8.6空间直线、平面的垂直 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 8.6 空间直线、平面的垂直
一、单选题
1．如图所示的正方形中，分别是，的中点，现沿，，把这个正方形折成一个四面体，使，，重合为点，则有（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
2．直三棱柱中，，，则与面成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，，则直线PA与平面PBC所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．在正三棱柱中，，点满足，其中，，则下列说法正确的个数是（ ）
①当时，的周长为定值
②当时，三棱锥的体积为定值
③当时，有且仅有一个点，使得
④当时，有且仅有一个点，使得平面
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，锐二面角α-l-β的棱上有A，B两点，直线AC，BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB.已知AB＝4，AC＝BD＝6，CD＝8，则锐二面角α-l-β的平面角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
6．一种特殊的四面体叫做“鳖臑”，它的四个面均为直角三角形.如图，在四面体PABC中，设E，F分别是PB，PC上的点，连接AE，AF，EF（此外不再增加任何连线），则图中直角三角形最多有（ ）
A．6个 B．8个
C．10个 D．12个
7．埃及胡夫金字塔是世界七大奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，现已测得它的塔倾角为，则该四棱锥的高与底面正方形的边长的比值为（ ）(注：塔倾角是指该四棱锥的侧面与底面所成的二面角，参考数据：)
A． B． C． D．
8．下列四个命题：
①所在平面外一点P到角的两边距离相等，若点P在平面上的射影H在的内部，则H在的平分线上；
②P是所在平面外一点，点P到三个顶点的距离相等，则点P在平面上的射影O是的外心；
③P是所在平面外一点，点P到三边的距离相等，则点P在平面上的射影O是的内心；
④P是所在平面外一点，点，，两两垂直，且，则点P在平面上的射影O是的中心.
其中，正确命题的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．若直线平面，直线平面，则直线a与直线b的位置关系为（ ）
A．异面 B．相交 C．平行 D．平行或异面
10．在底面为正方形的四棱锥中，底面，，则异面直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，正方体的棱长为1，动点在线上，，分别是，的中点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．平面
C．三棱锥的体积为定值 D．存在点，使得平面平面
12．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
二、填空题
13．三棱锥中，为边长为3的等边三角形，，，且面面，则三棱锥的外接球的体积为___________.
14．在三棱锥中，平面ABC，是边长为2的正三角形，，Q为三棱锥外接球球面上一动点，则点Q到平面PAB的距离的最大值为______
15．已知点A是以BC为直径的圆O上异于B，C的动点，P为平面ABC外一点：且平面РВС平面АВС，，，．则三棱锥P-АВС外接球的表面积为_________
16．如图，已知直四棱柱的所有棱长均相等，，E是棱的中点，设平面经过直线，且平面平面，若平面，则异面直线与所成的角的余弦值为_______．
17．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，现有下列结论：①；②平面与平面的交线平行于直线；③异面直线，所成的角为定值；④三棱锥的体积为定值，其中错误结论的是___________．

三、解答题
18．正四棱台两底面边长分别为3和9，若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为，求棱台的侧面积．
19．已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，.
（1）求三棱锥的体积；
（2）已知D为棱上的点，证明：.
20．如图，在三棱柱中，为棱的中点，平面．
(1)试确定点的位置，并证明平面；
(2)若是等边三角形，，，且平面平面，求四面体的体积．
21．如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.
（1）证明：；
（2）若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M点的位置.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．A
根据正方形的特点，可得，，然后根据线面垂直的判定定理，可得结果.
【详解】
由题意：，，
，平面
所以平面正确，D不正确；.
又若平面，则，由平面图形可知显然不成立；
同理平面不正确；
故选：A
本题主要考查线面垂直的判定定理，属基础题.
2．A
过作,可证平面，连接,可知即为所求线面角，计算即可求解.
【详解】
如图，过作，连接，
在直三棱柱中，因为
所以平面，
故在平面上的射影为,
所以为直线与平面所成的角，
设，又
所以
故
故选：A
方法点晴：求线面夹角一般有两种方法：
（1）几何法：作平面的垂线，找到夹角再用三角函数求解；
（2）向量法：建系用空间向量公式求解.
3．D
取BC的中点D，通过垂直关系的证明得到就是直线PA与平面PBC所成的角，结合线段长度求解出线面角的正弦值.
【详解】
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，即，
又∵，
∴△PAB△PAC，
∴.
取BC的中点D，连接AD，PD，
∴PD⊥BC，AD⊥BC，
又∵PD∩ADD，∴BC⊥平面PAD，
∵BC 平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC，
过A作AO⊥PD于O，易得AO⊥平面PBC，
∴就是直线PA与平面PBC所成的角.
