，
化简得，
根据对应相等得：，
解得，，
故选：D.
14．A
根据复数加法几何意义以及向量的模的含义得结论.
【详解】
因为，所以+|-|,以、为相邻边的平行四边形的对角线相等，即以、为相邻边的平行四边形为矩形，因此，选A.
本题考查复数加法几何意义以及向量的模，考查基本分析求解能力，属基础题.
15．D
根据欧拉公式的定义求出，再根据复数的除法运算即可求解.
【详解】
∵，，
∴，
复数在复平面内对应的点为，点在第四象限.
故选：D.
16．5
推导出，从而，由此能求出.
【详解】
解：∵，且，
∴，
∴，
∴.
故答案为：5.
本题考查复数的实部的求法，考查复数的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.关键是利用复数的运算求出z的标准形式，并注意准确掌握实部的概念.
17．0
由，代入求解.
【详解】
解：因为，
所以，
，
，
故答案为：0
18．
根据复数的运算直接求出的代入形式，进而可得模.
【详解】
解：由已知，
.
故答案为：.
19．（1）证明见解析 ；（2） .
（1）分析得出，利用复数的除法化简复数，可证得结论成立；
（2）分析得出，计算得出，利用二次函数的基本性质可求得的取值范围.
【详解】
（1）由题意可得，
所以，，
，则，因此，是纯虚数；
（2），
所以，，
因为，则，解得，，则，
所以，，因此，.
关键点点睛：本题考查复数模的取值范围的求解，解题的关键在于将复数的模转化为关于的二次函数的值域来求解，在求解的过程中不要忽了函数的定义域的求解.
20．．
根据复数的四则运算，先求出，再由题意设出，根据是纯虚数，求出，进而可求出.
【详解】
因为，所以，则，
又复数的虚部为2，设，
则，
因为是纯虚数，所以，解得，即，
所以.
21．（1）；（2）.
（1）根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数相等的定义，即可求解；
（2）根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的运算法则和复数的模长公式，即可求解．
【详解】
解：（1）由题意，设复数，
则，
，解得或（舍去）.
；
（2），
，
，
，
.
22．
由方程有两根得到的范围，然后分类把中的绝对值去掉，再结合根与系数的关系得到答案．
【详解】
解：因为关于的方程
所以.
当，即时，为实数，
则，
当，即时，为一对共轭虚数，且，.
综上，
答案第1页，共2页
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