10.1随机事件与概率 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 10.1 随机事件与概率 同步练习
一、单选题
1．把分别写有1，2，3，4的四张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，且若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么2，3连号的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．2021年某省新高考将实行“”模式，即语文、数学、外语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式.某同学已选了物理，记事件：“他选择政治和地理”，事件：“他选择化学和地理”，则事件与事件（ ）
A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件
C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
3．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．一个袋子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，则摸出白球个数多于黑球个数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”．在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美．如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作．数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202)被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）．数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个，则在三位数的回文数中，出现奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（ ）
A．62% B．56%
C．46% D．42%
7．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是
A．“至少一个红球”与“至少一个黄球” B．“至多一个红球”与“都是红球”
C．“都是红球”与“都是黄球” D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”
8．《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马劣于齐王的上等马，优于齐王的中等马，田忌的中等马劣于齐王的中等马，优于齐王的下等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现两人进行赛马比赛，比赛规则为：每匹马只能用一次，每场比赛双方各出一匹马，共比赛三场．每场比赛中胜者得1分，否则得0分．若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马，则比赛结束时，田忌得2分的概率为（ ）．
A． B． C． D．
9．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
10．下列命题正确的是（ ）
A．已知命题，则
B．“是“直线与直线垂直”的充分不必要条件
C．若随机事件互斥，且发生的概率均不为且则实数的取值范围为
D．在跳水比赛中共有7位评委分别给选手打分，在评定该选手的成绩时，从7个原始评分中去掉1个最高分 1个最低分，得到5个有效评分.则5个有效评分与7个原始评分相比，中位数 平均数 方差中，不变的数字特征是平均数
11．高三（1）班举行英语演讲比赛，共有六名同学进入决赛，在安排出场顺序时，甲排在后三位，且丙、丁排在一起的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：先请全校名同学每人随机写下一个都小于的正实数对；再统计两数能与构成钝角三角形三边的数对的个数；最后再根据统计数估计的值，那么可以估计的值约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为__________.
14．从集合中任意选取一个元素作为球的半径，则球的表面积不小于的概率为______.
15．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数记为，则的概率为________．
16．一个电路板上装有甲、乙两根熔丝，甲熔断的概率为0.85，乙熔断的概率为0.74，两根同时熔断的概率为0.63，则至少有一根熔断的概率为________.
17．古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式”.在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》（如图）以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，不论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日（20200202）被称为世界完全对称日（公历纪年日期中数字左右完全对称的日期）.数学上把20200202这样的对称数叫回文数，两位数的回文数共有9个（11，22，…，99），则在三位数的回文数中，出现偶数的概率为_____________.
三、解答题
18．国家规定每年的月日以后的天为当年的暑假.某钢琴培训机构对位钢琴老师暑假一天的授课量进行了统计，如下表所示：
授课量（单位：小时）
频数
培训机构专业人员统计近年该校每年暑假天的课时量情况如下表：
课时量（单位：天）
频数
（同组数据以这组数据的中间值作代表）
（1）估计位钢琴老师一日的授课量的平均数；
（2）若以（1）中确定的平均数作为上述一天的授课量.已知当地授课价为元/小时，每天的各类生活成本为元/天；若不授课，不计成本，请依据往年的统计数据，估计一位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元的概率.
19．某市为遏制新型冠状病毒肺炎的传播，针对不同的风险区，施行了不同的封控政策.为保障封控区人民群众日常生活和核酸检测的顺利进行，现面向全市招募志愿者，从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分成5组，得到的频率分布直方图如图所示.
(1)求a的值；
(2)若从第2，4组中用分层抽样的方法抽取5名志愿者，再从这5名志愿者中抽取2名志愿者负责某中风险小区的日常生活物资的运输工作，求这2名志愿者来自同一年龄分组的概率.
20．手机完全充满电量，在开机不使用的状态下，电池靠自身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为手机的待机时间.为了解，两个不同型号手机的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取，两个型号的手机各5台，在相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号 1 2 3 4 5
A型待机时间（h） 120 125 122 124 124
B型待机时间（h） 118 123 127 120
已知，两个型号被测试手机待机时间的平均值相等.
（1）求的值；
（2）判断，两个型号被测试手机待机时间方差的大小（结论不要求证明）；
（3）从被测试的手机中随机抽取，型号手机各1台，求至少有1台的待机时间超过122小时的概率.
（注：个数据的方差，其中为数据的平均数）
21．11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.
（1）求P（X=2）；
（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据列举法，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件个数之比即为所求概率.
【详解】
分三类情况，第一类1，2连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
第二类2，3连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
第三类3，4连号，则甲、乙、丙三个人拿到的卡片可能为，，，，，，有6种分法；
共有18种分法，
则2，3连号的概率为.
故选：B.
本题主要考查求古典概型的概率，属于基础题型.
2．A
事件与事件不能同时发生，是互斥事件，他还可以选择化学和政治，不是对立事件，得到答案.
