8.3简单几何体的表面积与体积 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.3 简单几何体的表面积与体积
一、单选题
1．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（ ）
A． B． C． D．
2．已知一个正四棱锥的底面边长为4，以该正四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则该正四棱锥的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
3．在三棱锥中，，，，M，N，P，Q分别为棱AB，CD，AD，BC的中点，则以下四个命题中真命题的个数为（ ）
①直线MN是线段AB和CD的垂直平分线
②四边形MQNP为正方形
③三棱锥的体积为
④三棱锥外接球的表面积为
A．4 B．3 C．2 D．1
4．某四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，该四棱锥内有一个半径为1的球，则该四棱锥的表面积最小值是（ ）
A．16 B．8 C．32 D．24
5．蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点、、、、恰好构成一正四棱锥，若该棱锥的高为8，底面边长为，则该鞠的表面积为（ ）
A． B． C． D．
6．设P，A，B，C是球O表面上的四个点，若，，，且，则球O的体积为（ ）
A．48π B． C．12π D．
7．我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径意思是：球的体积V乘16，除以9，再开立方，即为球的直径d，由此我们可以推测当时球的表面积S计算公式为（ ）
A． B． C． D．
8．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为，约为0.618.这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为黄金比在几何世界中有很多黄金图形，在三角形中，如果相邻两边之比等于黄金分割比，且它们的夹角的余弦值为黄金分割比值，那么这个三角形一定是直角三角形，这个三角形称为黄金分割直角三角形.在正四棱锥中，以黄金分割直角三角形的长直角边作为正四棱锥的高，以短直角边的边长作为底面正方形的边心距(正多边形的边心距是正多边形的外接圆圆心到正多边形某一边的距离)，斜边作为正四棱锥的斜高，所得到的正四棱锥称为黄金分割正四棱锥.在黄金分割正四棱锥中，以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为（ ）
A． B． C．1 D．
9．如图是底面半径为3的圆锥，将其放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身恰好滚动了3周，则（ ）
A．圆锥的母线长为18
B．圆锥的表面积为27π
C．圆锥的侧面展开图扇形圆心角为60°
D．圆锥的体积为
10．如图所示，正四棱台的下底面与半球的底面重合，上底面四个顶点均在半球的球面上，若正四棱台的高与上底面边长均为1，则半球的体积为（ ）
A． B． C． D．
11．如图所示，半径为4的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与圆柱的侧面积之差为
A． B． C． D．
12．已知一个几何体的三视图如图，则其外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．球为正方体的内切球，平面截球的截面面积为，则球的表面积为________．
14．已知一个圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为________．
15．若球的大圆的面积为，则该球的体积为________
16．棱长为6的正方体内有一个棱长为x的正四面体，正四面体的中心（正四面体的中心就是该四面体外接球的球心）与正方体的中心重合，且该四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为______．
17．已知圆柱的底面周长为，侧面展开图矩形的面积为，则它的体积为________．
三、解答题
18．如图，长方体由，，，，过作长方体的截面使它成为正方形.
（1）求三棱柱的外接球的表面积；
（2）求 .
19．如图所示，已知直三棱柱中，是用一平面截得的截面，且，，，若的面积为S，求证：介于截面与下底面之间的几何体的体积为.
20．己知圆锥的底面半径，高
(1)求圆锥的表面积和体积
(2)如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值
21．在高一年级一次社会实践活动中，一组学生的任务是用数控机床把一个半径为2的铝合金球加工成一个工件，这个工件是具有公共底面圆的两个圆锥形（如图），且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上，已知圆锥底面面积是这个球面面积的.
（1）求此次加工工件的利用率（加工成品工件的体积之与球的体积之比）；
（2）求工件的表面积.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.
【详解】
由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则该几何体的表面积为
.
故选：A.
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
2．D
利用四棱锥斜高与高的关系列方程并求解，再利用侧面积公式直接求解.
【详解】
正四棱锥如图，
设四棱锥的高，
由底面边长为4，可知，斜高，
故，解得，
故侧面积为，
故选：D.
3．B
将三棱锥放置在长方体中，得分别是上下底面的中心，可判断①；求出过同一个顶点的三条棱长可得每一个面都为长方形，由三角形中位线定理可得，，与不垂直，可判断②；
由可判断③；由三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且长方体的对角线就是外接球的半径，求出可判断④.
