湘教版数学七年级下册 3.1多项式的因式分解 教案

第3章　因式分解
3．1　多项式的因式分解
【教学目标】
使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念；通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
【教学重难点】
重点：因式分解的概念．
难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
下题简便运算怎样进行
问题1：736×95＋736×5.
问题2：－2.67×132＋25×2.67＋7×2.67.
教学说明
对乘法公式进行分析，为因式分解作铺垫．
【思考探究，获取新知】
1．讨论：
(1)21等于3乘哪个整数？
(2)x2－x等于x＋1乘哪个多项式？
2．议一议：
你能尝试把a3－a化成n个整式的乘积的形式吗？与同伴交流．
[师]大家可以观察a3－a与993－99这两个代数式．
[生]a3－a＝a(a2－1)＝a(a－1)(a＋1)．
3．做一做：
(1)计算下列各式：
①(m＋4)(m－4)＝m2－16；
②(y－3)2＝＝y2－6y＋9；
③3x(x－1)＝＝3x2－3x；
④m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc.
(2)根据上面的算式填空：
①3x2－3x＝(3x)(x－1)
②m2－16＝(m＋4)(m－4)
③ma＋mb＋mc＝(m)(a＋b＋c)
④y2－6y＋9＝(y－3)2
[生]把等号左右两边的式子调换一下即可．
[师]能分析一下两个题中的形式变换吗？
[生]在(1)中，等号左边都是乘积的形式，等号右边都是多项式；在(2)中正好相反，等号左边是多项式的形式，等号右边是多项式乘积的形式．
一般地，对于两个多项式f与g，如果有多项式h使得f＝gh，那么我们把g叫做f的一个因式，此时，h也是f的一个因式．
一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，称为把这个多项式因式分解．
在(1)中我们知道从左边推右边是多项式乘法；
在(2)中由多项式推出多项式乘积的形式是因式分解．
4．想一想：
由a(a＋1)(a－1)得到a3－a的变形是什么运算？由a3－a得到a(a＋1)(a－1)的变形与这种运算有什么不同？你还能举一些类似的例子加以说明吗？
5．因式分解与整式乘法有何联系与区别？
因式分解与整式乘法的关系：
因式分解：a2－b2＝(a＋b)(a－b)
整式乘法：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
说明：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式(多项式)转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式(多项式)．
归纳结论
因式分解与整式乘法具有互逆关系．因此，我们可以利用整式的乘法来检验因式分解的正确性．
教学说明
注重数学知识间的联系，给学生提供探索与交流的空间，让学生经历数学知识的生成过程，由学生发现整式乘法与因式分解的相互关系，培养学生观察、分析问题的能力和逆向思维能力及创新能力．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P56例1、例2.
2．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？
(1)4a(a＋2b)＝4a2＋8ab
(2)6ax－3ax2＝3ax(2－x)
(3)a2－4＝(a＋2)(a－2)
(4)x2－3x＋2＝x(x－3)＋2
解：(2)(3)是因式分解．
3．试将下列各式化成几个整式的积的形式．
(1)3x2－2x＝________
(2)m2－4n2＝________
解：(1)x(3x－2)；
(2)(m＋2n)(m－2n)．
4．分解因式：
4m2－4m＝________
2a3＋2a＝________
y2＋4y＋4＝________
解：4m(m－1)；2a(a2＋1)；(y＋2)2.
5．如果a＋b＝10，ab＝21，则a2b＋ab2的值为________．
解：210.
6．如果a－3b＝－3，那么5－a＋3b的值是(　D　)
A．0 B．2 C．5 D．8
7．9993－999能被998整除吗？能被1 000整除吗？
解：9993－999
＝999(9992－1)
＝999(999＋1)(999－1)
＝999×1000×998
即：9993－999能被998整除，能被1 000整除．
教学说明
通过练习，使学生理解因式分解与整式乘法的区别．
【师生互动，课堂小结】
1．你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式．
2．应该怎样认识“因式分解”？
分解因式与整式乘法是互逆过程．
3．分解因式要注意以下几点：分解的对象必须是多项式；分解的结果一定是几个整式的乘积的形式；要分解到不能分解为止．
【课后作业】
1．布置作业：教材第57页“习题3.1”中第2、3、4题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．