12.3等腰三角形课时作业（附答案）
文档属性
| 名称 | 12.3等腰三角形课时作业（附答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 132.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-04-09 14:28:15 | ||
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文档简介
12.3等腰三角形课时作业（附答案）
姓名：_______________班级：_______________考号：_______________
一、选择题
1、已知等腰三角形的一个底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ???）
A．40°?? ????B．100° ???C．40°或100°?????? D．50°或70°
2、如图,,, 若，则的度数是（?? ）
A.? 15°??? B.? 20°????? C.? 25°?????? D.? 30°
3、等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（ ）
A．15??????? B．12??????? C．12或15????????? D．不能确定
4、如图，一个等边三角形的边长与和它的一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，问该圆转的圈数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5、一等腰三角形的两边长是方程x2－5x+6=0的两根，则这等腰三角形的周长为（??? ）
A．7 ???B．8??? ? ?C． 7或8?? ????D．不能确定
6、已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是????????????????????? （ ???）
A．8?????????????B．10??? ?????????C．8或10????? ????D．无法确定
7、已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，则它的周长为（ ）
A、10? ??????B、13???? ?????C、17???? ?????D、13或17
8、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（??? ）
A．三条中线的交点；
B．三条高线的交点；
C．三条角平分线的交点；
D．三条边的中垂线的交点。
9、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（??? ）
A．???? B．???? C．或?????? D．
10、等腰三角形的两边长是2和5，它的周长是
A.9????????????? B.12???????????? C.9或12????????? D.7
二、填空题
11、在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm， 则斜边上的中线长为?????????? ?cm．
12、已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则 BC =????? ．
13、若等腰三角形的一个角是，则其底角为 .
14、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=?????????? ???。
15、已知底边a和底边上的高h，在用尺规作图方法作这个等腰△CDE，使DE=a，CB=h时，需用到的作法有：
①在MN上截取BC=h；
②作线段DE=a；
③作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；
④连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形．则正确作图步骤的序号是???? ．
16、在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠C=_______．
17、如图：在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE=?? ；
18、若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、12 cm，则它的面积为_______cm2．
三、作图题
19、(1)在图①中，以线段m为一边画菱形，要求菱形的顶点均在格点上.（画出所有符合条件的菱形）
(2)在图②中，平移a、b、c中的两条线段，使它们与线段n构成以n为一边的等腰直角三角形.（画一个即可）
四、简答题
20、等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
21、如图，若，，，求∠A的度数。
22、如图A、B在方格纸的格点位置上。
（1）请再找一个格点C,使它们所构成的三角形为轴对称图形；
（2）这样的格点C在右图中共有???? 个。
23、已知：在△ABC中，∠ABC=-90°，点B在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．
(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明：
(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．
24、如图，△ABC中，AB=AC，点M、N分别在BC所在直线上，且AM=AN。
（1）BM=CN吗？请说明理由；
（2）若∠MAB=15°, ∠BAN=45°，求∠BAC的度数。
25、如图，△ABC与△ABD都是等边三角形，点E，F分别在BC，AC上，BE=CF,AE与BF交于点G．
(1)求∠AGB的度数；
(2)连接DG，求证：DG=AG+BG．
26、如图3，在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F，且D是BC的中点，你认为线段EB与FC相等吗？如果相等，请说明理由．
五、计算题
27、如下图，在等腰ΔABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记ΔABC和ΔABG的面积分别为SΔABC和SΔABG，如果存在点P，能使SΔABC=SΔABG，求∠C的取值范围。
28、（1）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．
参考答案
一、选择题
1、B
2、A
3、A
4、C
5、C
6、B
7、C
8、C
9、C
10、B；
二、填空题
11、5
12、12
13、70°或55°
14、120
15、②③①④；
16、?
17、35°
18、120
三、作图题
19、操作与实践（本题5分）
注：(1)小题画对6个4分，5个3分，4个2分，2个1分
四、简答题
20、等边三角形
21、36°
22、10个
23、解：(1)结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．
(2)在(1)中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD．
证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=MC，
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC．
∴BM=DM．
∵BM=MC，BM=MC，
∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM．
∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM
=2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD．
即∠BMD=2∠BCD．
证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=ME．
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM．
∵BM=ME，DM=MC，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC．
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD．
∴∠BMD=180°-(∠BMC+∠DME)
=180°-2(∠BEM+∠MCD)=180°-2(90°-∠BCD)=2∠BCD．
即∠BMD=2∠BCD．
(3)所画图形如图所示：
图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM=DM；
图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
24、(1)过点A作AD⊥MN于点D，利用等腰三角形的三线合一，易得BD=CD,MD=ND,再由等式的性质可得结论：BM=CN.
(2) ∠BAC=30°
理由：
25、（1）∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC?? ∠ABC=∠C=60°
∵BE=CF? ∴△ABE≌△BCF?????? 2分 ∴∠BAE=∠FBC
∵∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°
∴∠AGB=180°- ∠BGE=120°??
（2）延长GE至点H,使GH=GB
∵∠BGE=60°∴△BGH为等边三角形???????
