10.2事件的相互独立性 同步练习（Word版含解析）

必修第二册 10.2 事件的相互独立性 同步练习
一、单选题
1．若，为互斥事件，，，则（ ）
A．0.1 B．0.3
C．0.4 D．0.7
2．下列事件A,B是独立事件的是(　　)
A．一枚硬币掷两次,A=“第一次为正面向上”,B=“第二次为反面向上”
B．袋中有两个白球和两个黑球,不放回地摸两球,A=“第一次摸到白球”,B=“第二次摸到白球”
C．掷一枚骰子,A=“出现点数为奇数”,B=“出现点数为偶数”
D．A=“人能活到20岁”,B=“人能活到50岁”
3．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有一个红球与都是黑球 B．至少有一个黑球与都是黑球
C．至少有一个黑球与至少有1个红球 D．恰有1个黑球与恰有2个黑球
5．如果事件A，B互斥，那么（ ）
A．A∪B是必然事件 B．∪是必然事件
C．与一定互斥 D．与一定不互斥
6．掷一个骰子的试验，事件表示“出现小于5的偶数点”，事件表示“出现小于5的点数”.若表示的对立事件，则一次试验中，事件发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．某同学上学的路上有4个红绿灯路口，假如他走到每个红绿灯路口遇到绿灯的概率为，则该同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为（ ）
A．0.12 B．0.88 C．0.28 D．0.42
9．两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是
A． B． C． D．
10．如图，“红旗-9”在国内外都被认为属于第三代防空导弹系统，其杀伤空域大，抗干扰和抗多目标饱和攻击能力强，导引系统先进（有两级指挥管制体制），最高速度4.2马赫，最大射程为200公里，射高0.5至30公里，主要攻击高空敌机或导弹，是我国高空防空导弹的杰出代表.现假设在一次实战对抗演习中，单发红旗-9防空导弹对敌方高速飞行器的拦截成功率为0.8，则两发齐射（是否成功拦截互不干扰），敌方高速飞行器被拦截的概率为（ ）
A．0.96 B．0.88 C．1.6 D．0.64
11．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率均为，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋(表示事件B的对立事件)发生的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．设A、B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是（ ）
A．事件A B，则P（A）＜P（B）
B．若A和B互斥，则A和B一定相互独立
C．若A和B相互独立，则A和B一定不互斥
D． P（A）+P（B）≤1
13．甲射击命中目标的概率是，乙命中目标的概率是，丙命中目标的概率是.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为
A． B．
C． D．
15．出租车司机从饭店到火车站途中经过六个交通岗,假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的,并且概率都是,则这位司机遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为
A． B． C． D．
二、填空题
16．甲，乙，丙三个同学独立求解同一道数学题，他们各自解出该数学题的概率分别为，则这道数学题被解出来的概率为_________．
17．已知独立，且，则_____．
18．已知、是随机事件，则下列结论中正确的是______．（填序号）
①若、是互斥事件，则；
②若事件、是互斥事件，则；
③若、是对立事件，则、是互斥事件；
④事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率．
三、解答题
19．连续掷一颗骰子两次，观察掷得的点数．设A：第一次掷得的点数为1，：第一次掷得的点数为1，第二次掷得的点数为j，B：两次掷得的点数之和为6，C：第二次掷得的点数比第一次的大3．
(1)写出下列事件的对应子集：
①A、B至少有一个发生； ②A、B同时发生．
(2)分别判断A与B、A与C、B与C是否为互斥事件？
(3)讨论与A的关系．
20．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是，乙能解决的概率是，2人试图独立地在半小时内解决它，求：
（1）2人都未解决的概率；
（2）问题得到解决的概率.
21．习近平总书记指出:“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态.”在2020年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用.某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分（满分分）从低到高将心理健康状况分为四个等级:
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图.已知调查评分在的市民为人.
（1）求的值及频率分布直方图中的值；
（2）在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导.据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为 “良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少
（3）心理调查机构与该市管理部门设定的预案是:以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂．根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数=(问卷调查评分/100)
22．某公司的录用考试有三道题目，张明和李华答对每道题目的概率都是.每位应试者都有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则考试通过，否则就一直抽题到第三次为止.张明和李华两人对每道题目的回答都是相互独立 互不影响的，并且约定两人都知道结果时一起离开考场.