【详解】
事件与事件不能同时发生，是互斥事件
他还可以选择化学和政治，不是对立事件
故答案选A
本题考查了互斥事件和对立事件，意在考查学生对于互斥事件和对立事件的理解.
3．B
利用古典概型的概率求解.
【详解】
解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，
则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，
记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B”为事件，则{（下，下，右）}，由古典概型的概率公式可知．
故选：B．
4．C
根据古典概型的概念及计算公式直接计算即可.
【详解】
一个袋子中装有大小形状完全相同的个白球和个黑球，从中一次摸出个球，
基本事件总数，
摸出白球个数多于黑球个数包含的基本事件个数，
则摸出白球个数多于黑球个数的概率为，
故选：C.
5．C
列出所有三位数的回文数即可求得结果.
【详解】
三位数的回文数有：
101 111 121 131 141 151 161 171 181 191
202 212 222 232 242 252 262 272 282 292
303 313 323 333 343 353 363 373 383 393
404 414 424 434 444 454 464 474 484 494
505 515 525 535 545 555 565 575 585 595
606 616 626 636 646 656 666 676 686 696
707 717 727 737 747 757 767 777 787 797
808 818 828 838 848 858 868 878 888 898
909 919 929 939 949 959 969 979 989 999
共有90个，其中奇数有50个，故出现奇数的概率为
故选：C
6．C
记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，然后根据积事件的概率公式可得结果.
【详解】
记“该中学学生喜欢足球”为事件，“该中学学生喜欢游泳”为事件，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件，
则，，，
所以
所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为.
故选：C.
本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.
7．B
A选项“至少一个红球”与“至少一个黄球”可以同时发生；B选项说法正确；
C选项仅仅是互斥而不是对立；D选项“至少一个红球”与“至多一个黄球”可以同时发生.
【详解】
从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，
各种情况为：两红，一红一黄，两黄，三种情况，
“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至少一个黄球”即一红一黄或两黄，所以这两个事件不是对立事件；
“至多一个红球”即一黄一红或两黄，与“都是红球”互为对立事件；
“都是红球”与“都是黄球”仅仅是互斥事件；
“至少一个红球”即一红一黄或两红，“至多一个黄球”即一红一黄或两红，不是对立事件.
故选：B
此题考查对立事件的辨析，关键在于弄清每个选项中的事件的本质意义.
8．C
根据题意，设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a, b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，用列举法列举齐王与田忌赛马的情况，进而可得田忌胜出的情况数目，进而由等可能事件的概率计算可得答案.
【详解】
设齐王的上，中，下三个等次的马分别为a，b，c，田忌的上，中，下三个等次的马分别为记为A，B，C，双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛，
所有的可能为:
Aa，Bb，Cc，田忌得0分;
Aa，Bc，Cb，田忌得1分
Ba，Ab，Cc，田忌得1分
Ba，Ac，Cb，田忌得1分;
Ca，Ab，Bc，田忌得2分，
Ca，Ac，Bb，田忌得1分
田忌得2分概率为，
故选：C
9．D
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】
两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
10．B
根据全称命题的否定可判断选项A，根据充分不必要条件的定义可判断选项B，根据概率的性质列不等式可判断选项C，根据中位数的定义可判断选项D，进而可得正确选项.
【详解】
对于选项A：命题，则，故选项A不正确；
对于选项B：直线与直线垂直则：
即可得：或，
所以“是“直线与直线垂直”的充分不必要条件，故选项B正确；
对于选项C：由题意可得：，解得：，实数的取值范围为故选项C不正确；
对于选项D：从7个原始评分中去掉1个最高分 1个最低分，得到5个有效评分.则5个有效评分与7个原始评分相比，中位数 平均数 方差中，不变的数字特征是中位数，故选项D不正确，
故选：B.
11．B
利用分类分步计数，结合捆绑法、排列组合数求甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法数，再由全排列求六位同学任意安排的方法数，应用古典概率的求法求概率即可.
【详解】
1、将除甲丙丁外的其它三名同学作排列有种；
2、丙丁捆绑，插入三名同学成排的4个空中，分两种情况：
当插入前2个空有种，再把甲插入五名同学所成排的5个空中后3个空有种；
当插入后2个空有种，再把甲插入有种；
所以，甲排在后三位且丙、丁排在一起的安排方法有种，
而六位同学任意安排的方法数为种，
所以甲排在后三位且丙、丁排在一起的概率为.
故选：B
12．D
由试验结果知对0～1之间的均匀随机数 ，满足，面积为1，再计算构成钝角三角形三边的数对，满足条件的面积，由几何概型概率计算公式，得出所取的点在圆内的概率是圆的面积比正方形的面积，即可估计的值．
【详解】
解：根据题意知，名同学取对都小于的正实数对，即，
对应区域为边长为的正方形，其面积为，
若两个正实数能与构成钝角三角形三边，则有，
其面积；则有，解得
故选：．
本题考查线性规划可行域问题及随机模拟法求圆周率的几何概型应用问题. 线性规划可行域是一个封闭的图形，可以直接解出可行域的面积；求解与面积有关的几何概型时，关键是弄清某事件对应的面积，必要时可根据题意构造两个变量，把变量看成点的坐标，找到试验全部结果构成的平面图形，以便求解.
