2013年华师大版九年级数学下册教案(表格式全册)

四川省射洪中学九年级数学下册教案(华师大版)
教学内容
26.1二次函数
本节共需1课时
本课为第1课时
主备人：
教学目标
通过具体问题引入二次函数的概念；
在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
教学重点
通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．
教学难点
如何建立数学模型
教具准备
学案每生一份
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境创设
（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？
（2）已知正方体的棱长为x㎝，表面积为y,则y与x的关系是 。
（3）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．
请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？，
探究新知
请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义．
归纳：二次函数的概念
结合“情境”中的三个二次函数的表达式，给出常数a、b、c的取值范围，强调。
结合“情境”中的三个二次函数的表达式，说说它们的自变量的取值范围。
实践与
探索1
m取哪些值时，
函数是以x为自变量的二次函数？
分析 若函数是二次函数，须满足的条件是：．
解 若函数是二次函数，则 ．解得 ，且．因此，当，且时，函数是二次函数．
探索 若函数是以x为自变量的一次函数，则m取哪些值？
实践与
探索2
例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系；
（2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；
（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
应用
与拓展
1．下列函数中，哪些是二次函数？
（1）
（2）
（3）
（4）
2．当k为何值时，函数为二次函数？
3．已知正方形的面积为，周长为x（cm）．
(1)请写出y与x的函数关系式；
(2)判断y是否为x的二次函数．
正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．
(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式；
(2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积
小结
与作业
回顾与反思
形如的函数只有在的条件下才是二次函数．
课堂作业：
习题26·1 1～3
家庭作业：
《数学同步导学下》P1 随堂演练
教学后记：
教学内容
二次函数的图象与性质（1）
本节共需7课时
本课为第1课时
主备人：
教学目标
会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．
教学重点
通过画图得出二次函数特点
教学难点
识图能力的培养
教具准备
坐标小黑板一块
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
我们已经知道，一次函数，反比例函数的图象分别是 、 ，那么二次函数的图象是什么呢？
（1）描点法画函数的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？
（2）观察函数的图象，你能得出什么结论？
实践与
探索1
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？
（1） （2）
共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．
不同点：的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．
的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．
注意点：
在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接．
实践与探索2
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2．
（1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象；
（2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长；
（3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．
解 （1）由题意，得．
列表：
2
4
6
8
…
…
描点、连线，图象如图26．2．2．
（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm．
（3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2．
注意点：
（1）此图象原点处为空心点．
（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y．
（3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分．
小结与作业
课堂小结：
通过本节课的学习你有哪些收获？
课堂作业：
课本P4 习题 1～4
家庭作业：
《数学同步导学九下》P4 随堂演练
教学后记：
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（2）
本节共需7 课时
本课为第2课时
主备人：
教学目标
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
教学重点
通过画图得出二次函数性质
教学难点
识图能力的培养
教具准备
投影仪，胶片．
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
同学们还记得一次函数与的图象的关系吗？
你能由此推测二次函数与的图象之间的关系吗？ ，那么与的图象之间又有何关系？ ．
实践与
探索1
例1．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象．
解 列表．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
18
8
2
0
2
8
18
…
…
20
10
4
2
4
10
20
…
描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．
回顾与反思： 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？
探索 观察这两个函数，
它们的开口方向、对称轴
和顶点坐标有那些是相同
的？又有哪些不同？你
能由此说出函数与
的图象之间的关系吗？

实践与
探索2
例2．在同一直角坐标系中，画出函数与的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线得到抛物线．
回顾与反思 抛物线和抛物线分别是由抛物线向上、向下平移一个单位得到的．
探索 如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？
新 课 标第 一 网
小结
与作业
课堂小结：
本节课你的收获有哪些？（函数与图像的关系。）
课堂作业：
一条抛物线的开口方向、对称轴与相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P7 随堂演练
教学后记：
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（3）
本节共需7课时
本课为第3课时
主备人：
教学目标
会画出这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．．
教学重点
通过画图得出二次函数性质
教学难点
识图能力的培养
教具准备
投影仪，胶片．
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
我们已经了解到，函数的图象，可以由函数的图象上下平移所得，那么函数的图象，是否也可以由函数平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？
实践与
探索1
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 列表．
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
2
0
2
…
…
0
2
8
…
…
8
2
0
…
描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．
它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是
（0，0），（-2，0），（2，0）．
探索 抛物线和抛物线分别是由抛物线向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线，应将抛物线作怎样的平移？w W w .x K b 1.c o M
实践与
探索2
1．画图填空：抛物线的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线向 平移 个单位得到的．
2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
， ，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
小结
与作业
回顾与反思 ：
1、二次函数与图像之间的关系。
2、对于抛物线，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．
课堂作业
1．不画出图象，请你说明抛物线与之间的关系．
2．将抛物线向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点
（1，3），求的值．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P9 随堂演练
教学后记
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（4）
本节共需7课时
本课为第4课时
主备人：
教学目标
1．掌握把抛物线平移至+k的规律；
2．会画出+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．
教学重点
通过画图得出二次函数性质
教学难点
识图能力的培养
教具准备
投影仪，胶片．
课型
新授课
教学过程
初 备
统复备
情境导入
由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
实践与
探索1
例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．
，，，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．
解 （1）列表：略
（2）描点：
（3）连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．
观察：
它们的开口方向都向 ，对称轴分别为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．
请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．
探索 你能说出函数+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？
实践与
探索2
+k
开口方向
对称轴
顶点坐标
填表：
小结
与作业
回顾与反思：
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
课堂作业：
把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b、c的值．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P12 随堂演练
教学后记
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（5）
本节共需7课时
本课为第5课时
主备人：
教学目标
1．能通过配方把二次函数化成+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；
2．会利用对称性画出二次函数的图象．
教学重点
通过画图得出二次函数性质
教学难点
识图能力的培养、配方法
教具准备
多媒体课件 （几何画板4.06）
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
由前面的知识，我们知道，函数的图象，向上平移2个单位，可以得到函数的图象；函数的图象，向右平移3个单位，可以得到函数的图象，那么函数的图象，如何平移，才能得到函数的图象呢？
实践与
探索1
例1．通过配方，确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．
解
因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．
由对称性列表：
注意点： （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到；（2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．
探索： 对于二次函数，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？
实践与
探索2
例2．已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值．
分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．
小结
与作业
回顾与反思：
二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．
课堂作业：
1．当时，求抛物线的顶点所在的象限．
2. 已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P14 随堂演练
教学后记新 课 标 第 一 网
教学内容
26．2 二次函数的图象与性质（6）
本节共需7课时
本课为第6课时
主备人：
教学目标
1．会通过配方求出二次函数的最大或最小值；
2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
教学重点
会通过配方求出二次函数的最大或最小值；
教学难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．
教具准备
投影仪，胶片．
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？
在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗?