∴BG=BH=GH??? ∠GBH=60°
∵△ABD是等边三角形 ∴AB=BD?? ∠ABD=60°
∵∠ABH =∠GBH+∠ABG?? ∠DBG=∠ABD+∠ABG
∴∠ABH=∠DBG? ??
∵AB=BD ,BG=BH???? ∴△DBG≌△ABH? ?
∴ DG=AH=AG+GH=AG+BG ???????
26、解：相等，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵DE=DF，BD=DC，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
五、计算题
27、证明：(1) ∵△是等腰△，是底边上的高线，∴，
又∵, ∴△ ≌△，
∴, 即;
(2) ∵, ，,
∴△ ≌△，∴;
(3) 由(2)知△是以为底边的等腰△，∴ 等价于，
1）当∠为直角或钝角时，在△中，不论点在何处，均有，所以结论不成立;
2）当∠为锐角时， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此时，∠180°2∠，
只须180°2∠∠，解得 60°∠ 90°.
28、解：（1）如图
（2）设，，过点的直线交边于．在中，
①若是顶角，如图1，则，
，．
此时只能有，即，
，即．
②若是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，当时，则，
中，，．
1．由，得，此时有，即．
2．由，得，此时，即．
3．由，得，此时，即，为小于的任意锐角．
第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有，
从而，这与题设是最小角矛盾．
当是底角时，不成立．
姓名：_______________班级：_______________考号：_______________
一、选择题
1、已知等腰三角形的一个底角为40°，则这个等腰三角形的顶角为（ ???）
A．40°?? ????B．100° ???C．40°或100°?????? D．50°或70°
2、如图,,, 若，则的度数是（?? ）
A.? 15°??? B.? 20°????? C.? 25°?????? D.? 30°
3、等腰三角形的两条边长分别为3，6，那么它的周长为（ ）
A．15??????? B．12??????? C．12或15????????? D．不能确定
4、如图，一个等边三角形的边长与和它的一边相切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做无滑动旋转，直至回到原出发位置时，问该圆转的圈数是（ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
5、一等腰三角形的两边长是方程x2－5x+6=0的两根，则这等腰三角形的周长为（??? ）
A．7 ???B．8??? ? ?C． 7或8?? ????D．不能确定
6、已知等腰三角形的两条边长分别是2和4，则它的周长是????????????????????? （ ???）
A．8?????????????B．10??? ?????????C．8或10????? ????D．无法确定
7、已知等腰三角形的两条边长分别为3和7，则它的周长为（ ）
A、10? ??????B、13???? ?????C、17???? ?????D、13或17
8、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（??? ）
A．三条中线的交点；
B．三条高线的交点；
C．三条角平分线的交点；
D．三条边的中垂线的交点。
9、已知一个等腰三角形两内角的度数之比为，则这个等腰三角形顶角的度数为（??? ）
A．???? B．???? C．或?????? D．
10、等腰三角形的两边长是2和5，它的周长是
A.9????????????? B.12???????????? C.9或12????????? D.7
二、填空题
11、在直角三角形中，若两条直角边长分别为6cm和8cm， 则斜边上的中线长为?????????? ?cm．
12、已知：如图△ABC中，AB=AC，∠C=30°，AB⊥AD，AD=4，则 BC =????? ．
13、若等腰三角形的一个角是，则其底角为 .
14、如图，P、Q是△ABC边BC上的两点，且BP=PQ=QC=AP=AQ，则∠BAC=?????????? ???。
15、已知底边a和底边上的高h，在用尺规作图方法作这个等腰△CDE，使DE=a，CB=h时，需用到的作法有：
①在MN上截取BC=h；
②作线段DE=a；
③作线段DE的垂直平分线MN，与DE交于点B；
④连接CD，CE，△CDE就是所求的等腰三角形．则正确作图步骤的序号是???? ．
16、在△ABC中，若∠B=∠C=2∠A，则∠C=_______．
17、如图：在△ABC中，AD=AE，BD=EC，∠ADB=∠AEC=105°，∠B=40°，则∠CAE=?? ；
18、若直角三角形斜边上的高和中线分别为10 cm、12 cm，则它的面积为_______cm2．
三、作图题
19、(1)在图①中，以线段m为一边画菱形，要求菱形的顶点均在格点上.（画出所有符合条件的菱形）
(2)在图②中，平移a、b、c中的两条线段，使它们与线段n构成以n为一边的等腰直角三角形.（画一个即可）
四、简答题
20、等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
21、如图，若，，，求∠A的度数。
22、如图A、B在方格纸的格点位置上。
（1）请再找一个格点C,使它们所构成的三角形为轴对称图形；
（2）这样的格点C在右图中共有???? 个。
23、已知：在△ABC中，∠ABC=-90°，点B在直线AB上，ED与直线AC垂直，垂足为D，且点M为EC中点，连接BM，DM．
(1)如图1，若点E在线段AB上，探究线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；
(2)如图2，若点E在BA延长线上，你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明：
