江西省八所老牌重点中学2013届高三第一次联考数学（文）试题

八所老牌重点中学2013届高三第一次联考数学文试题
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分， 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1. 若复数(为虚数单位), 是的共轭复数,则的实部为
A． B． C． D．
2．已知集合，，则
A. B. C. D.
3.以向量为方向向量的直线平分圆，则直线的方程为
A. B.
C. D.
4. 某三棱锥的三视图如右图所示，该三棱锥的体积为
A. B.
C. D.
5. 已知实数,则“”是 “”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知，则等于
A． B． C． D．
7. 若实数，满足条件，则目标函数的最大值为
A.6 B.5 C.4 D.3
8. 如图，平面⊥平面，，是内不同的两点，是内不同的两点，且直线，分别是线段的中点．下列判断正确的是
A．当时，两点不可能重合
B．两点可能重合，但此时直线与不可能相交
C．当与相交，直线平行于时，直线可以与相交
D．当是异面直线时，直线可能与平行
9. 设，定义为的导数，即，，若的内角满足，则的值是
A. B. C. D.
10．如图所示，在中，点以的速度沿的路径向移动，点以的速度沿边向移动，当点到达点时，两点同时停止移动.记的面积关于移动时间的函数为，则的图像大致为
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11. 不等式的解集是 .
12．下图的算法中，若输入，输出的是 .
13. 等比数列中，公比，记（即表示数列的前项之积）， ，，，中值为正数的个数是___________.
14. 双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于 .
15. 已知函数，给出下列四个结论：
①若，则； ②的最小正周期是；
③在区间上是增函数； ④的图象关于直线对称．
其中正确的结论是 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
如图，是直角斜边上一点，，记，.
（1）证明：；
（2）若，求．
17.（本小题满分12分）
城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：
组别
候车时间
人数
一

2
二
6
三
4
四
2
五
1
（1）求这15名乘客的平均候车时间；
（2）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；
（3）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．
18．(本小题满分12分)
已知等差数列的前项和为，且，.
（1）求 及；
（2）若数列的前项和，试证明不等式成立.
19. （本小题满分12分）
如图，三棱柱中,侧棱与底面垂直,,,点分别为和的中点.
(1)证明:平面;
(2)求三棱锥的体积;
(3)证明:平面.
20．（本小题满分13分）
在平面直角坐标系上取两点,再取两个动点 ,且.
(1)求直线与交点的轨迹的方程；
(2)过点作两条互相垂直的射线，与曲线分别交于两点.证明点到直线的距离为定值.并求弦长度的最小值.
21．（本小题满分14分）
已知函数，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）求函数的单调区间；
（3）若关于的方程有实数解，求实数的取值范围．

…………7分
故, 点到直线的距离为定值.……………10分
………………… 14分
方法二：