实践与
探索1
例1．求下列函数的最大值或最小值．
（1）；
（2）．
分析 由于函数和的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值．可通过配方法实现。X k B 1 . c o m
（解：（1）二次函数
当时，函数有最小值是．
（2）二次函数
当时，函数有最大值是）
探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数的最大值或最小值．
实践与
探索2
例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表：
x（元）
130
150
165
y（件）
70
50
35
若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量．
小结
与作业
回顾与反思
最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．
课堂作业：
如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y．
（1）用含y的代数式表示AE；
（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；
（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．
家庭作业：
《数学同步导学九下》P18 随堂演练
教学后记
教学内容
26 . 2 二次函数的图象与性质（7）
本节共需7课时
本课为第7课时
主备人：
教学目标
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学重点
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
教具准备
投影仪，胶片．
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？
实践与
探索1
例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函数关系式
由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入，得

所以 ．
因此，函数关系式是．

实践与
探索2
例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
（1）已知二次函数的图象经过点A（0，-1）、B（1，0）、C（-1，2）；
（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y轴交于点（0，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-3，0）、（5，0），且与y轴交于点（0，-3）；
（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x轴两交点间的距离为4．
分析 （1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为的形式；（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（3）根据抛物线与x轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为，再根据抛物线与y轴的交点可求出a的值；（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入，即可求出a的值．
小结
与作业
回顾与反思：
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
课堂作业：
根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．
(1)已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；
（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；
（3）已知抛物线与x轴交于点M（-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．
家庭作业：《数学同步导学九下》P21 随堂演练
教学后记
教学内容
26 . 3 实践与探索（1）
本节共需4课时
本课为第1课时
主备人：
教学目标
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．
教学重点
会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式
教学难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
教具准备
投影仪，胶片．
课型
新授课
教学过程
初备
统复备
情境导入
生活中，我们会遇到与二次函数及其图象有关的问题，比如在2004雅典奥运会的赛场上，很多项目，如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关．你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗？
实践与
探索1
例1．如图26．3．1，一位运动员推铅球，铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系是，问此运动员把铅球推出多远？
解 如图，铅球落在x轴上，则y=0，
因此，．
解方程，得（不合题意，舍去）．
所以，此运动员把铅球推出了10米．
探索 此题根据已知条件求出了运动员把铅球推出的实际距离，如果创设另外一个问题情境：一个运动员推铅球，铅球刚出手时离地面m，铅球落地点距铅球刚出手时相应的地面上的点10m，铅球运行中最高点离地面3m，已知铅球走过的路线是抛物线，求它的函数关系式．你能解决吗？试一试．
实践与
探索2
例2．如图26．3．2，公园要建造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面最大高度2．25m．
（1）若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外？
（2）若水流喷出的抛物线形状与（1）相同，水池的半径为3．5m，要使水流不落到池外，此时水流最大高度应达多少米？（精确到0．1m）
分析 这是一个运用抛物线的有关知识解决实际问题的应用题，首先必须将水流抛物线放在直角坐标系中，如图26．3．3，我们可以求出抛物线的函数关系式，再利用抛物线的性质即可解决问题．
小结
与作业
回顾与反思
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：
（1）一般式：，给出三点坐标可利用此式来求．
（2）顶点式：，给出两点，且其中一点为顶点时可利用此式来求．
课堂作业：
在一场篮球赛中，队员甲跳起投篮，当球出手时离地高2．5米，与球圈中心的水平距离为7米，当球出手水平距离为4米时到达最大高度4米．设篮球运行轨迹为抛物线，球圈距地面3米，问此球是否投中？
家庭作业：《数学同步导学九下》P24 随堂演练
教学后记
教学内容
26 . 3 实践与探索（2）
本节共需4课时
本课为第2课时
主备人：
教学目标
让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．学会用数学的意识
教学重点
会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题
教学难点
在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问题
教具准备
投影仪，胶片．
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x米，面积为S平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．
实践与
探索1
例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利为y元。
（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？
分析 若销售单价为x元，则每千克降低（70-x）元，日均多售出2（70-x）千克，日均销售量为[60+2（70-x）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。
略解：
。
顶点坐标为（65，1950）。二次函数草图略。
经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。
实践与
探索2
例2。某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x（十万元）时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y是x的二次函数，它们的关系如下表：
X（十万元）
0
1
2
…
y
1
1．5
1．8
…
（1）求y与x的函数关系式；
（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；
（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？
解 （1）设二次函数关系式为。
由表中数据，得 。
解得。所以所求二次函数关系式为
（2）根据题意，得。
（3）。由于1≤x≤3，所以当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．
小结
与作业
回顾与反思：
（数学应用意识问题以及将实际问题转化为数学问题时，应该注意的事项等。）
课堂作业：
某旅社有客房120间，当每间房的日租金为50元时，每天都客满，旅社装修后，要提高租金，经市场调查，如果一间客房日租金增加5元，则客房每天出租数会减少6间，不考虑其他因素，旅社将每间客房日租金提高到多少元时，客房的总收入最大？比装修前客房日租金总收入增加多少元？
家庭作业：《数学同步导学九下》P27 随堂演练
教学后记
教学内容
26 . 3 实践与探索（3）
本节共需4课时
本课为第3课时
主备人：
教学目标
（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
教学重点
（1）会求出二次函数与坐标轴的交点坐标；
（2）了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
教学难点
了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．
教具准备
投影仪，胶片．
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
给出三个二次函数：（1）；（2）；（3）．
它们的图象分别为新 -课-标-第- 一-网
观察图象与x轴的交点个数，分别是 个、 个、 个．你知道图象与x轴的交点个数与什么有关吗？
另外，能否利用二次函数的图象寻找方程，不等式或的解？
实践与
探索1
例1．画出函数的图象，根据图象回答下列问题．
（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？
（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？
解 图象如图26．3．4，
（1）图象与x轴的交点坐标为（-1，0）、（3，0），与y轴的交点坐标为（0，-3）．
（2）当x= -1或x=3时，y=0，x的取值与方程的解相同．
（3）当x＜-1或x＞3时，y＞0；当 -1＜x＜3时，y＜0．
例2．（1）已知抛物线，当k= 时，抛物线与x轴相交于两点．
（2）已知二次函数的图象的最低点在x轴上，则a= ．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），且，则k的值是 ．
分析 （1）抛物线与x轴相交于两点，相当于方程有两个不相等的实数根，即根的判别式⊿＞0．
（2）二次函数的图象的最低点在x轴上，也就是说，方程的两个实数根相等，即⊿=0．
（3）已知抛物线与x轴交于两点A（α，0），B（β，0），即α、β是方程的两个根，又由于，以及，利用根与系数的关系即可得到结果．
实践与
探索2
例3．已知二次函数，
（1）试说明：不论m取任何实数，这个二次函数的图象必与x轴有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点都在原点的左侧？
（3）m为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y轴？
分析：（1）要说明不论m取任何实数，二次函数的图象必与x轴有两个交点，只要说明方程有两个不相等的实数根，即⊿＞0．w W w .X k b 1.c O m
（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②，③．综合以上条件，可解得所求m的值的范围．
（3）二次函数的图象的对称轴是y轴，说明方程有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②．
小结
与作业
回顾与反思
（1）二次函数图象与x轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．
（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x轴的交点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．
课堂作业：
1、函数（m是常数）的图象与x轴的交点有 （ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．1个或2个