在Rt△PAD 中，，
则，则.
故选：D.
4．B
判断当时，点在线段上，分别计算点为两个特殊点时的周长，即可判断选项A；当时，点在线段上，利用线面平行的性质以及锥体的体积公式，即可判断选项B；当时，取线段，的中点分别为，，连结，则点在线段上，分别取点在，处，得到均满足，即可判断选项C；当时，取的中点，的中点，则点在线的上，证明当点在点处时，平面，利用过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，即可判断选项D．
【详解】
解：对于A，当时，，即，所以，
故点在线段上，此时△的周长为，
当点为的中点时，△的周长为，
当点在点处时，△的周长为，
故周长不为定值，故选项A错误；
对于B，当时，，即，所以，
故点在线段上，
因为平面，
所以直线上的点到平面的距离相等，
又△的面积为定值，
所以三棱锥的体积为定值，故选项B正确；
对于C，当时，取线段，的中点分别为，，连结，
因为，即，所以，
则点在线段上，
当点在处时，，，
又，所以平面，
又平面，所以，即，
同理，当点在处，，故选项C错误；
对于D，当时，取的中点，的中点，
因为，即，所以，
则点在线的上，
当点在点处时，取的中点，连结，，
因为平面，又平面，所以，
在正方形中，，
又，，平面，
故平面，又平面，所以，
在正方体形中，，
又，，平面，所以平面，
因为过定点与定直线垂直的平面有且只有一个，
故有且仅有一个点，使得平面，故选项D正确．
故选：B．
5．B
过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接DE，CE，由BE⊥AB，BD⊥AB，可得∠DBE是二面角α-l-β的平面角，AB⊥平面DBE，则CE⊥DE，即可求得DE的长度，从而可得答案.
【详解】
解：过点B作BE∥AC，且BE＝AC，连接DE，CE，
因为AC⊥AB，所以BE⊥AB，
因为BD⊥AB，BD∩BE＝B，所以∠DBE是二面角α-l-β的平面角，
且AB⊥平面DBE，所以AB⊥DE，所以CE⊥DE，
因为AB＝4，CD＝8，
所以DE＝＝＝4，
所以cos∠DBE＝＝＝.
故选：B.
6．C
由题设，若四面体PABC为“鳖臑”，应用线面、面面垂直的判定、性质只需AE⊥EF、AE⊥PC、EF⊥PC，即PAEF也是“鳖臑”，即可保证直角三角形最多，进而确定个数即可.
【详解】
为使题图中有尽可能多的直角三角形，设四面体PABC为“鳖臑”，
其中PA⊥面ABC，BC面ABC，则PA⊥BC，
又AB⊥BC，ABPA = A，
∴CB⊥面PAB.
若AE⊥PB，EF⊥PC：
由CB⊥面PAB，BC面PBC，则面PAB⊥面PBC，又AE面PAB，面PAB∩面PBC=PB，
∴AE⊥面PBC，EF、PC面PBC，则AE⊥EF且AE⊥PC，又EF⊥PC，
∴四面体PAEF也是“鳖臑”，则10个三角形全是直角三角形，
故选：C.
7．B
作出图形，设O为正方形ABCD的中心，E为CD的中点，先证明是侧面与底面所成的角，再设，，，由求解.
【详解】
如图所示：
O为正方形ABCD的中心，E为CD的中点，
则，
所以平面PEO，
所以，
所以是侧面与底面所成的角，
则，
设，，，
由题意得：，
解得.
故选：B.
8．D
①,如图所示，证明，,,即得结论正确；
②,如图所示，证明,即得结论正确；
③,如图所示，证明在的平分线上，所以点是的内心,即得结论正确；
④,如图所示，证明,点是的垂心,即得结论正确.
【详解】
①,如图，由题得，因为平面,所以,
因为平面,所以平面,所以,同理,所以H在的平分线上，所以该结论正确；
②，如图所示，平面, O是的外心,所以该结论正确；
③,如图所示，由题得，同①方法可证在的平分线上，同理可证在的平分线上，所以点是的内心,所以该结论正确；
④，如图所示，点，，两两垂直，且，所以,
因为平面,所以平面,所以, 设是中点，所以,又，平面,所以平面,所以,同理,所以点是的垂心.又，所以点是的中心.所以该结论正确.
故选：D
9．C
利用线面垂直的性质定理进行判断.
【详解】
由于垂直于同一平面的两直线平行，故当直线平面，直线平面时，直线与直线平行.
故选：C.
10．B
由已知PA=AD，可把四棱锥扩充为正方体，再正方体上作出异面直线与所成的角，并求角的大小.
