8.5空间直线、平面的平行 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.5 空间直线、平面的平行
一、单选题
1．若是直线外一点，过点且与平行的平面（ ）
A．存在无数个 B．不存在
C．存在但只有一个 D．只存在两个
2．如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，点F在棱PA上，PF＝λAF，若PC∥平面BDF，则λ的值为（ ）
A．1 B． C．3 D．2
3．在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分 B．一个点
C．线段的一部分 D．圆的一部分
4．如图，正方体中，、分别为棱、上的点，在平面内且与平面平行的直线（ ）
A．有一条 B．有二条
C．有无数条 D．不存在
5．如图，是正方体，为棱上的动点（不含端点），平面与底面的交线为，则与的位置关系是（ ）
A．异面 B．平行 C．相交 D．与点位置有关
6．已知是两个不重合的平面，下列选项中，一定能得出平面与平面平行的是（ ）
A．内有无穷多条直线与平行
B．直线////
C．直线满足//////
D．异面直线满足，且////
7．在空间四边形中，分别在上，且满足，则直线与平面的位置关系是（ ）
A．平面 B．平面
C．与平面相交 D．以上都有可能
8．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．下列条件中，能判断平面与平面平行的是　　
A．内有无穷多条直线都与平行
B．与同时平行于同一条直线
C．与同时垂直于同一条直线
D．与同时垂直于同一个平面
10．若直线a平行于平面α，则下列结论错误的是（ ）
A．直线a上的点到平面α的距离相等
B．直线a平行于平面α内的所有直线
C．平面α内有无数条直线与直线a平行
D．平面α内存在无数条直线与直线a成90°角
11．下列结论中正确的是（ ）
①在空间中，若两条直线不相交，则它们一定平行；②平行于同一条直线的两条直线平行；③一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么它也和另一条相交；④空间中有四条直线a，b，c，d，如果ab，cd，且ad，那么bc.
A．①②③ B．②④ C．③④ D．②③
12．对于两个不同的平面，和三条不同的直线，，.有以下几个命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，则；
④若，，则；
⑤若，，则.
则其中所有错误的命题是（ ）
A．③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤
二、填空题
13．如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M、N分别是BF、BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是_______.
14．.如图，正方体的棱长为2， 是棱的中点， 是侧面内一点，若平面 ，则的长度的范围为__________.
15．如图是正方体的表面展开图，E，F，G，H分别是棱的中点，则EF与GH在原正方体中的位置关系为______.
16．如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且有一组边方向相反，那么这两个角的关系是______.
三、解答题
17．已知正方体中， 分别为对角线 上的点，且．
（1）求证：平面；
（2）若是上的点，的值为多少时，能使平面平面？请给出证明．
18．在如图所示的圆柱中，为圆的直径，，是的两个三等分点，，，都是圆柱的母线.
（1）求证：平面；
（2）若，求二面角的余弦值.
19．如图，正三棱柱的底面边长是2，侧棱长是，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥的体积.
20．如图，，，，，求证.
21．如图，已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M N分别是AB PC的中点
（1）求证：MN平面PAD；
（2）在PB上确定一个点Q，使平面MNQ平面PAD.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．A
根据线面平行的判定方法可直观想象得到结果.
【详解】
过点作直线的平行线，则经过且不经过的所有平面均与平行，故有无数个.
故选：A.
2．A
连结AC，交BD于O，连结OF，则AO＝OC，再由点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，能求出OF∥PC，
【详解】
解：连结AC，交BD于O，连结OF
∵四棱锥P﹣ABCD的底面是平行四边形，∴AO＝OC，
∵点F在棱PA上，PF＝λAF，PC∥平面BDF，
∴OF∥PC，
∴λ＝1.
故选：A.
本题考查实数值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.
3．C
过作交于，连接，证明平面平面，得，即得结论．
【详解】
如图，过作交于，连接，
，平面，平面，所以平面，
同理平面，又，平面，
所以平面平面，所以，（不与重合，否则没有平面），
故选：C．
4．C
设平面，且，可证明平面，从而可得正确的选项.
【详解】
设平面，且，又平面，平面，
平面，显然满足要求的直线l有无数条.