2已知二次函数．
（1）说明抛物线与x轴有两个不同交点；
（2）求这两个交点间的距离（关于a的表达式）；
（3）a取何值时，两点间的距离最小？
家庭作业：《数学同步导学九下》P31 随堂演练
教学后记
教学内容
26 . 3 实践与探索（4）
本节共需4课时
本课为第4课时
主备人：
教学目标
掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．
教学重点
一元二次方程及二元二次方程组的图象解法
教学难点
一元二次方程及二元二次方程组的图象解法
教具准备
投影仪，胶片．
课型
新授课
教学过程
初 备
统 复 备
情境导入
上节课的作业第5题：画图求方程的解，你是如何解决的呢？我们来看一看两位同学不同的方法．
甲：将方程化为，画出的图象，观察它与x轴的交点，得出方程的解．
乙：分别画出函数和的图象，观察它们的交点，把交点的横坐标作为方程的解．
你对这两种解法有什么看法？请与你的同学交流．
实践与
探索1
例1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） ；
（2）．
分析 上面甲乙两位同学的解法都是可行的，但乙的方法要来得简便，因为画抛物线远比画直线困难，所以只要事先画好一条抛物线的图象，再根据待解的方程，画出相应的直线，交点的横坐标即为方程的解．
解 （1）在同一直角坐标系中画出
函数和的图象，
如图26．3．5，
得到它们的交点（-3，9）、（1，1），
则方程的解为 –3，1．
（2）解题略
实践与
探索2
例2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
(1)； （2）．
分析 （1）可以通过直接画出函数和的图象，得到它们的交点，从而得到方程组的解；（2）也可以同样解决．当1≤x≤2。5时，S随x的增大而增大。．
小结
与作业
回顾与反思：
一般地，求一元二次方程的近似解时，可先将方程化为，然后分别画出函数和的图象，得出交点，交点的横坐标即为方程的解．
课堂作业：
1．利用函数的图象，求下列方程的解：
（1） （2）
2．利用函数的图象，求下列方程组的解：
（1）； （2）．
家庭作业：X k B 1 . c o m
《数学同步导学九下》P34 随堂演练
教学后记
教学内容
第二十六章小结与复习
本节共需2课时
本课为第1课时
主备人：
教学目标
1）能结合实例说出二次函数的意义。
（2）能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
（3）掌握二次函数的平移规律。
（4）会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值。
（5）会用待定系数法灵活求出二次函数关系式。
（6）熟悉二次函数与一元二次方程及方程组的关系。
（7）会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题
教学重点
能写出实际问题中的二次函数的关系式，会画出它的图象，说出它的性质。
会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值
教学难点
会通过配方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标和最值会用二次函数的有关知识解决实际生活中的问题
教具准备
投影仪，胶片．
课型
复习课
教学过程
初 备
统 复 备
复习建构
一、知识结构：
二、注意事项：
在学习二次函数时，要注重数形结合的思想方法。在二次函数图象的平移变化中，在用待定系数法求二次函数关系式的过程中，在利用二次函数图象求解方程与方程组时，都体现了数形结合的思想。
复习题组
1．已知函数，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．
2．抛物线经过点（3，-1），则抛物线的函数关系式为 ．
3．抛物线，开口向下，且经过原点，则k= ．
4．点A（-2，a）是抛物线上的一点，则a= ； A点关于原点的对称点B是 ；A点关于y轴的对称点C是 ；其中点B、点C在抛物线上的是 ．
5．若二次函数的图象经过点（2，0）和点（0，1），则函数关系式为 ．
典例探究
例1某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
例2阅读下面的文字后，解答问题．
有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整
小结
与作业
课堂小结：
谈一下学习本章应该注意的问题有那些？
课堂作业：
1已知二次函数的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。
2已知抛物线与x轴的一个交点为A（-1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。
家庭作业：《数学同步导学九下》P37 训练巩固
教学后记
第28章 圆
28.1.1圆的基本元素
教学目标：使学生理解圆、等圆、等弧、圆心角等概念，让学生深刻认识圆中的基本概念。
重点难点： 1、重点：圆中的基本概念的认识。2、难点：对等弧概念的理解。
教学过程：
一、圆是如何形成的？
请同学们画一个圆，并从画圆的过程中阐述圆是如何形成的。
如右图，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形。同学们想一想，如何在操场上画出一个很大的圆？说说你的方法。
由以上的画圆和解答问题的过程中，让同学们思考圆的位置是由什么决定的？而大小又是由谁决定的？（圆的位置由圆心决定，圆的大小由半径长度决定）
二、圆的基本元素
问题：据统计，某个学校的同学上学方式是，有的同学步行上学，有的同学坐公共汽车上学，其他方式上学的同学有，请你用扇形统计图反映这个学校学生的上学方式。
我们是用圆规画出一个圆，再将圆划分成一个个扇形，右上图28.1.1就是反映学校学生上学方式的扇子形统计图。新 课 标 第 一 网
如图28.1.2,线段OA、OB、OC都是圆的半径，线段AB为直径，.这个以点O为圆心的圆叫作“圆O”，记为“⊙O”。线段AB、BC、AC都是圆O中的弦，曲线BC、BAC都是圆中的弧，分别记为、，其中像弧这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，像弧这样的大于半圆周的圆弧叫做优弧。
∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圆心角。
结合上面的扇形统计图，进一步阐述圆心角、优弧、劣弧等圆中的基本元素。
三、课堂练习： 1、直径是弦吗？弦是直径吗？ 2、半圆是弧吗？弧是半圆吗？
3、半径相等的两个圆是等圆，而两段弧相等需要什么条件呢？
4、说出右图中的圆心解、优弧、劣弧。 5、直径是圆中最长的弦吗？为什么？
四、小结：本节课我们认识了圆中的一些元素，同学应能从具体的图形中对这些元素加以识别。
五、作业： 1、如图，AB是⊙O的直径，C点在⊙O上，那么，哪一段弧是优弧，哪一段弧是劣弧？
2、经过A、B两点的圆的几个？它们的圆心都在哪里？
3、长方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上。
4、如图，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，，求OD的长。
5、已知：如图，OA、OB为⊙O的半径，C、D分别为OA、OB的中点，试说明AD=BC。
28.1.2圆的对称性
教学目标：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。
重点难点： 1、重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。
2、难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。
教学过程：
一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。
由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴。
二、新课
1、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等。
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
实验1、将图形28.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现，，。AB=AB
实质上，确定了扇形AOB的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。
问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？
在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？
实验2、如图28.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB、与，你能发现什么结论？
显然，如果CD是直径，AB是⊙O中垂直于直径的弦，那么，AC=BC，AD=BD。请同学们用一句话加以概括。 （ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）
2、同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用。（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计种植方案。（2）如图28.1.5，在⊙O中，，，求的度数。
3、课堂练习：P38练习1、2、3
三、课堂小结
本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等。（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等。（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等。（4）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
四、作业
Ｐ42 习题28.1 1、2、3、4、5
28.1.3圆周角
教学目标：使学生知道什么样的角是圆周角，了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征；并能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征解决相关问题，同时，通过对圆心角和圆周角关系的探索，培养学生运用已有知识，进行实验、猜想、论证，从而得到新知。
重点难点： 1、重点：认识圆周角，同一条弧的圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。
2、难点：发现同一条弧的圆周角和圆心角的关系，利用这个关系进一步得到其他知识，运用所得到的知识解决问题。
教学过程：
一、认识圆周角
如下图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角），今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。
究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的解就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。（顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角）练习：试找出图中所有相等的圆周角。
二、圆周角的度数
探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而的圆周角所对的弦是否是直径？
如图28.1.9，线段AB是⊙O的直径，点C是⊙O上任意一点（除点A、B）， 那 么，∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想想看，∠ACB会是怎么样的角？为什么呢？
启发学生用量角器量出的度数，而后让同学们再画几个直径AB所对的 圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于（或直角），进而给出严谨的说明。
证明：因为OA＝OB＝OC，所以△AOC、△BOC都是等腰三角形，所以∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB. 又　　∠OAC＋∠OBC＋∠ACB＝180°，所以　　∠ACB＝∠OCA＋∠OCB＝＝90°.因此，不管点C在⊙O上何处（除点A、B），∠ACB总等于90°，即
半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。反过来也是成立的，即90°的圆周角所对的弦是圆的直径
三、探究同一条弧所对的圆周角和圆心角的关系
1、分别量一量图28.1.10中弧AB所对的两个圆周角的度数比较一下. 再变动点C在圆周上的位置，看看圆周角的度数有没有变化. 你发现其中有什么规律吗？
　　（2） 分别量出图28.1.10中弧AB所对的圆周角和圆心角的度数，比较一下，你发现什么？
我们可以发现，圆周角的度数没有变化. 并且圆周角的度数恰好为同弧所对的圆心角的度数的一半。
　　由上述操作可以猜想：在一个圆中，一条弧所对的任意一个圆周角的大小都等于该弧所对的圆心角的一半。
为了验证这个猜想，如图28.1.11所示，可将圆对折，使折痕经过圆心O和圆周角的顶点C，这时可能出现三种情况：（1） 折痕是圆周角的一条边，（2） 折痕在圆周角的内部，（3） 折痕在圆周角的外部。
我们来分析一下第一种情况：如图28.1.11（1），由于OA＝OC，因此　 ∠A＝∠C，
而∠AOB是△OAC的外角，所以 ∠C＝∠AOB.
