8.1基本立体图形 同步练习 （Word版含解析）

必修第二册 8.1 基本立体图形 同步练习
一、单选题
1．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面．平面以任意角度截正方体，所截得的截面图形不可能为（ ）
A．等腰梯形 B．非矩形的平行四边形
C．正五边形 D．正六边形
2．下列说法正确的是（ ）
A．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
B．过空间内不同的三点，有且只有一个平面
C．棱锥的所有侧面都是三角形
D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
3．如图，正三棱锥中，，侧棱长为，过点的平面与侧棱相交于，则△的周长的最小值为（　　）
A． B． C． D．
4．用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形面，这个几何体不可能是（ ）
A．棱锥 B．圆锥 C．圆柱 D．正方体
5．如图所示，某圆锥的高为，底面半径为1，O为底面圆心，OA，OB为底面半径，且∠AOB=M是母线PA的中点，则在此圆锥侧面上，从M到B的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．-1 C． D．+1
6．已知正四棱锥的底面边长为2，高为2，若存在点到该正四棱锥的四个侧面和底面的距离都等于，则（ ）
A． B． C． D．
7．长方体中过同一个顶点的三个面的面积分别为、、，则长方体体积为（ ）.
A． B． C． D．
8．如图，将阴影部分图形（三角形关于l对称）绕示直线l旋转一周所得的几何体是
A．圆锥
B．圆锥和球组成的简单几何体
C．球
D．一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体
9．埃拉托斯特尼是古希腊亚历山大时期著名的地理学家，他最出名的工作是计算了地球（大圆）的周长：如图，在赛伊尼，夏至那天中午的太阳几乎正在天顶方向（这是从日光直射进该处一井内而得到证明的）.同时在亚历山大城（该处与赛伊尼几乎在同一子午线上），其天顶方向与太阳光线的夹角测得为7.2°.因太阳距离地球很远，故可把太阳光线看成是平行的．已知骆驼一天走100个视距段，从亚历山大城到赛伊尼须走50天．一般认为一个视距段等于157米，则埃拉托斯特尼所测得地球的周长约为（ ）
A．37680千米 B．39250千米 C．41200千米 D．42192千米
10．如图是一个正方体的表面展开图，则图中“0”在正方体中所在的面的对面上的是（ ）
A．2 B．1 C．高 D．考
11．以下命题正确的是（ ）
A．直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
12．下面四个几何体中，是棱台的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个垂直于圆柱底面的平面去截这个组合体﹐则截面图形可能是______（填序号）．
14．已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为平面平面点在上，且过点作四边形外接球的截面﹐则截面面积最大值与最小值之比为___________.
15．已知正四棱锥的侧面积为，底面边长为2，则该正四棱锥的高为_________．
16．如图，四棱锥的底面是正方形，顶点在底面上的投影是底面正方形的中心，侧棱长为，侧面的顶角为．过点作一截面与、、分别相交于、、，则四边形周长的最小值是______．
17．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的八个顶点都在同一球面上，若AB＝1，AA1＝，则A、C两点间的球面距离是_____．
三、解答题
18．如图，以的一边AB所在直线为轴，其他三边旋转一周形成的面围成一个几何体，画出这个几何体的图形，并说出其中的简单几何体及有关的结构特征.
19．已知圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，它的轴截面的面积等于，母线与轴的夹角是，求该圆台的高与母线长.
20．如图，以三角形的一边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体.说出这个几何体的结构特征.
21．如图，已知圆锥底面半径，为底面圆圆心，点Q为半圆弧的中点，点为母线的中点，与所成的角为，求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）两点在圆锥面上的最短距离.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
在正方体中依次分析，经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，其他情况都可构造例子.
【详解】
画出截面图形如图：
可以画出等腰梯形，故A正确；
在正方体中，作截面（如图所示）交，，，分别于点，，，，根据平面平行的性质定理可得四边形中，，且，故四边形是平行四边形，此四边形不一定是矩形，故B正确；
经过正方体的一个顶点去切就可得到五边形．但此时不可能是正五边形，故C错误；
正方体有六个面，用平面去截正方体时最多与六个面相交得六边形，且可以画出正六边形，故D正确．
故选：C
2．C
根据定义逐项分析即可
【详解】
对：根据棱柱的定义知，有两个面平行，其余各面都是四边形，
且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱，所以错误，反例如图：
对：若这三点共线，则可以确定无数个平面，故错误；
对：棱锥的底面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，故正确；
对：只有用平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故错误，
故选：.