（1）若，求第二轮考试结束时，张明和李华一起离开考场的概率；
（2）如果张明和李华都通过考试的概率大于0.81，求的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
根据互斥事件的性质即可求出.
【详解】
，为互斥事件，
.
故选：B.
2．A
利用相互独立事件的概念，对四个选项逐一分析排除，从而得出正确选项.
【详解】
对于A选项，两个事件发生，没有关系，故是相互独立事件.对于B选项，事件发生时，影响到事件，故不是相互独立事件.对于C选项，由于投的是一个骰子，是对立事件，所以不是相互独立事件.对于D选项，能活到岁的，可能也能活到岁，故不是相互独立事件.综上所述，本小题选A.
本小题主要考查相互独立事件的概念以及相互独立事件的识别，属于基础题.
3．A
根据题意，甲不输即为甲赢或和棋，即可得答案.
【详解】
由题意得：甲不输的概率为
故选：A．
4．D
根据互斥事件以及对立事件的定义逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.
【详解】
从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，可能为：1红1黑、2红、2黑，
对于A：至少有一个红球包括1红1黑、2红，与都是黑球是对立事件，不符合题意，故选项A不正确；
对于B：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，与都是黑球不是互斥事件，不符合题意，故选项B不正确；
对于C：至少有一个黑球包括1红1黑、2黑，至少有1个红球包括1红1黑、2红，这两个事件不是互斥事件，不符合题意，故选项C不正确；
对于D：恰有1个黑球与恰有2个黑球是互斥事件而不是对立事件，符合题意，故选项D正确；
故选：D.
5．B
利用集合法判断.
【详解】
如图所示：
因为事件A，B互斥，
所以是必然事件，
故选：B．
6．C
首先根据题意得到意，，，根据与互斥，利用互斥事件加法公式即可得到答案.
【详解】
掷一个骰子的试验有6种可能结果．
依题意，，，
因为表示“出现5点或6点”的事件，表示“出现小于5的偶数点”，
所以与互斥，
故.
故选：C
7．D
由题意，遇绿灯服从二项分布，结合互斥事件概率的求法，即可求同学在上学的路上至少遇到2次绿灯的概率.
【详解】
4次均不是绿灯的概率为，
3次不是绿灯的概率为，
∴至少遇到2次绿灯的概率为.
故选：D.
8．D
先分别求出甲地不下雨的概率，和乙地不下雨的概率，再根据独立事件的概率求解.
【详解】
因为甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，
所以甲地不下雨的概率为0.7，乙地不下雨的概率为0.6，
所以甲、乙两地都不下雨的概率为
故选：D
本题主要考查独立事件的概率，对立事件的概率，属于基础题.
9．D
男女生人数相同可利用整体发分析出两位女生相邻的概率，进而得解.
【详解】
两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是．故选D．
本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养．采取等同法，利用等价转化的思想解题．
10．A
根据对立事件及相互独立事件的概率公式计算可得；
【详解】
解：依题意敌方高速飞行器被拦截的概率为
故选：A
11．C
由题意知试验发生包含的所有事件共有6种，事件和事件是互斥事件，看出事件和事件包含的基本事件数，根据互斥事件和古典概型概率公式得到结果．
【详解】
解：事件表示“小于5的点数出现”，
的对立事件是“大于或等于5的点数出现”，
表示事件是出现点数为5和6．
事件表示“小于5的偶数点出现”，
它包含的事件是出现点数为2和4，
，
．
故选：C．
12．C
根据事件的包含关系，对立事件与相互独立事件的概率与性质进行判断．
【详解】
若事件B包含事件A，则P（A）≤P（B），故A错误；
若事件A、B互斥，则P（AB）＝0，
若事件A、B相互独立，则P（AB）＝P（A）P（B）＞0，故B错误，C正确；
若事件A，B相互独立，且P（A），P（B），则P（A）+P（B）＞1，故D错误．
故选：C．
本题考查概率的性质，属于基础题.
13．B
先由相互独立事件的概率乘法公式，求出目标不被击中的概率，再由对立事件概率公式，即可得解.
【详解】
由于甲、乙、丙射击一次命中目标的概率分别为，，，
三人同时射击目标一次，则目标不被击中的概率为：，
由对立事件的概率公式可得目标被击中的概率为：.