对（2）、（3），有同样的结论.（让同学们把推导的过程写出来），由以上的猜想和推导可以得到：
一条弧所对的圆周角等于该弧所对的圆心角的一半。
思考： 1、在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等吗？为什么？相等的圆周角所对的弧相等吗，为什么？
2、你能找出右图中相等的圆周角吗？
3、这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么简捷的办法？
w W w .x K b 1.c o M
4、如图，如图28.1.12，AB是⊙O的直径，∠A＝80°．求∠ABC的度数．
5、在圆中，一条弧所对的圆心角和圆周角分别为（2x＋100）°和（5x－30）°，求这条弧所对的圆心角和圆周角的度数.
四、小结
本节课我们一同探究了同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半；由这个结论进一步得到：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半； 相等的圆周角所对的弧相等；半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）。90°（直角）的圆周角所对的弦是圆的直径等结论，希望同学们通过复习，记住这些知识，并能做到灵活应用他们解决相关问题。
四、作业:
Ｐ52 习题28.1 6、7
28.2.1点与圆的位置关系
教学目标：使学生能够用数量关系来判断点与圆的位置关系,掌握不在一条直线上的三点确定一个圆,能画出三角形的外接圆,求出特殊三角形的外接圆的半径,渗透方程思想。
重点难点： 1、重点：用数量关系判断点和圆的位置关系,用尺规作三角形的外接圆,求直角三角形、等边三角形和等腰三角形的半径。2、难点：运用方程思想求等腰三角形的外接圆半径。
教学过程：
一、用数量关系来判断点和圆的位置关系
同学们看过奥运会的射击比赛吗？射击的靶子是由许多圆组成的，射击的成绩是由击中靶子不同位置所决定的；右图是一位运动员射击10发子弹在靶上留下的痕迹。你知道这个运动员的成绩吗？请同学们算一算。（击中最里面的圆的成绩为10环，依次为9、8、…、1环）
这一现象体现了平面上的点与圆的位置关系，如何判断点与圆的位置关系呢？我们知道圆上的所有点到圆心的距离都等于半径，若点在圆上，那么这个点到圆心的距离等于半径，若点在圆外，那么这个点到圆心的距离大于半径，若点在圆内，那么这个点到圆心的距离小于半径。
如图28.2.1，设⊙O的半径为r，A点在圆内，B点在圆上，C点在圆外，那
OA＜r， OB＝r， OC＞r．反过来也成立，即
若点A在⊙O内
若点A在⊙O上
若点A在⊙O外
思考与练习
1、⊙O的半径，圆心O到直线的AB距离。在直线AB上有P、Q、R三点，且有，，。P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎么样的？
2、中，，，，，对C点为圆心，为半径的圆与点A、B、D的位置关系是怎样的？
二、不在一条直线上的三点确定一个圆
问题与思考：平面上有一点A，经过A点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有两点A、B，经过A、B点的圆有几个？圆心在哪里？平面上有三点A、B、C，经过A、B、C三点的圆有几个？圆心在哪里？。
　　　

从以上的图形可以看到，经过平面上一点的圆有无数个，这些圆的圆心分布在整个平面；经过平面上两点的圆也有无数个，这些圆的圆心是在线段AB的垂直平分线上。经过A、B、C三点能否画圆呢？同学们想一想，画圆的要素是什么？（圆心确定圆的位置，半径决定圆的大小），所以关键的问题是定其加以和半径。
如图28.2.4，如果A、B、C三点不在一条直线上，那么经过A、B两点所画的圆的圆心在线段AB的垂直平分线上，而经过B、C两点所画的圆的圆心在线段BC的垂直平分线上，此时，这两条垂直平分线一定相交，设交点为O，则OA＝OB＝OC，于是以O为圆心，OA为半径画圆，便可画出经过A、B、C三点的圆．
思考：如果A、B、C三点在一条直线上，能画出经过三点的圆吗？为什么？
即有：不在同一条直线上的三个点确定一个圆
也就是说，经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个．经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心．这个三角形叫做这个圆的内接三角形．三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点，它到三角形三个顶点的距离相等。
思考：随意画出四点，其中任何三点都不在同一条直线上，是否一定可以画一个圆经过这四点？请举例说明。
三、例题讲解
例1、如图，已知中，，若， ，求的外接圆半径。
例2、如图，已知等边三角形ABC中，边长为，求它的外接圆半径。
例3、如图，等腰中，，，求外接圆的半径。
四、小结
本节课我们学习了用数量关系判断点和圆的位置关系和不在同一直线上的三点确定一个圆，求解了特殊三角形直角三角形、等边三角形、等腰三角形的外接圆半径，在求解等腰三角形外接圆半径时，运用了方程的思想，希望同学们能够掌握这种方法，领会其思想。
五、作业
Ｐ54 习题28.2 1、2、3、4
28.2.2直线与圆的位置关系
教学目标：使学生掌握直线与圆的位置关系，能用数量来判断直线与圆的位置关系。
重点难点：用数量关系（圆心到直线的距离）判断直线与圆的位置关系即是教学重点又是教学难点。
教学过程：
一、用移动的观点认识直线与圆的位置关系
1、同学们也许看过海上日出，如右图中，如果我们把太阳看作一个圆，那么
太阳在升起的过程中，它和海平面就有右图中的三种位置关系。
2、请同学在纸上画一条直线，把硬币的边缘看作圆，在纸上移动硬币，你能发现直线与圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
二、数量关系判断直线与圆的位置关系
从以上的两个例子，可以看到，直线与圆的位置关系只有以下三种，如下图所示：
如果一条直线与一个圆没有公共点，那么就说这条直线与这个圆相离，如图28.2.6（1）所示． 如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么就说这条直线与这个圆相切，如图28.2.6（2）所示．此时这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点．如果一条直线与一个圆有两个公共点，那么就说这条直线与这个圆相交，如图28.2.6（3）所示．此
时这条直线叫做圆的割线．
如何用数量来体现圆与直线的位置关系呢？
如上图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，从图中可以看出：
若 直线l与⊙O相离；
若 直线l与⊙O相切；
若 直线l与⊙O相交；
所以，若要判断圆与直线的位置关系，必须对圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，由比较的结果得出结论。
三、练习与例题
练习1、已知圆的半径等于5厘米，圆心到直线l的距离是：（1）4厘米；（2）5厘米；（3）6厘米.直线l和圆分别有几个公共点？分别说出直线l与圆的位置关系。
练习2、已知圆的半径等于10厘米，直线和圆只有一个公共点，求圆心到直线的距离.