3．D
将正三棱锥沿剪开，要使△的周长的最小则有，结合已知条件及正三棱锥的性质知△是等边三角形，即可知周长的最小值.
【详解】
将正三棱锥沿剪开可得如下图形，
∵，即，又△的周长为，
∴要使△的周长的最小，则共线，即，
又正三棱锥侧棱长为，△CAC'是等边三角形，
∴.
故选：D
4．C
判断出圆柱的截面图形即可求解.
【详解】
圆柱的截面的图形只有矩形或圆形，
如果截面是三角形，那么这个几何体不可能是圆柱.
故选：C
本题考查了几何体的截面图形，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.
5．A
画出圆锥侧面展开图，求得，再求出，即可利用余弦定理求解.
【详解】
如图为圆锥的侧面展开图，,
，则，
在中，，
则，
为M到B的路径中，最短路径的长.
故选：A.
6．A
作出四棱锥，根据题意，解方程即可求解.
【详解】
由题意可得，
且，
解得.
故选：A
7．B
设长方体中过同一个顶点的三条棱的棱长分别为，根据已知的面积可得的关系，从而可得长方体体积.
【详解】
设长方体中过同一个顶点的三条棱的棱长分别为，则，
故，
故选：B.
本题考查长方体的侧面积与体积的关系，此类问题主要考查学生的数式变形能力，本题属于容易题.
8．D
根据三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，即可求解．
【详解】
由题意知，三角形绕轴旋转一周后形成的几何体是圆锥，圆绕直径所在直线旋转一周后形成的几何体是球，故阴影部分旋转一周后形成的几何体是一个圆锥内部挖去一个球后组成的简单几何体，故选D．
本题主要考查了旋转体的概念，其中熟记旋转体中圆柱、圆锥、圆台和球的概念是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于基础题．
9．B
首先读懂题意，根据比例关系，即可求解地球周长.
【详解】
由亚历山大城到赛伊尼走，则地球大圆周长的视距段为，
则，得个视距段，
则地球的周长为米千米.
故选：B
10．C
将展开图还原为正方体，结合图形即可得解；
【详解】
解：将展开图还原成正方体可知，“0”在正方体中所在的面的对面上的是“高”，
故选:C.
11．C
根据圆锥的几何特征即可判断A；
根据圆柱的几何特征即可判断B；
根据圆台的几何特征即可判断C；
根据棱台的几何特征即可判断D.
【详解】
解：对于A：直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故A错误；
对于B：，因为当两平行的截面与圆柱的底面不平行时，截得的几何体的两个平行的底面有可能是椭圆，另外当截面平行于圆柱的高线时，截得的几何体也不是圆柱，故B错误；
对于C：圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，正确；
对于选项D：当截面不平行于底面时，棱锥截去一个小棱锥后剩余部分不是棱台，故D错．
故选：C．
12．C
根据棱柱、棱锥、棱台的结构特征，观察可得答案.
【详解】
A项中的几何体是棱柱．
B项中的几何体是棱锥；
D项中的几何体的棱AA′，BB′，CC′，DD′没有交于一点，则D项中的几何体不是棱台；
C项中的几何体是由一个棱锥被一个平行于底面的平面截去一个棱锥剩余的部分，符合棱台的定义，是棱台．
故选：C
13．①⑤
根据圆锥曲线的定义和圆锥的几何特征，分截面过旋转轴时和截面不过旋转轴时两种情况，分析截面图形的形状，最后综合讨论结果，可得答案.
【详解】
由题意，当截面过旋转轴时，圆锥的轴截面为等腰三角形，此时①符合条件；
当截面不过旋转轴时，圆锥的轴截面为双曲线的一支，此时⑤符合条件，
综上可知截面的图形可能是①⑤.