故选：B.
14．B
本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解．
【详解】
设其中做过测试的3只兔子为，剩余的2只为，则从这5只中任取3只的所有取法有，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有共6种，
所以恰有2只做过测试的概率为，选B．
本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．
15．B
根据相互独立事件概率乘法公式，计算出所求概率.
【详解】
因为这位司机在第一,二个交通岗未遇到红灯,在第三个交通岗遇到红灯之间是相互独立的,且遇到红灯的概率都是,所以未遇到红灯的概率都是,所以遇到红灯前已经通过了两个交通岗的概率为.
故选：B
本小题主要考查相互独立事件概率计算，属于基础题.
16．
求出这道数学题没有被解出来的概率再由对立事件的概率公式可得答案.
【详解】
设这道数学题被解出来的事件为，
则这道数学题被解出来的概率为
.
故答案为：.
17．
由事件的独立性，根据对立事件的概率求解.
【详解】
因为独立，
所以．
故答案为：
18．②③④
利用互斥事件的定义可判断①的正误；利用互斥事件的概率加法公式可判断②的正误；利用对立事件的定义可判断③的正误；分析“事件、至少有一个发生”的构成，可判断④的正误.
【详解】
对于①，若、是互斥事件，，则，①错；
对于②，若事件、是互斥事件，则，②对；
对于③，若、是对立事件，则、是互斥事件，③对；
对于④，“事件、至少有一个发生”包含“事件、恰好发生一个”和“事件、同时发生”，
所以，事件、至少有一个发生的概率不小于、恰好有一个发生的概率，④对.
故答案为：②③④.
19．(1)① ②
(2)A与B不互斥、A与C不互斥、B与C互斥
(3)
（1）根据和事件与积事件的定义即可求解；（2）根据互斥事件的定义即可求解；（3）根据和事件的定义即可求解.
(1)
解：①根据和事件的定义可得，A、B至少有一个发生为；②根据积事件的定义可得，A、B同时发生为；
(2)
解：因为，，故A与B不互斥，A与C不互斥，
又，,
所以，所以B与C互斥；
(3)
解：由题意，.
20．（1）；（2）
（1）由两个独立事件同时发生的概率等于两个事件分别发生的概率乘积，即可求出2人都未解决的概率；
（2）根据问题能得到解决的对立事件为两人都未解决问题，再根据对立事件概率和等于，即可求解.
【详解】
解：（1）由题意知：甲、乙两人都未能解决的概率为：；
（2）问题能得到解决，即至少有人能解决问题，
其对立事件为两人都未解决问题，
问题得到解决的概率为：.
21．（1）2000，；（2）；（3）只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动，理由见解析.
（1）由调查评分在的市民为人及频率可得样本容量；根据频率和为1可得t；
（2）由（1）知，根据调查评分在有人，有人，计算出
心理等级均达不到良好的概率，由对立事件的概率可得答案；
（3）由频率分布直方图估计市民心理健康问卷调查的平均评分及平均值与0.8作比较可得答案.
【详解】
（1）由已知条件可得，每组的纵坐标的和乘以组距为1，
所以，解得.
（2）由（1）知，
所以调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，
则调查评分在有人，有人，
因为经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
所以选出的人经过心理疏导后，
心理等级均达不到良好的概率为，
所以经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为良好的概率为.
（3）由频率分布直方图可得，
，
估计市民心理健康问卷调查的平均评分为，
所以市民心理健康指数平均值为，
所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.
本题考查了频率分布直方图的应用及相互独立事件概率的求解，由频率分布直方图中是没有样本数据的，平均值等于每个小长方形面积乘每组横坐标的中点，然后相加求和，且所有矩形的面积之和为1，考查了学生分析数据处理问题的能力.
22．（1）；（2）.
（1）设张明和李华第轮考试答对的事件分别为，，记“第二轮考试结束时，张明和李华一起离开考场”为事件A，利用求解即可；
（2）记“张明和李华都通过考试”为事件，利用求解即可.
【详解】
（1）设张明和李华第轮考试答对的事件分别为，，其中，2，3，
记“第二轮考试结束时，张明和李华一起离开考场”为事件，
则
当时，.
（2）记“张明和李华都通过考试”为事件，
则，
即，
解得，所以的取值范围是.
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