练习3、如果⊙O的直径为10厘米，圆心O到直线AB的距离为10厘米，那么⊙O 与直线AB有怎样的位置关系？
例1、如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的直径AB交小圆于点C、D，大圆的弦EF与小圆相切于点C，ED交小圆于点G， 设大圆的半径为，，求小圆的半径和EG的的长度。

三、小结
本节课我们学习了直线与圆的位置关系，当我们判断直线与圆的位置关系时，应该用数量关系（圆心到直线的距离）来体现，即上面讲解的圆心到直线的距离与圆的半径进行比较大小，从而断定是哪种关系。
若 直线l与⊙O相离；
若 直线l与⊙O相切；
若 直线l与⊙O相交；
四、作业
Ｐ55 习题28.2 5、6、7
切线（一）
教学目标：
1、使学生掌握切线的识别方法，并能初步运用它解决有关问题；
2、通过切线识别方法的学习，培养学生观察、分析、归纳问题的能力；
教学重点和难点：
切线的识别方法是重点；而方法的理解及实际运用是难点．
教学过程设计：
　 一、从学生已有的知识结构提出问题
1、复习、回顾直线与圆的三种位置关系．
2、根据几何画板所示图形，请学生判断直线和圆的位置关系．
学生判断的过程，提问：你是怎样判断出图中的直线和圆相切的？根据学生的回答，继续提出问题：如何界定直线与圆是否只有一个公共点？（画板演示）
教师指出，根据切线的定义可以识别一条直线是不是圆的切线，但有时使用定义识别很不方便，为此我们还要学习识别切线的其它方法．(板书课题)
　 二、师生共同探讨、发现结论
1、由上面的复习，我们可以把上节课所学的切线的定义作为识别切线的方法1——定义法：与圆只有一个公共点的直线是圆的切线．
2、当然，我们还可以由上节课所学的用圆心到直线的距离与半径之间的关系来判断直线与圆是否相切，即：当时，直线与圆的位置关系是相切．以此作为识别切线的方法2——数量关系法：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线．
3、继续观察复习时的图形，如图，圆心到直线的距离等于半径，直线是⊙O的切线，这时我们来观察直线与⊙O的位置，可以发现：（1）直线经过半径的外端点；（2）直线垂直于半径．这样我们就得到了从位置上来判断直线是圆的切线的方法3——位置关系法：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4、思考：现在，任意给定一个圆，你能不能作出圆的切线？应该如何作？
请学生回顾作图过程，切线是如何作出来的?它满足哪些条件? 引导学生总结出：①经过半径外端；②垂直于这条半径．
请学生继续思考：这两个条件缺少一个行不行? （学生画出反例图）
（图1） （图2） 　　　　　　　　（图3）
图(1)中直线经过半径外端，但不与半径垂直； 图(2)中直线与半径垂直，但不经过半径外端． 从以上两个反例可以看出，只满足其中一个条件的直线不是圆的切线．
最后引导学生分析，方法3实际上是从前一节所讲的“圆心到直线的距离等于半径时直线和圆相切”这个结论直接得出来的，只是为了便于应用把它改写成“经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”这种形式．
　 三、应用定理，强化训练
　
例1、如图，已知直线AB经过⊙O上的点A，并且AB＝OA，(OBA=45(，
直线AB是⊙O的切线吗？为什么？
例2、如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于点A、C，(BAD＝(B＝30(，边BD交圆于点D．BD是⊙O的切线吗？为什么？
分析：欲证BD是⊙O的切线，由于BD过圆上点D，若连结OD，则BD过半径OD的外端，因此只需证明BD⊥OD，因OA＝OD，(BAD＝(B，易证BD⊥OD．
教师板演，给出解答过程及格式．
课堂练习：课本49页练习1－4
四、小结 提问：这节课主要学习了哪些内容?需要注意什么问题?
在学生回答的基础上，教师总结： 主要学习了切线的识别方法，着重分析了方法3成立的条件，在应用方法3时，注重两个条件缺一不可．　
识别一条直线是圆的切线，有三种方法：
(1)根据切线定义判定，即与圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
(2)根据圆心到直线的距离来判定，即与圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线；
(3)根据直线的位置关系来判定，即经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的 切线，
说明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线，如果已知直线过圆上某一点，则作出过 这一点的半径，证明直线垂直于半径即可(如例2)．
　 五、布置作业
　
28.2.4切线（2）
教学目标：
通过探究,使学生发现、掌握切线长定理，并初步长定理，并初步学会应用切线长定理解决问题，同时通过从三角形纸片中剪出最大圆的实验的过程中发现三角形内切圆的画法，能用内心的性质解决问题。
重点难点：
1、重点：切线长定理及其应用，三角形的内切圆的画法和内心的性质。
2、难点：三角形的内心及其半径的确定。
教学过程：
一、巩固上节课学习的知识
请同学们回顾一下，如何判断一条直线是圆的切线？圆的切线具有什么性质？（经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径。）
你能说明以下这个问题？
如右图所示，PA是的平分线，AB是⊙O的切线，切点E，那么AC是⊙O的切线吗？为什么？
解：连结OE，过O作，垂足为F点
因为 AB是⊙O的切线
所以
又因为PA是的平分线，
所以
所以 AC是⊙O的切线w W w .x K b 1.c o M
二、探究从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等以及这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角
问题1、从圆外一点可以作圆的几条切线？请同学们画一画。
2、请问：这一点与切点的两条线段的长度相等吗？为什么？
3、切线长的定义是什么？
通过以上几个问题的解决，使同学们得出以下的结论：
从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
在解决以上问题时，鼓励同学们用不同的观点、不同的知识来解决问题，它既可以用书上阐述的对称的观点解决，也可以用以前学习的其他知识来解决问题。
三、对以上探究得到的知识的应用
思考：右图，PA、PB是，切点分别是A、B，直线EF也是⊙O的切线，切点为P，交PA、PB为E、F点，已知，，（1）求的周长；（2）求的度数。
解：（1）连结PA、PB、EF是⊙O的切线
所以，，
所以的周长
（2）因为PA、PB、EF是⊙O的切线
所以，，
，
所以
所以
四、三角形的内切圆
想一想，发给同学们如图28.2.11所示三角形纸片，请在它的上面截一个面积最大的圆形纸片？
提示：画圆必须确定其位置和大小，即确定圆的圆心和半径，而要截出的圆的面积最大，这个圆必须与三角形的三边都相切。
如图28.2.12，在△ABC中，如果有一圆与AB、AC、BC都相切，那么该圆的
圆心到这三角形的三边的距离都相等，如何找到这个圆的圆心和半径呢？
等待同学们想过之后再阐述如何确定圆心和半径。
我们知道，角平分线上的点到角的两边距离相等，反过来，到角两边距离相等
的点在这个角的平分线上。因此，圆心就是△ABC的角平分线的交点，而半径是这
个交点到边的距离。
根据上述所阐述的，同学们只要分别作、的平分线，他们的交
点I就是圆心，过I点作，线段ID的长度就是所要画的圆的半径，因此以I点为圆心，ID长为半径作圆，则⊙I必与△ABC的三条边都相切。
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形，三角形的内心就是三角形三条内角平分线的交点，它到三角形三边的距离相等。
问题：三角形的内切圆有几个？一个圆的外切圆三角形是否只有一个？