故答案为：①⑤
14．
取中点为连接，球心在平面的投影为外心，
在上，作于依题意可证由面面垂直的性质得到平面，求出、，从而求出外接球的半径，再连接，即可得到三点共线，从而求出截面面积最大值与最小值，从而得解；
【详解】
解：由题知和为等边三角形，取中点为连接，
则
由平面平面平面平面
故平面，，
易知球心在平面的投影为的外心，
在上，作于，
易得
则在中，，
所以外接球半径，连接
因为
所以三点共线，所以
当截面过球心时截面面积最大为，
当为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，面积为，所以截面面积最大值与最小值之比为是.
故答案为：
15．1
根据正四棱锥的侧面积公式，结合勾股定理进行求解即可.
【详解】
如图所示：
设正四棱锥的斜高，设该正四棱锥的高，
因为正四棱锥的侧面积为，底面边长为2，
所以有，
由勾股定理可知：，
故答案为：1
16．
将棱锥的侧面沿棱PA展开，将折线段的最小值问题转化为两点间的距离最小的问题即可.
【详解】
依题意，四棱锥为正四棱锥，且每个侧面的顶角为，
将四棱锥的侧面沿PA展开，如图，A展开后到A'，
则，且，
则当如图，E，F，G和AA'在同一直线上时，四边形AEFG的周长的最小值，最小值为AA'．
所以在三角形APA'中，由余弦定理得：
，
所以，
故答案为：.
本题考查了展开图中，周长最小的问题，将立体图形转化为平面图形是解决此类问题的关键，属于中档题.
17．
正四棱柱的顶点在球面上，正四棱柱的对角线为球的直径，又因为角为直角，就可以求出的球面距离．
【详解】
解：正四棱柱的对角线为球的直径，由得，
，
，
（其中为球心）
、两点间的球面距离为，
故答案为：．
18．见解析
画出满足条件的旋转体，进而可分析出几何体的结构特征.
【详解】
这个几何体的图形如图，下半截是一个圆锥，上半截是一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.
本题考查的知识点是旋转体，熟练掌握各种旋转体的几何特征，是解答的关键．属于基础题.
19．，.
设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，由题意可知下底面半径为，，，解方程组可求得结果
【详解】
解：设圆台的高为h，母线长为l，上底面半径为r，由题意可知下底面半径为.
因为轴截面的面积等于，所以.
因为母线与轴的夹角是，所以，.
解得，.
20．两个同底的圆锥
可以把三角形看作两个直角三角形的拼接而成，直角三角形绕直角边旋转可得圆锥.
【详解】
作于，则以三角形的一边所在直线为轴，可以看作两个直角三角形绕各自的直角边旋转而成，所以形成的几何体是两个同底的圆锥
本题主要考查组合体的识别，旋转体形成时，区分不同的旋转轴所得的几何体的结构是有区别的，侧重考查直观想象的核心素养.
21．（1）；（2）.
（1）取中点，连接，根据可得；根据垂直关系，结合勾股定理和直角三角形中的长度关系可求得圆锥母线长；根据扇形面积公式可求得圆锥的侧面积；（2）在圆锥侧面上连接两点可知最短距离为直线，将圆锥沿母线展开，根据（1）的结果可知圆心角为，根据角度和长度关系可证得为等边三角形，从而求得结果.
【详解】
（1）取中点，连接
则 即为异面直线与所成角
又平面 平面
平面
在中，
又
圆锥母线长，即侧面展开扇形半径
底面圆周长 圆锥的侧面积
即圆锥的侧面积为：
（2）在圆锥侧面上连接两点的所有曲线中，最短的必为直线
由（1）知，侧面展开图扇形的圆心角为
沿母线将圆锥侧面展开，如下图所示：
则
是半圆弧的中点
又 为等边三角形
即两点在圆锥面上的最短距离为：
本题考查立体几何中圆锥侧面积的求解、最短距离的求解问题；解决侧面上两点间的最短距离的方法是将侧面展开，可知两点间线段最短，从而根据角度和长度关系来进行求解.
答案第1页，共2页
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