【详解】
因为四棱锥中，底面，，
所以PA=AD，又底面为正方形，所以四棱锥可扩充为正方体，如图示：

连结PE、BE，，则PE∥AC，所以∠EPB（或其补角）为异面直线与所成的角.
而△EPB为正三角形，所以∠EPB=.
故选：.
思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：
(1)平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
(2)认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；
(3)计算：求该角的值，常利用解三角形；
(4)取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
11．D
对A,根据中位线的性质判定即可.
对B,利用平面几何方法证明，再证明平面即可.
对C,根据三棱锥以为底,且同底高不变,故体积不变判定即可.
对D,根据与平面有交点判定即可.
【详解】
在A中,因为分别是的中点,所以,故A正确;
在B中,因为,,故,
故.故,又有,
所以平面,故B正确；
在C中,三棱锥以面为底,则高是定值,所以三棱锥的体积为定值,故C正确.
在D中,与平面有交点,所以不存在点,使得平面平面,故D错误.
故选：D.
方法点睛：本题考查空间点线面的位置关系，考查棱锥的体积，考查线面垂直的判定定理的应用，判断线面垂直的方法主要有：
1.线面垂直的判定定理，直线与平面内的两条相交直线垂直；
2.面面垂直的性质定理，若两平面互相垂直，则在一个平面内垂直于交线的垂直于另一个平面；
3.线面垂直的性质定理，两条平行线中有一条与平面垂直，则另一条也与平面垂直；
4.面面平行的性质定理，直线垂直于两平行平面之一，必然垂直于另一个平面．
12．C
【详解】
分析：先建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积求向量夹角，再根据向量夹角与线线角相等或互补关系求结果.
详解：以D为坐标原点，DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则,所以,
因为，所以异面直线与所成角的余弦值为，选C.
点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.
13．
根据面面垂直的性质定理得出DC⊥平面ABC，进而找到三角形ABC的外心O1与三角形BCD的外心O2，然后过O1作平面ABC的垂线，过O2作平面BCD的垂线，两条垂线的交点即为外接球心，最后解出答案.
【详解】
如图，因为平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，而DC⊥BC，所以DC⊥平面ABC，
取正三角形ABC的外心（也为重心）O1，过O1引平面ABC的垂线，
取直角三角形BCD的外心O1，则O1为BD中点，过O2引平面BCD的垂线，设两条垂线交于O，则O为三棱锥的A-BCD的外接球心.
取BC中点D，连接AO1,OO2,O2D,O1D，因为分别为的中点，所以∥DC，且，所以平面ABC，因为平面ABC，所以∥.
易知三点共线，且AD⊥BC，又因为平面ACD⊥平面ABC，且交于BC，所以AD⊥平面BCD，而OO2⊥平面BCD，所以O1D∥OO2，于是四边形是矩形，且.
连接，在正三角形ABC中，其边长为3，所以，
由勾股定理：外接球半径，所以外接球体积.
故答案为：.
多面体外接球心比较常见的一种找法是选取多面体的两个特殊面（通常为等边三角形、等腰三角形和直角三角形），然后找到两个面的外心，进而通过外心引各自所在面的垂线，垂线的交点即为球心，然后构造几何图形求出外接球半径即可，本题比较典型，可以作为范题进行总结.
14．
根据给定条件求出三棱锥外接球半径及球心O到平面PAB的距离即可推理计算作答.
【详解】
令三棱锥外接球球心为O，正所在平面截球面所得小圆圆心为，连接，如图，
则平面ABC，而正边长为2，即有，
因平面ABC，则三棱锥外接球球心为O在过线段PA中点，且垂直于线段PA的平面内，
显然过线段PA中点垂直于线段PA的平面与平面ABC平行，则，
于是得球O的半径，
取PB中点，AB中点D，连接，
因是直角三角形，则是平面PAB截球O所得截面小圆圆心，因此，平面PAB，
而，，则平面ABC，必有，，于是得四边形是平行四边形，，
由球面的性质知，点Q是经过点的球面直径端点且球心在点与Q之间时，点Q到平面PAB的距离最大，
此最大距离为，
所以点Q到平面PAB的距离的最大值为.
关键点睛：涉及几何体的外接球问题，根据给定条件结合球的截面小圆性质确定出球心位置是解题的关键.
15．
是的外心，过在平面内作，可证得平面，三棱锥的外接球的球心在上，为外接球球心，则显然也是的外心，由正弦定理求得外接圆半径即可得结论．
【详解】
如图，过在平面内作，
因为平面РВС平面АВС，平面РВС平面АВС，所以平面，
又是的外心，所以三棱锥的外接球的球心在上，设为外接球球心，则显然也是的外心，
中，，，
则，，
所以外接球表面积为．
故答案为：．
16．
取的中点，连接，证明平面平面，平面即平面，然后分别取的中点，证明平面平面，可得，，可得异面直线与所成的角即与所成的角，由余弦定理可得答案.