例题：△ABC 的内切圆⊙O 与AC、AB、BC分别相切于点D、E、F，且AB＝5厘米，BC＝9厘米，AC＝6厘米，求AE、BF和CD的长。
解：因为⊙O 与△ABC 的三边都相切
所以，，
设。，
则
解得：，，
即，，
五、课堂练习
Ｐ51 练习1、2、3
六、小结
1、切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，切线长相等。这一点与圆心连线平分两条切线的夹角。
2、三角形的内切的内心是三角形三条角平分线的交点，它到三角形三条边的距离相等。
七、作业
Ｐ55 习题10、11、12
28.2.5圆与圆的位置关系
教学目标：
使学生了解圆与圆位置关系的定义，掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。
重点难点：
用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点，又是本节课的教学难点。
教学过程：
一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形
在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示：
圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。
二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系
请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。
如图28.2.14（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图28.2.14（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做内切。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图28.2.14（6）所示。
三、用数量关系识别两圆的位置关系
思考：如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）为9，你能确定他们的位置关系吗？若圆心距分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？
利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。
（1）两圆外离；
（2）两圆外切；
（3）两圆外离；
（4）两圆外离；
（5）两圆外离；
为了使学生对两圆的位置关系用数量关系体现有更深刻的理解以及更牢的记忆，教师可有以下数轴的形式让学生加以理解。
要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆外切，等于两圆的半径差时，两圆内切。若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆相交，大于两圆半径和时，两圆外离，小于两圆半径差时，两圆内含。
四、例题与练习
例1、已知⊙A、⊙B相切，圆心距为10 cm，其中⊙A的半径为4 cm，求⊙B的半径。
分析：两圆相切，有可能两圆外切，也有可能两圆内切，所以⊙B的半径就有两种情况。
解 　设⊙B的半径为R．
（1） 如果两圆外切，那么X k B 1 . c o m
d＝10＝4＋R，
R＝6．
（2） 如果两圆内切，那么
d＝｜R－4｜＝10，
R＝－6（舍去），R＝14．
所以⊙B的半径为6 cm或14 cm
例2、两圆的半径的比为，内切时的圆心距等于，那么这两圆相交时圆心距的范围是多少？
解：设其中一个圆的半径为，则另一个圆的半径为
因为内切时圆心距等于8
所以
所以
当两圆相交时，圆心距的取值范围是
练习：课本Ｐ54 练习1、2、3
五、小结
就好象识别点与圆、直线与圆的位置关系一样，这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时，关系式比较多，也难于忘记，如果同学们能够掌握老师上课时讲的用数轴来体现圆与圆的位置关系，理解起来就会更深刻，记忆也会更容易。
六、作业
Ｐ55 习题8、9
28.3.1弧长和扇形的面积
教学目标：
认识扇形，会计算弧长和扇形的面积，通过弧长和扇形面积的发现与推导，培养学生运用已有知识探究问题获得新知的能力。
重点难点：
1、重点：弧长和扇形面积公式，准确计算弧长和扇形的面积。
2、难点：运用弧长和扇形的面积公式计算比较复杂图形的面积。
教学过程：
一、发现弧长和扇形的面积的公式
1、弧长公式的推导。
如图28.3.1是圆弧形状的铁轨示意图，其中铁轨的半径为100米，圆心角为90°．你能求出这段铁轨的长度吗?（取3.14）我们容易看出这段铁轨是圆周长的，
所以铁轨的长度 l≈＝157.0（米）.
问题：上面求的是的圆心角所对的弧长，若圆心角为，如何计算它所对的弧长呢？
请同学们计算半径为，圆心角分别为、、、、所对的弧长。
等待同学们计算完毕，与同学们一起总结出弧长公式（这里关键是圆心角所对的弧长是多少，进而求出的圆心角所对的弧长。）
弧长的计算公式为
练习：已知圆弧的半径为50厘米，圆心角为60°，求此圆弧的长度。
2、扇形的面积。
如图28.3.3，由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形
问：右图中扇形有几个？
同求弧长的思维一样，要求扇形的面积，应思考圆心角为的扇形面积圆
面积的几分之几？进而求出圆心角的扇形面积。
如果设圆心角是n°的扇形面积为S，圆的半径为r，那么扇形的面积为
.
因此扇形面积的计算公式为 或
练习:1、如果扇形的圆心角是280°，那么这个扇形的面积等于这个扇形所在圆的面积的____________；
2、扇形的面积是它所在圆的面积的，这个扇形的圆心角的度数是_________°.
3、扇形的面积是S，它的半径是r，这个扇形的弧长是_____________
二、例题讲解
例1　如图28.3.5，圆心角为60°的扇形的半径为10厘米，求这个扇
形的面积和周长．（π≈3.14）
解：　因为n＝60°，r＝10厘米，所以扇形面积为
=52.33(平方厘米)；
扇形的周长为
＝30.47（厘米）。
例2、右图是某工件形状，圆弧BC的度数为，，点B到点C的距离等于AB，
，求工件的面积。
解：因为的度数为，
所以点A在所在的圆上，设这个圆的圆心为O点
连结OA、OB、OC、BC
所以
所以是等边三角形
因为AB=BC
所以也是等边三角形
所以四边形AOCB是菱形
那么OA∥BC，则
所以S工件=S扇形BOC
三、小结
本节课我们共同探寻了弧长和扇形面积的计算公式，一方面，要理解公式的由来，另一方面，能够应用它们计算有关问题，在计算力求准确无误。
四、作业
Ｐ62 习题28。3 1、2
28.3.2圆锥的侧面积和全面积
教学目标：通过实验知道圆锥的侧面积展开图是扇形，知道圆锥各部分的名称，能够计算圆锥的侧面积和全面积。
重点难点：圆锥的侧面展开图，计算圆锥的侧面积和全面积。
教学过程：
一、由具体的模型认识圆锥的侧面展开图，认识圆锥各个部分的名称
把一个课前准备好的圆锥模型沿着母线剪开，让学生观察圆锥的侧面展开图，　
学生容易看出，圆锥的侧面展开图是一个扇形。
如图 28.3.6，我们把圆锥底面圆周上的任意一点与圆锥顶点的连线叫做圆锥的　
母线，连结顶点与底面圆心的线段叫做圆锥的高，如图中，而就是圆锥的高。
问题：圆锥的母线有几条？
二、圆锥的侧面积和全面积
问题；1、沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么关系？
2、圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥中的哪一条线段相等？
圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长，圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径。
圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面授周长、半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，而圆锥的全面积就是它的侧面积与它的底面积的和。
三、例题讲解
例１、一个圆锥形零件的母线长为a，底面的半径为r，求这个圆锥形零件的侧面积和全面积．
　　解 圆锥的侧面展开后是一个扇形，该扇形的半径为a，扇形的弧长为2πr，所以
　　　　　　　　S侧＝1/2×2πr×a＝πra；　　S底＝πr2；　　　S＝πra＋πr2．
　　　答：这个圆锥形零件的侧面积为πra，全面积为πra＋πr2
例2、已知：在中，，，，求以AB为轴旋转一周所得到的几何体的全面积。
分析：以AB为轴旋转一周所得到的几何体是由公共底面的两个圆锥所组成的几何体，因此求全面积就是求两个圆锥的侧面积。
解：过C点作，垂足为D点
因为三角形ABC是，，，，
所以
底面周长为
所以S全
答：这个几何体的全面积为。
四、课堂练习：P62练习1、2
五、小结
本节课我们认识了圆锥的侧面展开图，学会计算圆锥的侧面积和全面积，在认识圆锥的侧面积展开图时，应知道圆锥的底面周长就是其侧面展开图扇形的弧长。圆锥的母线就是其侧面展开图扇形的半径，这样在计算侧面积和全面积时才能做到熟练、准确。
六、作业
Ｐ62 习题3、4
第27章 证 明
单元要点分析
1．通过具体例子，使学生体会证明的必要性；弄清推理证明需要的依据，掌握推理证明的方法，能用综合法证明的格式；了解定义，命题、定理的含义，能说出命题的题设和结论，会写出一道命题的逆命题，知道原命题正确，而它的逆命题不一定正确的事实。
2．应用推理证明的方法进一步研究等腰三角形等具体几何图形的性质定理和判定定理，并能应用这些定理证明其他的命题。
3．注重证明定理的过程性教学，力求通过研究具体几何图形的性质定理和判定定理，培养学生的逻辑思维能力，在证明过程中强调步步要有依据。
4．掌握三角形，梯形的中位线定理，并能应用定理解决相关问题，在证明这两个定理时，让学生体会“转化”的数学思想。
5．通过实例，体会反证法的含义，由具体的例子，理解反例的作用，知道用反例证明一个命题是错误的命题。
重点、难点与关键
重点：
1．熟练掌握初中阶段学过的公理、定义、等式、不等式的性质，因为这些是逻辑推理证明的依据。
2．从具体图形的判定定理和性质定理的证明过程中，培养学生的逻辑思维能力，拓宽同学解决问题的思路。
3．能够应用所学定理进行相关问题的证明，培养同学应用知识解决问题的能力。
4．使学生理解证明的基本要求，有条理地阐述自己的想法，推理必须有依据，表述必须条理清楚。
难点：
1．用推理证明研究具体几何图形时，引导学生添加恰当的辅助线，使命题得到证明；
2．证明命题时，有条理地阐述自己观点，正确地推理和表述。
3．学生逻辑思维能力的培养。
关键：
“巧妇难为无米之炊”，因此在本章的教学活动中，首先要让同学熟记所学过的公　理、定理、定义等，学生只有掌握了这些基本的事实，才能在证明命题过程中思路开拓，游刃有余；其二是证明思路的引导，正确阐述自己的观点。做到步步有依据；其三是正确表述。

§27．1 证明的再认识
【教学目标】：
使学生理解推理证明是判断猜想正确与否的重要手段，明确推理证明所要依据的公理，掌握证明的方法，培养学生逻辑推理能力。
【重点难点】：
重点：推理证明的方法和学生逻辑推理能力的培养。
难点：学生逻辑推理能力的培养。
【教学过程】：
一、理解为何需要推理证明
同学们想一想，我们是如何知道三角形内角和等于180°呢?当时我们通过画不同的三角形，测量出它们的内角，然后算得各个三角形的三个内角和为180°，或将一个三角形的三个内角拼在一起(如图(1)，发现三角形的三个内角的和筹于180°。
　
用测量的方法能保证每次画出的三角形的内角和正好等于180°吗?用观察的方法能保证三个内角拼成的角一定是平角吗?为了确保精确无误，人们发现以下证明的方法。
二、如何证明一个命题
求证：三角形的内角等于180°。
已知：如图(2)，任意△ABC的内角为∠A、∠B、∠C。
求证：∠A+∠B+∠C＝180°。
证明：延长线段AB到D，过B点作BE∥AC。
∵AC＝BE
∴∠2＝∠C(两直线平行，内错角相等)
∠1＝∠A(两直线平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ABC＝180°(平角的定义)
∴∠A+∠ABC+∠C＝180°(等量代换)
上面的括号里的内容是这一步的依据，所谓推理、证明讲究的是依据，这些依据从哪里来呢?
三、推理证明的依据
逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据。上面，学习了一些公理(事实)。
(1)一条直线截两条平行线所得的同位角相等。
(2)两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。
(3)如果两个三角形的两边及其夹角(或两角及其夹边、或三边)分别对应相等，那么这两个三角形全等。
(4)全等三角形的对应边、对应角分别相等。
等式、不等式的有关性质以及等量代换也是逻辑推理的依据。
在以上这些基础上，用逻辑推理的方法去证明几何图形的有关命题，并将证得的可以作为进一步推理依据的真命题称为定理。凡是书上有写为定理的命题都可作为进一步推理的依据。
四、练习证明命题
1、求证：n边形的内角和等于(n－2)×180°。

老师画出上述图形，让学生完成证明过程。
2．求证：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
证明一道命题，首先应依据题意画出图形，而后写出已知、求证，最后加以证明。
已知：如图，∠CBD是△ABC的一个外角。
求证：∠CBD＝∠A＋∠C
证明：∵∠A+∠ABC+∠C＝180°(三角形内角和定理)
∴∠A+∠C＝180°－∠ABC(等式的性质)
又∵∠ABC＋∠CBD＝180°(平角的定义)
∴∠CBD＝180°－∠ABC(等式的性质)
∴∠CBD＝∠A+∠C
由于上述命题也经常需要用来作为判断其他命题真假的依据，因此把上述命题也作为定理，在课本中如有特别黑体的命题，我们都可以把它当做定理使用。
练习：课本第33页的练习。
五、课堂小结
通过本节课的学习，同学们认识了推理证明的必要性，知道了证明的方法和步骤，希望同学们把以前学过的公理，定理等复习一遍，牢记在心，这对今后的推理证明的学习有极大的帮助。
六、作业
课本第33页习题27．1的第1、2、3、4题。
补充作业：
1．如图，AB∥CD，GE平分∠BEF，GF平分∠EFD。求证：∠G＝90°，
　　　　　
2．如图，F、C是线段BE上两点，BF＝CE，AB＝DE，∠B＝∠E，QR∥BE。求证：∠Q＝∠R。
3．如右图，已知CD是△ABC的外角∠ACE的平分线，BD平分∠ABC，请你猜想∠A与∠D之间的关系?并证明你的结论。
§27.2 用推理方法研究三角形
第一课时 等腰三角形
【教学目标】：
使同学们用推理的方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理，并能熟练应用等腰三角形判定定理和性质定理解决问题，进一步理解证明在数学学习中的必要性。
【重点难点】：
重点：等腰三角形的判定定理和性质定理的推理过程是教学重点。
难点：用推理的方法研究等腰三角形的判定和性质定理时，辅助线的添加以及对定理“HL”的证明。
【教学过程】：
一、给出问题，学习讨论，回忆
1．如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等吗?
(等角对等边)
如图(1)，∠B＝∠C，AB与AC相等吗?D，连结AD，然后沿AD对折，经过观察AB和AC完全重合，于是得到AB＝AC。
3．为什么当△ABC沿AD对折时，AB与AC完全重合呢?你们能否用逻辑推理的证明方法来说明这个问题?
二、用逻辑推理方法证明等腰三角形的判定定理和性质定理
1．等腰三角形的判定定理。
已知：如图(1)，在△ABC中，∠B＝∠C；
求证：AB＝AC。
分析：要证明两条线段相等，可设法构造两个全等三角形，使AB、AC分别是这两个全等三角形的对应边。基于这种想法，同学们会想到画什么样的辅助线呢?