【详解】
如图，将三棱锥放置在长方体中，可得分别是上下底面的中心，则，则直线MN是线段AB和CD的垂直平分线，故①正确；
设过同一个顶点的三条棱长分别为，则
，解得，
所以过同一个顶点的三条棱长不相等，每一个面都为长方形，
由三角形中位线定理可得，，
得，，则四边形为平行四边形，又，则四边形为菱形，因为每一个面都为长方形，所以与不垂直，所以四边形不是正方形，故②错误；
三棱锥的体积为，故③正确；
设三棱锥的外接球就是长方体的外接球，且长方体的对角线就是外接球的半径，设为，则，所以经过三棱锥各个顶点的球的表面积为，故④正确.
故选：B.
4．C
由题意知该四棱锥是正四棱锥，如图四棱锥，设底面正方形的边长为，高为，由题意可知半径为的球是正四棱锥的内切球时，该四棱锥的表面积最小，利用等体积法求出与的关系，再将四棱锥的表面积表示成关于的函数，由基本不等式即可求解.
【详解】
因为四棱锥的底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形中心，
所以该四棱锥是正四棱锥，如图正四棱锥，
当半径为的球是正四棱锥的内切球时，该四棱锥的表面积最小，
设正方形的边长为，设，连接，则面，
所以正四棱锥的高为，设，正四棱锥的表面积为，
由，
即为，
整理可得：，所以，可得，
所以正四棱锥体积为，
则，
设，可得，
所以，
当且仅当即，时，等号成立，该四棱锥的表面积最小值是，
故选：C.
5．B
依题意作图，算出外接球的半径即可.
【详解】
依题意作上图，∵P-ABCD是正四棱锥，∴底面ABCD是正方形，
并且点P在底面的投影为正方形ABCD的中心， 即 平面ABCD，
外接球的球心必定在 上，设球心为O，
由题意 ，则 ,
连接BO，则BO为外接球的半径R， ，并且PO=R，
∴在 中， ， ，
解得R=5，外接球的表面积 ，
故选：B.
6．B
由题知球为以2为棱长的正方体的外接球.
【详解】
，，，且
球可看作以2为棱长的正方体的外接球，设半径为,
，即，
球O的体积.
故选：B.
本题考查外接球体积的计算，解题的关键是求出半径，属于基础题.
7．A
根据已知条件结合球的体积公式求解出的值，然后根据球的表面积公式求解出的表示，即可得到结果.
【详解】
因为，所以，所以，
所以，
故选：A.
关键点点睛：解答本题的关键是根据球的体积公式得到的表示，再将带入到球的表面积公式即可完成求解.
8．D
设出黄金分割正四棱锥P-ABCD底面边心距a，计算出这个四棱锥的高和斜高，进而算出对应面积而得解.
【详解】
如图：黄金分割正四棱锥P-ABCD，O是正方形ABCD中心，PE是正四棱锥的斜高，设，则，
则有为黄金分割直角三角形，，则，则，
以四棱锥的高为边长的正方形的面积，
而正四棱锥的四个侧面是全等的，则，
所以以四棱锥的高为边长的正方形面积与该四棱锥的侧面积之比为.
故选：D
9．D
由题意可知，再利用圆锥的表面积公式，侧面积公式及体积公式，即可判断.
【详解】
设圆锥的母线长为，以为圆心，为半径的圆的面积为，
又圆锥的侧面积，
因为圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了3周，
所以，解得，
所以圆锥的母线长为9，故选项A错误；
圆锥的表面积，故选项B错误；
因为圆锥的底面周长为，
设圆锥的侧面展开图扇形圆心角为，
则，解得，
所以圆锥的侧面展开图扇形圆心角为120°，故选项C错误；
圆锥的高，
所以圆锥的体积为，故选项D正确．
故选：D．
10．B
根据正四棱台的特点，利用数形结合，列式求半径，再求半球的体积.
【详解】
设半球的球心为O，正四棱台的上底面的一个顶点A在下底面的投影为B，
可知为半球的半径，因为，
所以半球的体积为．
故选：B
11．C
设圆柱的底面半径为、高分别为，得，即，得到圆柱的侧面积，求得圆柱的侧面积最大值，进而可求解球的表面积与圆柱的侧面积之差，得到答案．
【详解】
由题意知，球的半径，所以球的表面积为.
设圆柱的底面半径为、高分别为，则，得，
即，
所以圆柱的侧面积
，
所以当，即时，圆柱的侧面积最大，最大值为.
此时球的表面积与圆柱的侧面积之差是.
