山东省临沂市沂水县第三中学2013届高三4月月考数学（文）试题

沂水县第三中学2013届高三4月月考数学（文）试题
选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1在复平面内，复数的对应点位于（ ）
A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限
2已知集合，，则，
则等于( )
A 6 B 7 C 8 D 9
3设命题函数的最小正周期为；函数函数的图象关
于直线对称.则下列的判断正确的是( )
A 为真 B 为假 C 为假 D 为真
4已知是圆上的动点，则点到直线的距离的最小值为（ ）
A B C D
5某校有4000名学生，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取一名“献爱心”志愿者，抽到高一男生的概率是0.2，先用分层抽样的方法在全校抽取100名志愿者，则在高二抽取的学生人数为（ ）
A 40 B 60 C 20 D 30
6某程序框图如图所示，该程序运行后，输出的值为31，则等于（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
7已知的面积为2，在所在的平面内有两点、，满足,,则的面积为（ ）
A B C D
8在同一个坐标系中画出函数，的部分图象，其中且，则下列所给图象中可能正确的是（ ）
9一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A B C D
10设定义在上的奇函数，满足对任意都有，且时，，则的值等于（ ）
A B C D
11数列的前项和为，已知，且对任意正整数，，都有，若恒成立，则实数的最小值为（ ）
A B C D
12在区间和内分别取一个数，记为和，则方程表示离心率小于的双曲线的概率为（ ）
A B C D
第Ⅱ卷（共90分）
填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13已知抛物线上一点到焦点的距离是5，则点的横坐标是________.
14若，则的取值范围是________.
15观察下列不等式：①；②；③；...请写出第个不等式_____________.
16下列结论：正确的序号是 ．
线，为异面直线的充要条件是直线，不相交；
②从总体中抽取的样本，，...,，若记， 则回归直线必过点；
③函数的零点所在的区间是；
④已知函数，则的图象关于直线对称.
解答题：本大题共6个小题，共74分.
17（本小题满分12分）
已知向量,,,其中分别为的三边所对的角.
(Ⅰ)求角的大小；
(Ⅱ)若,且，求边的长.
（本小题满分12分）
在如图所示的几何体中，四边形是菱形，是矩形，平面平面，为的中点.
(Ⅰ)求证：;
(Ⅱ)在线段是是否存在点，使得//平面，若存在，说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.
（本小题满分12分）
某校举行环保知识竞赛，为了了解本次竞赛成绩情况，从得分不低于50分的试卷中随机抽取100名学生的成绩（得分均为正数，满分100分），进行统计，请根据频率分布表中所提供的数据，解答下列问题：
(Ⅰ)求、的值；
(Ⅱ)若从成绩较好的第3、4、5组中，按分层抽样的方法抽取6人参加社区志愿者活动，并从中选出2人做负责人，求2人中至少有1人是第四组的概率.
（本小题满分12分）
设数列的前项和为，点在直线上.
(Ⅰ)求数列的通项公式；
(Ⅱ)在与之间插入个数，使这个数组成公差为的等差数列，求数列的前项和.
21（本小题满分13分）
已知椭圆的右焦点在圆上，直线交椭圆于、两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)若(为坐标原点），求的值；
(Ⅲ)若点的坐标是，试问的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.
（本小题满分13分）
已知函数，，令.
(Ⅰ)当时，求的极值；
(Ⅱ)当时，求的单调区间；
(Ⅲ)当时，若对，使得恒成立， 求的取值范围.
数学（文史类）试题参考答案及评分标准
选择题：每小题5分，共60分.
BDACB CBCDD AA
二、填空题：每小题4分，共16分.
13. 190 14. 3 15. 充分不必要 16. ①③④
解答题：本大题共6小题，共74分.
17．解：（Ⅰ）且，∴ …………2分
…………………………………… 4分
………………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得……………………8分
由正弦定理得，即，解得．………………10分
在中，，
所以． ………………………………………………………………12分
18.解：（Ⅰ）因为各组的频率之和为1，所以成绩在区间的频率为
， …………………………2分
所以，40名学生中成绩在区间的学生人数为（人）. ……4分
（Ⅱ）设表示事件“在成绩大于等于80分的学生中随机选两名学生，至少有一
名学生成绩在区间内”，
由已知和（Ⅰ）的结果可知成绩在区间内的学生有4人，
记这四个人分别为，
成绩在区间内的学生有2人，记这两个人分别为.…………6分
则选取学生的所有可能结果为：
，

基本事件数为15，………………………………………………………………8分
事件“至少一人成绩在区间之间”的可能结果为：
，
基本事件数为9， …………………………………………………………10分
所以. ………………………………………………………12分
19.证明：（Ⅰ）连接BD，交AC于点O，连接MO
ABCD为矩形， O为BD中点
又M为SD中点，
MO//SB ………………………………3分
MO平面ACM，SB平面AC………………4分
SB//平面ACM …………………………5分
(Ⅱ) SA平面ABCD，SACD
ABCD为矩形，CDAD，且SAAD=A
CD平面SAD，CDAM…………………8分
SA=AD，M为SD的中点
AMSD，且CDSD=D AM平面SCD
AMSC ……………………………………………………………………10分
又SCAN，且ANAM=A SC平面AMN
SC平面SAC，平面SAC平面AMN. ……………………………………12分
20.解：（I）由得
令，…………………………………………………………2分
得 则， ………………………………………4分
从而 .
又, 是首项为4，公比为的等比数列,
存在这样的实数，使是等比数列. ………………………6分
（II）由（I）得 . ………………………7分
………………………………………………8分
…9分
………………………………………………10分
……………………………………………12分
21.解：（I）半椭圆的离心率为，,
………………………………………………………………2分
设为直线上任意一点，则，即
， ……………………………4分
又， ………………………6分
（II）① 当P点不为（1,0）时，，
得， 即
设， ……………………………………8分
== …………………………………………9分
= ……………………………………10分
………………………………………………11分
②当P点为（1,0）时，此时，. …………………………………12分
综上，由①②可得，面积的最大值为. …………………………13分
22.解　(I)由题意知f(x)的定义域为(0，＋∞)，
且f′(x)＝＋＝. ………………………………………………2分
∵a>0，∴f′(x)>0，
故f (x)在(0，＋∞)上是单调递增函数． ………………………………4分
(II)由(I)可知，f′(x)＝.
①若a≥－1，则x＋a≥0，即f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上为增函数，
∴f(x)min＝f(1)＝－a＝，∴a＝－(舍去)． ………………………5分
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，
此时f(x)在[1，e]上为减函数，
∴f(x)min＝f(e)＝1－＝，∴a＝－(舍去)． ………………………6分
③若－e当1当－a0，∴f(x)在(－a，e)上为增函数，
∴f(x)min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，∴a＝－.
综上所述，a＝－. ………………………………………………8分
(Ⅲ)∵f(x)又x>0，∴a>xln x－x3. ………………………………………………9分
令g(x)＝xln x－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋ln x－3x2，…………………10分
h′(x)＝－6x＝.
∵x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．
∴h(x)∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．
g(x)∴当a≥－1时，f(x)