13．
根据题中条件，列举出总的基本事件，以及满足条件的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.
【详解】
从甲、乙、丙三人中任选两名代表，所包含的基本事件有(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)共三个，其中甲被选中包含(甲，乙)，(甲，丙)共两个基本事件，故甲被选中的概率为.
故答案为：.
14．
根据题意若要球的表面积不小于，则，即，从集合中数出满足题意的数值即可得解.
【详解】
设球的半径为，
由，得，
故可取共5个，
故所求概率为.
故答案为：.
15．##
确定样本空间和“”包含的样本点个数，再利用古典概型的概率公式进行求解.
【详解】
抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次出现的点数记为，
第二次出现的点数记为，则样本空间Ω共个样本点；
这36个样本点发生的可能性是相等的．
设事件A为“”，则事件A包含的样本点
有(2，1)，(3，1)，(4，1)，(5，1)，(6，1)，
(4，2)，(5，2)，(6，2)，(6，3)，共9个；
所以．
故答案为：.
16．0.96
根据事件之间的关系，若A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.根据概率公式，即可得解.
【详解】
设A＝“甲熔丝熔断”，B＝“乙熔丝熔断”，
则“甲、乙两根熔丝至少有一根熔断”为事件A∪B.
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.85＋0.74－0.63＝0.96.
故答案为：0.96
17．
首先求出所有的三位数回文数的个数，再求出偶数的三位数回文数的个数，最后根据古典概型的概率公式求解即可.
【详解】
由题意可知，所有的三位数中回文数有：
,, 共90个，
其中偶数的回文数共有40个，
根据古典概型的概率公式得：，
故答案为：.
有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.
18．（1）小时；（2）.
（1）将每组的中点值乘以频数，相加后除以可得出位老师暑假一日的授课量的平均数；
（2）设一位钢琴老师每年暑假天的授课天数为，计算出每位钢琴老师每日的利润，结合每位钢琴老师天暑假授课利润不少于万元求得的取值范围，再结合课时量频数表可得出所求事件的概率.
【详解】
（1）估计位老师暑假一日的授课量的平均数为小时；
（2）设每年暑假天的授课天数为，则利润为.
由，得.
一位老师暑假利润不少于万元，即授课天数不低于天，
又天暑假内授课天数不低于天的频率为.
预测一位老师天暑假授课利润不少于万元的概率为.
本题考查频数分布表的应用，考查平均数与概率的计算，考查数据处理能力，属于基础题.
19．(1)
(2)0.4
(1)根据频率分布直方图直接计算即可；
(2)根据列举法列出所有可能的基本事件，进而得出2名志愿者来自同一年龄分组的概率.
(1)
∵，
∴.
(2)
∵，
∴从第2组中抽取2名志愿者，记为A，B；从第4组中抽取3名志愿者，记为c，d，e.
从这5名志愿者中抽取2名志愿者的所有基本事件为：，共10种，
其中2名志愿者来自同一年龄分组的有：，共4种，
∴所求概率为是.
20．（1）127；（2）；（3）.
(1)先根据平均数公式求平均数，再根据等量关系求a；
（2）根据方差公式以及标准差公式求结果；
（3）先确定总事件数，再求对立事件：两台待机时间不超过122小时的事件数，进而确定至少有1台的待机时间超过122小时的事件数，最后根据古典概型概率公式求概率.
【详解】
（1）
由，解得.
（2）设，两个型号被测试手机的待机时间的方差依次为，，
则.
（3）设型号手机为，，，，；型号手机为，，，，，“至少有1台的待机时间超过122小时”为事件.
从被测试的手机中随机抽取，型号手机各1台，不同的抽取方法有25种.
抽取的两台手机待机时间都不超过122小时的选法有：
，，，，共4种.
因此，，所以.
所以至少有1台的待机时间超过122小时的概率是.
本题主要考查了平均值，方差，考查了古典概型的求法，考查了运算能力，属于中档题.
21．（1）；（2）0.1
(1)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果；
(2)本题首先可以通过题意推导出所包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”，然后计算出每种事件的概率并求和即可得出结果．
【详解】
(1)由题意可知，所包含的事件为“甲连赢两球或乙连赢两球”
所以
(2)由题意可知，包含的事件为“前两球甲乙各得分，后两球均为甲得分”
所以
本题考查古典概型的相关性质，能否通过题意得出以及所包含的事件是解决本题的关键，考查推理能力，考查学生从题目中获取所需信息的能力，是中档题．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页