故选：C.
本题考查线面平行的判断，注意根据所求直线在定平面中去构造与平面平行的直线，本题属于容易题.
5．B
根据线面平行的性质定理和平行公理，判断出正确选项.
【详解】
由于平面，平面平面，根据线面平行的性质定理可知，由于，所以.
故选：B.
本小题主要考查线面平行的性质定理，考查平行公理，属于基础题.
6．D
采用逐一验证法，根据面面平行的判定定理，可得结果.
【详解】
A错
内有无穷多条直线与平行，
平面与平面可能平行，也可能相交，
B错
若直线////，
则平面与平面可能平行，也可能相交，
C错
若//////，
则平面与平面可能平行，也可能相交，
D正确
当异面直线满足，且////时，
可在上取一点，过点在内作直线//，
由线面平行的判定定理，得//，
异面，所以 相交，
再由面面平行的判定定理，得//，
故选：D.
本题考查面面平行的判定，属基础题.
7．A
由，可推出，再根据线面平行的判定可得出答案.
【详解】
∵
∴
又∵，.
∴平面.
故选：A
8．B
【详解】
试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.
【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.
9．C
利用面面平行的判定直接判断即可．
【详解】
解：对于，若内有无穷多条平行的直线与平行，则不能说明平行；
对于，平行于同一条直线的两个平面可能不平行，还可以相交；
对于，垂直于同一条直线的两平面平行；
对于，垂直于同一平面的两个平面不一定平行，还可以垂直．
综上，选项正确．
故选：．
本题考查空间中面面平行的判定，考查空间直线、平面间的位置关系，属于基础题．
10．B
根据直线与平面平行的性质可依次判断各个选项得到结果.
【详解】
若，则直线上任意一点到平面的距离均相等，正确；
若，则平面内存在无数条平行直线与直线平行，但与其平行直线相交的直线与直线异面，故错误，正确；
若，则在平面内垂直于直线的平行直线的直线与直线成角，这样的直线有无数条，正确.
故选：
本题考查线面平行的性质的应用，易错点是对于无数条直线与所有直线概念的理解出现问题，造成判断错误.
11．B
根据空间中直线间的位置关系逐项进行判断即可.
【详解】
①错误，两条直线可以异面；
②正确，平行的传递性；
③错误，和另一条直线可以相交也可以异面；
④正确，平行的传递性.
故选：B.
12．D
根据空间中直线平行的传递性，可判断①；根据线线、线面、面面之间的位置关系即可判断②③④⑤.
【详解】
解：因为，，根据空间中直线平行的传递性，得，故①正确；
因为，，所以直线平行，异面，相交均有可能，故②错误；
若，，则或，故③错误；
若，，则平面平行或相交，故④错误；
若，，则或，故⑤错误.
所以错误的命题是②③④⑤.
故选：D.
13．平行
【详解】
∵M、N分别是BF、BC的中点，∴MN∥CF.又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN 平面ADE，DE 平面ADE，∴MN∥平面ADE.
点睛：寻找线线平行一般利用平几知识，如三角形中位线性质定理，对应成比例的线段平行，平行四边形性质等.
14．
分别取的中点M，N，再由E为AB的中点，易证平面平面，再根据是侧面内一点，且平面得到点F的轨迹为线段MN求解.
【详解】
如图所示：
分别取的中点M，N，连接EM，EN，MN，
因为E为AB的中点，
所以，又平面，平面，
所以平面，
同理平面，
又，
所以平面平面，
又是侧面内一点，且平面，
所以点F的轨迹为线段MN，
故EF的最小值为,最大值为，
所以的长度的范围为，
故答案为：
15．平行
将正方体的表面展开图还原构造成正方体，取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，得到EF∥PQ，根据PQ∥A1B，HG∥A1B，即可得到EF∥GH.
【详解】
由题意，将正方体的表面展开图还原构造成正方体，如图所示:
分别取AB，AA1的中点Q，P，连接EP，FQ，PQ，A1B，
由正方体的结构特征可得EF∥PQ，
又因为点Q，P，H，G分别是AB，AA1，A1B1，BB1的中点，故PQ∥A1B，HG∥A1B，
故PQ∥HG，所以EF∥GH.
