7.3.2.1 正弦函数、余弦函数的图象 教案

第七章　三角函数
7.3.2.1 正弦函数、余弦函数的图象
由于三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，这也是三角函数不同于其他类型函数的最重要的地方，而且对于周期函数，我们只要认识清楚它在一个周期的区间上的性质，那么它的性质也就完全清楚了，因此本节课利用单位圆中的三角函数的定义、三角函数值之间的内在联系性等来作图，从画出的图形中观察得出五个关键点，得到“五点法”画正弦函数、余弦函数的简图．
课程目标 学科素养
1.了解利用单位圆中的正弦线画正弦曲线的方法. 2.掌握“五点法”画正弦曲线和余弦曲线的步骤和方法，能用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线. 3.理解正弦曲线与余弦曲线之间的联系． 1.数学抽象：正弦曲线与余弦曲线的概念； 2.逻辑推理：正弦曲线与余弦曲线的联系； 3.直观想象：正弦函数余弦函数的图像； 4.数学运算：五点作图； 5.数学建模：通过正弦、余弦图象图像，解决不等式问题及零点问题，这正是数形结合思想方法的应用.
重点：正弦函数、余弦函数的图象．
难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系．
1．函数y＝5sinx的最小正周期是________．
答案：5π
2．函数y＝tan的最小正周期为________．
答案：
3．函数y＝cos的最小正周期为________．
解析：T＝＝π.
答案：π
4．已知函数f(x)＝sin－1，则下列命题正确的是________．
①f(x)是最小正周期为1的函数；
②f(x)是最小正周期为2的函数；
③f(x)是最小正周期为的函数；
④f(x)是最小正周期为π的函数．
解析：f(x)＝sin－1＝－cos πx－1，
∴f(x)的最小正周期为T＝＝2.
答案：②
知识点一　正弦函数、余弦函数的图象
思考1　课本上是利用什么来比较精确的画出正弦函数的图象的？其基本步骤是什么？
答案　利用正弦线，这种作图方法称为“几何法”，其基本步骤如下：
①作出单位圆：作平面直角坐标系，并在直角坐标系中y轴左侧的x轴上取一点O1，作出以O1为圆心的单位圆；
②等分单位圆，作正弦线：从⊙O1与x轴的交点A起，把⊙O1分成12等份．过⊙O1上各分点作x轴的垂线，得到对应于0，，，，…，2π等角的正弦线；
③找横坐标：把x轴上从0到2π这一段分成12等份；
④找纵坐标：把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上对应的点x重合，从而得到12条正弦线的12个终点；
⑤连线：用光滑的曲线将12个终点依次从左至右连接起来，即得到函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，如图．
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π)，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象的形状完全一致．于是只要将函数y＝sin x，x∈[0,2π)的图象向左、向右平行移动(每次2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sin x，x∈R的图象，如图．
思考2　如何由正弦函数的图象通过图形变换得到余弦函数的图象？
答案　把y＝sin x，x∈R的图象向左平移个单位长度，即可得到y＝cos x，x∈R的图象．
梳理　正弦函数的图象和余弦函数的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线．
知识点二　“五点法”作正弦函数、余弦函数的图象
思考1　描点法作函数图象有哪几个步骤？
答案　列表、描点、连线．
思考2　“五点法”作正弦函数、余弦函数在x∈[0,2π]上的图象时是哪五个点？
答案　
画正弦函数图象的五点 (0,0) (π，0) (2π，0)
画余弦函数图象的五点 (0,1) (π，－1) (2π，1)
梳理　“五点法”作正弦函数y＝sin x(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象的步骤
(1)列表
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
cos x 1 0 －1 0 1
(2)描点
画正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)；
画余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象，五个关键点是
(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．
(3)用光滑曲线顺次连接这五个点，得到正弦函数y＝sin x(x∈[0,2π])、余弦函数y＝cos x(x∈[0,2π])的简图．
典型例题
类型一　“五点法”作图的应用
例1　利用“五点法”作出函数y＝1－sin x(0≤x≤2π)的简图．
解　取值列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
描点连线，如图所示．
总结　作正弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即y＝sin x或y＝cos x的图象在[0,2π]内的最高点、最低点和与x轴的交点．“五点法”是作简图的常用方法．
跟踪训练1　(1)用“五点法”作出函数y＝1－cos x(0≤x≤2π)的简图．
解　列表如下：
x 0 π 2π
cos x 1 0 －1 0 1
1－cos x 0 1 2 1 0
描点并用光滑的曲线连接起来，如图．
(2)(2017·长沙检测)利用正弦或余弦函数图象作出y＝的图象．
解　由于y＝＝|cos x|，因此只需作出y＝|cos x|的图象即可，而y＝|cos x|可由y＝cos x将x轴下方的图象折到x轴上方，图象如下：
类型二　利用正、余弦函数图象解不等式
命题角度1　利用正、余弦函数图象解不等式
例2　利用正弦曲线，求满足解　首先作出y＝sin x在[0,2π]上的图象，如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0,2π]的交点横坐标为和.
观察图象可知，在[0,2π]上，当所以总结　用三角函数图象解三角不等式的方法
(1)作出相应正弦函数或余弦函数在[0,2π]上的图象；
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集；
(3)根据公式一写出不等式的解集．
跟踪训练2　使不等式－2sin x≥0成立的x的取值集合是(　　)
A.
B.
C.
D.
答案　C
解析　不等式可化为sin x≤.
方法一　作图，正弦曲线及直线y＝如图所示．
由图知，不等式的解集为.
方法二　如图所示，不等式的解集为.
命题角度2　利用正、余弦函数图象求定义域
例3　求函数f(x)＝lg sin x＋的定义域．
解　由题意，得x满足不等式组
即
作出y＝sin x的图象，如图所示．
结合图象可得x∈[－4，－π)∪(0，π)．
总结　一些三角函数的定义域可以借助函数图象直观地观察得到，同时要注意区间端点的取舍．
跟踪训练3　求函数y＝的定义域．
解　为使函数有意义，需满足
即0由正弦函数的图象或单位圆(如图所示)，
可得函数的定义域为.
本节课所画的图象较多，能迅速准确地画出函数图象对初学者来说是一个较高的要求，重在学生动手操作，不要怕学生出错．通过画图可以培养学生的动手能力、模仿能力．开始时要慢些，尤其是“五点法”，每个点都要能准确地找到，然后迅速画出图象．