本题主要考查了球的表面积和圆柱的侧面积公式的应用，以及组合体的性质的应用，其中解答中根据组合体的性质，得到圆柱的底面半径和高的关系，求得圆柱的侧面积的表示是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力．
12．D
根据三视图还原几何体，将几何体补成长方体，计算出几何体的外接球直径，结合球体体积公式即可得解.
【详解】
根据三视图还原原几何体，如下图所示：
由图可知，该几何体为三棱锥，且平面，
将三棱锥补成长方体，
所以，三棱锥的外接球直径为，故，
因此，该几何体的外接球的体积为.
故选：D.
方法点睛：空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段两两互相垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用求解．
13．
用球半径R表示出其内切正方体的棱长，进而得正的边长，再经内切圆半径而得解.
【详解】
设内切球半径为，则正方体棱长为，如图，
平面截球所得圆为正的内切圆，而截面圆半径为1，
在正中，∴，
故内切球的表面积为．
故答案为：
14．
求出圆锥的母线长即可得侧面积．
【详解】
由题意底面半径为，高为，则母线长为，
所以侧面积为．
故答案为：．
15．
根据球的大圆的面积，先计算出球的半径，进而可得球的体积．
【详解】
设球的半径为R，
则球的大圆面积为9π=πR2，
解得R=3，
故该球的体积V=πR3=36π，
故答案为36π
本题考查了球的体积公式，面积公式，属于基础题．
16．
正方体的内切球半径为3，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，进而求解.
【详解】
由题意得，该正四面体在棱长为6的正方体的内切球内，故该四面体内接于球时棱长最大，
因为棱长为6的正方体的内切球半径为
如图，设正四面体，O为底面的中心，连接，则底面，
则可知，正四面体的高，
利用勾股定理可知，解得：
故答案为：
17．
设圆柱底面半径为，高为，根据圆柱的结构特征列出等式，得出，再由圆柱的体积公式即可求解.
【详解】
设圆柱底面半径为，高为，
则
所以，
所以．
故答案为：
18．（1）（2）80
（1）根据直三棱柱底面为为直角三角形可得外接球球心的位置，利用勾股定理求半径，即可求解；
（2）根据等体积法及几何体的割补法可转化为求三棱锥即可.
【详解】
（1）因为截面为正方形，
所以，
在中，，
即，解得，
在直三棱柱中，底面的外接圆半径为，
直三棱柱的外接球球心到面的距离为，
设三棱柱的外接球半径为，
则，
（2）因为，
在长方体中平面，
所以三棱锥的高为，
所以
.
关键点点睛：根据直三棱柱外接球的的性质可知球心到底面的距离为高的一半，求出底面外接圆的半径即可利用勾股定理求解即可，利用分割法可把四棱锥转化为三棱锥求体积即可.
19．证明见解析
由于几何体是一个不规则的几何体，为求得其体积，采用分割或补形的方法来求解即可.
【详解】
证法一（分割）：为了讨论方便，不妨设.如图所示.
可将几何体分割成一个小直三棱柱与两个三棱锥.
过作交于，过作交于，联结、，
则几何体被分割成：
直三棱柱，三棱锥，三棱锥.
设，A到的距离为d，则，由于
，
，
故.
证法二（补形）：将几何体以为底面进行两次等几何体补形，
使侧棱的长均为，这样就将不规则的几何体补形为新的直三棱柱，
而原几何体的体积等于这个新直三棱柱体积的，
故.
20．(1),;
(2).
（1）由已知求得圆锥的母线长,再由圆锥的侧面积与体积公式求解;
（2）作出圆柱与圆锥的截面图，把圆柱的侧面积用h表示,然后结合二次函数求最值.
(1)
∵圆锥的底面半径R=6，高H=8，
圆锥的母线长，
则表面积，体积.
(2)
作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,
其中，
设圆柱底面半径为r，则，即 .
设圆柱的侧面积为.
当时，有最大值为.
21．（1）；（2）.
（1）结合圆锥的底面积公式以及球的表面积公式即可求出圆锥的底面半径进而根据几何性质求出圆锥的高，然后分别求出圆锥和球的体积公式即可求出结果；
（2）求出圆锥的母线长，进而结合圆锥的侧面积公式即可求出结果.
【详解】
（1）设球半径为R，圆锥底面半径为r.
∵，∴.
设较大圆锥与较小圆锥的高分别为，，
则，
加工工件的利用率
（2）由（1）得大、小圆锥的母线长为，，所有大、小圆锥的表面积之和为.
答案第1页，共2页
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