故答案为：平行
16．互补##互为补角
由等角定理及其推论可判断
【详解】
根据等角定理的推论可知，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且有一组边方向相反，那么这两个角互补
故答案为：互补
17．（1）证明见解析；（2）的值为，证明见解析．
（1）连结并延长与的延长线交于点，证明，，又平面，平面，证明平面；
（2）是上的点，当的值为时，能使平面平面，通过证明平面，又，平面．然后证明即可．
【详解】
（1）连结并延长与的延长线交于点，
因为四边形为正方形，
所以，
故，
所以，
又因为，
所以，
所以．
又平面，平面，
故平面．
（2）当的值为时，能使平面平面．
证明：因为，
即有，
故．
所以．
又平面，平面，
所以平面，
又，平面．
所以平面平面．
本题考查直线与平面平行的判定定理，平面与平面平行的判定定理，考查空间想象能力逻辑推理能力．
18．（1）证明见解析；（2）.
（1）连接，，易证，，根据面面平行的判定定理可得平面平面，再根据面面平行的定义即可证得平面；
（2）因为直线，，两两垂直，所以以为原点建立空间直角坐标系，分别求出平面，平面的一个法向量，根据二面角的向量坐标公式即可求出.
【详解】
（1）连接，，因为，是半圆的两个三等分点，
所以，又，
所以，，均为等边三角形，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
又因为，平面，平面，
所以平面.因为，都是圆柱的母线，所以，
又因为平面，平面，
所以平面.
又平面，，
所以平面平面，又平面，所以平面.
（2）连接，因为是圆柱的母线，所以圆柱的底面，
因为为圆的直径，所以，
所以直线，，两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系如图：
因为，所以，，，，
，，
由题知平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，则：
，令，，.∴.
所以.由图可知，二面角的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.
本题主要考查线面平行的证明，以及二面角的求法，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于中档题．线面平行的证明一般可以通过线面平行的判定定理或者面面平行的定义证出，二面角的求法一般有：定义法，垂面法，三垂线法，向量法，坐标法，面积射影法等．
19．（1）证明见解析；（2）.
（1）设与相交于点，则为中点，连接， 利用三角形中位线定理证明，利用线面平行的判定定理证明平面；
（2）连接，用等体积法转化为求三棱锥的体积
【详解】
（1）设与相交于点，则为中点，连接，
∵为中点，∴，
又∵平面，∴平面；
（2）连接，则，
在正三棱柱中，平面，
则与到平面的距离相等，
∵为的中点，∴，
又平面平面，且平面平面，
∴平面，
在等边三角形中，由，得，
又正三棱柱的侧棱长为，∴，
∴.
立体几何解答题的基本结构：
(1)第一问一般是几何关系的证明，用判定定理；
(2)第二问是计算，求角或求距离（求体积通常需要先求距离）.如果求体积（距离），常用的方法有：(1) 直接法；(2)等体积法；(3) 补形法；(4)向量法.
20．见解析
首先根据线面平行的判定定理，证得；再根据线面平行的性质定理证得，由平行公理证得，从而证得.
【详解】
，.
，
，
，
.
本小题主要考查线面平行的判定定理和性质定理，考查平行公理，属于基础题.
21．（1）证明见解析；（2）当在的中点时，平面平面.
（1）取中点，连接，利用面面平行的判定定理证明平面平面，即可证明平面；
（2）假设第一问的即为所求，再利用面面平行进行证明.
【详解】
（1）证明：取中点，连接，
分别是的中点，
.
，
又面，面，
∴面.
同理可证：面.
又面，面，,
平面平面，
平面，
平面
（2）解：假设第一问的即为所求
在的中点，
分别是的中点，为的中点
且
则平面平面
且
所以平面平面.
所以第一问的点即为所求，当在的中点时，平面平面.
（1）立体几何中位置关系的证明一般用判定定理；
（2）存在性问题的证明：先假设存在，在进行证明.如果存在，可以证明；如果推出矛盾，则不存在.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页