(3)若点E在AB延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出线段BM与DM及∠BMD与∠BCD所满足的数量关系．
24、如图，△ABC中，AB=AC，点M、N分别在BC所在直线上，且AM=AN。
（1）BM=CN吗？请说明理由；
（2）若∠MAB=15°, ∠BAN=45°，求∠BAC的度数。
25、如图，△ABC与△ABD都是等边三角形，点E，F分别在BC，AC上，BE=CF,AE与BF交于点G．
(1)求∠AGB的度数；
(2)连接DG，求证：DG=AG+BG．
26、如图3，在△ABC中，已知AD是∠BAC的平分线，DE、DF分别垂直于AB、AC，垂足分别为E、F，且D是BC的中点，你认为线段EB与FC相等吗？如果相等，请说明理由．
五、计算题
27、如下图，在等腰ΔABC中，CH是底边上的高线，点P是线段CH上不与端点重合的任意一点，连结AP交BC于点E，连结BP交AC于点F。
（1）证明：∠CAE=∠CBF；
（2）证明：AE=BF；
（3）以线段AE，BF和AB为边构成一个新的三角形ABG（点E与点F重合于点G），记ΔABC和ΔABG的面积分别为SΔABC和SΔABG，如果存在点P，能使SΔABC=SΔABG，求∠C的取值范围。
28、（1）已知中，，，请画一条直线，把这个三角形分割成两个等腰三角形．（请你选用下面给出的备用图，把所有不同的分割方法都画出来．只需画图，不必说明理由，但要在图中标出相等两角的度数）
（2）已知中，是其最小的内角，过顶点的一条直线把这个三角形分割成了两个等腰三角形，请探求与之间的关系．
参考答案
一、选择题
1、B
2、A
3、A
4、C
5、C
6、B
7、C
8、C
9、C
10、B；
二、填空题
11、5
12、12
13、70°或55°
14、120
15、②③①④；
16、?
17、35°
18、120
三、作图题
19、操作与实践（本题5分）
注：(1)小题画对6个4分，5个3分，4个2分，2个1分
四、简答题
20、等边三角形
21、36°
22、10个
23、解：(1)结论：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．
(2)在(1)中得到的结论仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD．
证法一：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=MC，
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC．
∴BM=DM．
∵BM=MC，BM=MC，
∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM．
∴∠BMD=∠EMB-∠EMD=2∠BCM-2∠DCM
=2(∠BCM-∠DCM)=2∠BCD．
即∠BMD=2∠BCD．
证法二：∵点M是Rt△BEC的斜边EC的中点，
∴BM=EC=ME．
又点M是Rt△DEC的斜边EC的中点，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM．
∵BM=ME，DM=MC，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC．
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD．
∴∠BMD=180°-(∠BMC+∠DME)
=180°-2(∠BEM+∠MCD)=180°-2(90°-∠BCD)=2∠BCD．
即∠BMD=2∠BCD．
(3)所画图形如图所示：
图1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
图2中∠BCD不存在，有BM=DM；
图3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
24、(1)过点A作AD⊥MN于点D，利用等腰三角形的三线合一，易得BD=CD,MD=ND,再由等式的性质可得结论：BM=CN.
(2) ∠BAC=30°
理由：
25、（1）∵△ABC是等边三角形 ∴AB=BC?? ∠ABC=∠C=60°
∵BE=CF? ∴△ABE≌△BCF?????? 2分 ∴∠BAE=∠FBC
∵∠BGE=∠ABG+∠BAE=∠ABG+∠FBC=∠ABC=60°
∴∠AGB=180°- ∠BGE=120°??
（2）延长GE至点H,使GH=GB
∵∠BGE=60°∴△BGH为等边三角形???????
∴BG=BH=GH??? ∠GBH=60°
∵△ABD是等边三角形 ∴AB=BD?? ∠ABD=60°
∵∠ABH =∠GBH+∠ABG?? ∠DBG=∠ABD+∠ABG
∴∠ABH=∠DBG? ??
∵AB=BD ,BG=BH???? ∴△DBG≌△ABH? ?
∴ DG=AH=AG+GH=AG+BG ???????
26、解：相等，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BED和Rt△CFD中，
∵DE=DF，BD=DC，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴EB=FC．
五、计算题
27、证明：(1) ∵△是等腰△，是底边上的高线，∴，
又∵, ∴△ ≌△，
∴, 即;
(2) ∵, ，,
∴△ ≌△，∴;
(3) 由(2)知△是以为底边的等腰△，∴ 等价于，
1）当∠为直角或钝角时，在△中，不论点在何处，均有，所以结论不成立;
2）当∠为锐角时， ∠，而，要使，只需使∠ =∠，此时，∠180°2∠，
只须180°2∠∠，解得 60°∠ 90°.
28、解：（1）如图
（2）设，，过点的直线交边于．在中，
①若是顶角，如图1，则，
，．
此时只能有，即，
，即．
②若是底角，则有两种情况．
第一种情况：如图2，当时，则，
中，，．
1．由，得，此时有，即．
2．由，得，此时，即．
3．由，得，此时，即，为小于的任意锐角．
第二种情况，如图3，当时，，，此时只能有，
从而，这与题设是最小角矛盾．
当是底角时，不成立．