7.2.3 三角函数的诱导公式 教案

第七章　三角函数
7.2.3 三角函数的诱导公式
本节主要内容是三角函数的诱导公式，其推导过程中涉及到对称变换，充分体现对称变换思想在数学中的应用。诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及特殊位置的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用。
课程目标 学科素养
1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用. 2.理解诱导公式的推导过程. 3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题． 1.数学抽象：理解六组诱导公式； 2.逻辑推理： “借助单位圆中三角函数的定义推导出六组诱导公式； 3.数学运算：利用六组诱导公式进行化简、求值与恒等式证明.
重点：推导出六组的诱导公式，能正确运用诱导公式将任意角的三角函数化为锐角的三角函数；
难点：解决有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题．
1．已知α∈，sin α＝，则cos α＝________.
答案：－
2．已知sin α＝，α∈，则tan α＝________.
答案：－
3．若tan α＝2，则＋cos2α＝________.
解析：＋cos2α＝＋＝＋＝.
答案：
4．化简：cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝________.
解析：cos4α＋sin2αcos2α＋sin2α＝cos2α(cos2α＋sin2α)＋sin2α＝cos2α＋sin2α＝1.
答案：1
知识点一 函数名不变
诱导公式一
思考　当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的终边有什么特点？它们的三角函数值呢？
答案　它们的终边重合．由三角函数的定义知，它们的三角函数值相等．
梳理　诱导公式一
sinα＋k·2π＝sin α， cosα＋k·2π＝cos α， tanα＋k·2π＝tan α， 其中k∈Z.
诱导公式二
思考　角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？
答案　角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式二
sin＋α＝－sin α， cos＋α＝－cos α， tan＋α＝tan α.
诱导公式三
思考　角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？
答案　角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式三
sin－α＝－sin α， cos－α＝cos α， tan－α＝－tan α.
诱导公式四
思考　角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？
答案　角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，P3与P也关于y轴对称，它们的三角函数关系如下：
诱导公式四
sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α.
梳理　公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：
2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．简记为“函数名不变，符号看象限”．
知识点二 函数名改变
　角α的终边与角－α的终边关于y=x对称。（见课本P178，课件辅助）
诱导公式五
sin＝cos α， cos＝sin α，
诱导公式六
思考　能否利用已有公式得出＋α的正弦、余弦与角α的正弦、余弦之间的关系？
答案　 以－α代替公式五中的α得到
sin＝cos(－α)，cos＝sin(－α)．
由此可得
诱导公式六
sin＝cos α， cos＝－sinα．
诱导公式的推广与规律
sin＝－cos α，cos＝－sin α，
sin＝－cos α，cos＝sin α.
诱导公式五～六记忆规律：
“函数名改变，符号看象限”
典型例题
类型一　利用诱导公式求值
命题角度1　给角求值问题
例1　求下列各三角函数式的值：
(1)cos 210°；(2)sin ；(3)sin；(4)cos(－1 920°)．
解　(1)cos 210°＝cos(180°＋30°)
＝－cos 30°＝－.
(2)sin＝sin
＝sin＝sin
＝sin＝.
(3)sin＝－sin
＝－sin＝－sin＝sin＝.
(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920°
＝cos(5×360°＋120°)
＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－.
总结　利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤
(1)“负化正”：用公式一或三来转化．
(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角．
(3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角．
(4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值．
变式：　已知cos＝，≤α≤，求sin的值．
解　∵α＋＝＋，
∴sin＝sin＝cos＝.
命题角度2　给值求值或给值求角问题
例2　(1)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)
A．－ B．－ C. D.
答案　D
解析　由sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，
可得－sin θ＝－cos θ，|θ|<，
即tan θ＝，|θ|<，∴θ＝.
(2)已知cos＝，求cos－sin2的值．
解　因为cos＝cos
＝－cos＝－，
sin2＝sin2＝1－cos2
＝1－2＝，
所以cos－sin2＝－－＝－.
总结　(1)解决条件求值问题的策略
①解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．
②可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．
(2)对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．
类型二　利用诱导公式化简
例3　化简下列各式：
(1)；
(2).
解　(1)原式＝
＝＝－＝－tan α.
(2)原式＝
＝＝
＝＝－1.
总结　三角函数式的化简方法
(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数．
(2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数．
(3)注意“1”的变式应用：如1＝sin2α＋cos2α＝tan .
类型三　利用诱导公式证明三角恒等式
例4　求证：＝－tan α.
证明　∵左边＝
＝
＝
＝＝－
＝－tan α＝右边．
∴原等式成立．
总结 利用诱导公式证明等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法：
(1)从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简．
(2)左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子．
(3)凑合法：即针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除其差异，简言之，即化异为同．
类型四　诱导公式的综合应用
例5　已知f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若角A是△ABC的内角，且f(A)＝，求tan A－sin A的值．
解　(1)f(α)＝＝cos α.
(2)因为f(A)＝cos A＝，
又A为△ABC的内角，
所以由平方关系，得sin A＝＝，
所以tan A＝＝，
所以tan A－sin A＝－＝.
总结　解决此类问题时，可先用诱导公式化简变形，将三角函数的角统一后再用同角三角函数关系式，这样可避免公式交错使用而导致的混乱．
诱导公式在三角函数化简、求值中具有非常重要的工具作用，特别是诱导公式中的角可以是任意角，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长度单位而得到的。要求学生能熟练的掌握和应用。和学生总结出记忆诱导公式的口诀：“奇变偶不变，符号看象限”，了解从特殊到一般的数学思想的探究过程，培养学生用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。