【详解】
由直四棱柱的所有棱长均相等，，所以是菱形，
连接，，且，，
所以，，因为平面，平面，
所以，且，所以平面，
取的中点，连接，连接交与，所以，
且是的中点，所以平面，所以平面平面，
又平面，所以平面即平面，
分别取的中点，连接交与点，即为的中点，
所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，
平面，平面，所以平面，
又因为，平面，平面，
所以平面，又，
所以平面平面，且平面平面，
平面平面，
所以，，
所以异面直线与所成的角即与所成的角，设，
则直四棱柱的所有棱长均为2，由，
所以，，
且，
由余弦定理得.
故答案为：.
本题考查了异面直线所成的角，关键点是作出平面及找出异面直线所成的角，考查了学生分析问题、解决问题的能力及空间想象力.
17．③
对于①，由平面，得；对于②，由，得平面，利用线面平行的性质定理证得结论；对于③，异面直线，所成的角不一定为定值；对于④，到平面的距离是定值，是定值，从而以为顶点的四面体的体积为定值．
【详解】
解：对于①，平面，平面，，故①正确；
对于②，，在，，
平面，平面，平面，在平面ABCD内作，∵，则,则共面，平面,则平面与平面的交线为,即平面与平面的交线平行于直线；故②正确；
对于③，当点在处，为的中点时，
由可知异面直线，所成的角是；
当在上底面的中心时，在的位置，
异面直线，所成的角是，两个角不相等，
从而异面直线，所成的角不为定值，故③错误；
对于④，到平面的距离是定值，
是定值，
以为顶点的四面体的体积为定值，故④正确．
故选：③．

18．.
过作于， 过作于，得到为正四棱台的斜高，
可得答案.
【详解】
如图，设、分别为上、下底面的中心，则平面，
过作于，所以，
所以平面，，
过作于，连接，且，
所以平面，，
则为正四棱台的斜高，
由题意知，
，
又，
∴高，
∴．
本题考查了正四棱台侧面积的求法，关键点是作出正四棱台的斜高，考查了学生的空间想象力和计算能力.
19．(1)；(2)证明见解析.
（1）先证明为等腰直角三角形，然后利用体积公式可得三棱锥的体积；
（2）将所给的几何体进行补形，从而把线线垂直的问题转化为证明线面垂直，然后再由线面垂直可得题中的结论.
【详解】
（1）由于，，所以，
又AB⊥BB1，，故平面，
则，为等腰直角三角形，
，.
（2）由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体，如图所示，取棱的中点，连结，
正方形中，为中点，则，
又，
故平面，而平面，
从而.
求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．对于空间中垂直关系（线线、线面、面面）的证明经常进行等价转化.
20．(1)延长，交的延长线于点N；证明见解析；
(2).
（1）延长，交的延长线于点N，由平面的基本性质可得点N即为所求，然后利用棱柱的性质及线面平行的判定定理即证；
（2）取线段的中点G，由题可得是三棱锥的高，然后利用三角形面积公式及棱锥的体积公式即求.
(1)
延长，交的延长线于点N．
∵，平面，
∴平面．
又∵，∴平面，点N即为所求．
连接，交直线于点O，连接OM．
∵，∴．
又∵M为线段的中点，
∴，即M为线段NB的中点．
在三棱柱中，四边形为平行四边形，
∴O为线段中点，
∴OM为中位线，
∴．
又∵平面，平面，
∴平面．
(2)
取线段的中点G，连接．
由条件知，为等边三角形，
∴，且．
∵平面平面，平面平面，平面，
∴平面，即是三棱锥的高．
又∵，∴．
由（1）知，，，
∴，
∴四面体的体积．
21．（1）证明见解析；（2）M点在上靠近P点的四等分点处.
（1）连接，由，可证明，，从而得平面，得证线线垂直；
（2）设设，则，根据棱锥的体积公式，利用体积法得出结论，由，，可得值．
【详解】
（1）连接且E是的中点，.
又平面平面，平面平面平面.
平面平面.
又为菱形，且分别为棱的中点，.
，又平面；
平面.
（2）如图，连接，
设，则，
，
，则，又.
.
解得，即M点在上靠近P点的四等分点处.
方法点睛：本题考查由线面垂直证明线线垂直，考查由体积法求线段的比值．若是棱锥棱上一点，则．三棱锥求体积时可以换底，这样求体积比较灵活简便．
答案第1页，共2页
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