同学的回答可能是以下三种；
(1)取BC的中点D，连结AD；
(2)画∠BAC的平分线AD；
(3)过顶点A作底边BC的高线AD。
老师就第(2)种给出以下证明：
证明：画∠BAC的平分线AD。
在△BAD和△CAD中
∵∠B＝∠C(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(AAS)
∴AB＝AC
请同学们给出第(3)种添加辅助线的证明过程，并就第(1)种的添加方法证明AB＝AC是否可行，展开讨论。
由于以上的等腰三角形的识别方法是经过逻辑推理证明它是正确的，而且在今后的其他命题证明中经常用到，所以我们把它称为等腰三角形的判定定理，即：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，简称为(“等角对等边”)。
2．等腰三角形的性质定理
等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)。
等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合。(“等腰三角形的三线合一”)
对以上命题的证明，让同学们画出相应图形，并写出已知、求证，写出证明过程。
已知：如图(2)，在△ABC中，AB＝AC。
求证：∠B＝∠C。
证明：画∠BAC的平分线
∵AB＝AC(已知)
∠1＝∠2(画图)
AD＝AD(公共边)
∴△BAD≌△CAD(SAS)
∴∠B＝∠C
3．如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
已知：如图(3)，在△ABC和△A'B'C'中，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°，AB=A'B'，AC=A'C'。
求证：△ABC≌△A'B'C'
分析：把△ABC和△A'B'C'拼在一起，使相等的的直角边AC和A'C'重合在一起，并使点B和点B'在A'C'的两旁，B、C(C')、B'在一条直线上，由上述图形，利用等腰直角三角形的性质与全等三角形的识别方法，即可证明这两个直角三角形全等。
证明：像图(3)一样，把△ABC和△A'B'C'拼在一起。
∵∠A'C'B'=∠ACB＝90°(已知)
∴∠B'C'B＝180°
∴点B'、C'、B在同一条直线上。
在△A'B'B中，因为
∵A'B'＝AB＝A'B(已知)
∴∠B=∠B'(等边对等角)
在△ABC和△A'B'C'中，
∵∠ACB=∠A'C'B'(已知)
∠B＝∠B'(已证)
AB=A'B'(已知)
∴△ABC≌△A'B'C'(AAS)
斜边、直角边定理：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。
三、课堂练习
1. 求证；等边三角形的各角相等，并且每一个角都等于60°。
2．求证；三个角都相等的三角形是等边三角形。
四、小结
本节课我们用推理证明的方法证明了等腰三角形的性质定理、判定定理和直角三角形的判定定理“HL”，要求同学们初步掌握命题证明的步骤、方法。体会逻辑推理证明重要性。
五、作业
课本第44页，习题27．2的第1、2题。
补充作业：
1：如图，△ABC中，AB＝AC，D、E、F分别是BC、AB、AC上的点，BD＝CF，CD＝BE，G为EF中点，连结OG，问DG与EF之间有何关系?证明你的结论。

2．已知点D为等边△ABC内一点，且AD＝CD，PC＝AC，DC平分∠BCP，求∠P的度数。
3．如图，点C在线段AB上，△ACM和△CBN是等边三角形，AN交MC于P，BM交CN于Q，连结PQ，试判断△PCQ的形状．并证明你的结论。
§27.2 等腰三角形
第二课时 角平分线
【教学目标】：
使学生掌握用推理证明角平分线的性质定理和判定定理，进一步掌握证明命题的方法，能够运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：角平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用角平分线的性质定理和判定定理解决问题。
难点：角平分线性质定理和判定定理的应用以及学生的逻辑思维能力的培养。
【教学过程】：
一、回忆，思考
如右图，OC平分∠AOB，那么OC上的点具备什么性质呢?角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，这条性质是怎样得到的呢?
如图(1)，在OC上任取一点P，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D和点E，当时是在半透明纸上描出了这个图，然后沿着射线OC对折。通过观察，线段PD和PE完全重合。于是得到PD＝PE，由于P点的任意性，所以得到，角平分线上的点到角两边的距离相等。
二、推理证明角平分线的性质定理和判定定理
1．角平分线的性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等(让同学写出已知、求证)。
已知：如图(1)，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，点D、E为垂足。
求证：PD=PE。
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB(已知)
∴∠PDO=∠PEO=90°，(垂直定义)
在△PDO和△PEO中
∵∠DOP=∠EOP(已知)
∠PDO=∠PEO(已证)
PO＝PO(公共边)
∴△PDO≌△PEO(AAS)
∴PD＝PE(全等三角形的对应边相等)
2．角平分线的判定定理
求证：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
请同学们根据上述命题的意思，画出图形，写出已知、求证，并写出证明的全过程。
已知：如图(2)，QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE。
求证：点Q在∠AOB的平分线上．
分析；为了证明点Q在∠AOB的平分线上，可以画射线OQ，而论证明∠QOD＝∠QOE，从(2)图中可以看出，∠QOD和∠QOE分别在△QOD和△QOE中，那么就要证明△QDD与△QOE全等。
证明： 作射线OQ，
∵QD⊥OA，QE⊥0B(已知)
∴∠OEQ=∠ODQ=90°(垂直定义)
又∵QE=QD(已知)
OQ=OQ(公共边)
∴Rt△OQD≌Rt△OQE(HL)
∴∠EOQ＝∠DOQ(全等三角形的对应角相等)
∴点Q在∠AOB的平分线上。
定理：到一个角两边的距离相等的点在这个角的平分线上。
3．定理的应用
(1)三角形的三条角平分线交于一点吗?为什么?这一点称为三角形的 心。(让学生思考，回答后，老师再给出以下的证明。)
证明：如图(3)过O点分别作OP⊥AB，OG⊥BC，OH⊥AC，垂足分别为P、G、H。
∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC。
∴OP＝OH OP＝OG(角平分线上的到角两边的距离相等)
∴OG＝OH(等量代换)
∴O点在∠ACB的平分线上新 -课-标-第- 一-网
∴三角形三条角平分线交于一点，这点称为三角形的内心。

(2)如图(4)，已知：△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为E、F。
求证：EB＝FC
证明：∵AD是△ABC的平分线。(已知)
DE⊥AB于E点，DF⊥AC于F点(已知)
∴DE＝DF(角平分线性质定理)
∠DEB＝∠DFC(垂直定义)
在Rt△DEB和Rt△DFC中
∵DE＝DF(已证)
BD＝CD(已知)
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴BE＝CF(全等三角形的对应边相等)
三、课堂练习
1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到∠AOB的两边OA、OB的距离相等。

2。如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于F，求证，点F在∠DAE的平分线上。
四、课堂小结
本节课推理证明了角平分线的性质和判定定理，这两个定理是相反的过程，同学们可以想想它们的题设是什么?结论是什么?同时，要注意学习证明定理的思想方法，并能应用这些方法和定理本身内容解决问题。
五、作业
课本第44页，习题27．2的第3题。
补充作业：
1．如图，已知：∠BAC＝30°，G是∠BAC的平分线上一点，EG∥AC交AB于E，GD⊥AC于D，求CD∶GE的值。

2如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB交AB于E，，D在AC上，且∠CB0＝20°，求∠CED的度数。
3．如图，E是∠CAF内一点，D在AC上，E在AP上，且DC＝EF，△BCD与△BEF的面积相等，求证：AB平分∠CAF。
4. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E、F分别在AB、AC上．且∠EDF+∠EAF＝180°。求证：DE=DF。

第三课时 线段的垂直平分线
【教学目标】：
使学生能够推理证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理，掌握命题证明的方法，能运用证明定理的方法和定理本身内容解决问题，培养学生的逻辑思维能力。
【重点难点】：
重点：线段垂直平分线性质定理和判定定理的推理证明过程，运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。
难点：线段垂直平分线性质定理的应用以及逻辑思维能力的培养。
【教学过程】：
一、回忆与思考
我们已经知道线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是线段的对称轴，知道线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
问题：当时同学们怎么知道以上这条性质呢?同学们能否通过逻辑推理证明这条性质呢?
二、新课
1．线段垂直平分线的性质定理
在同学们回答问题后，老师给出以下证明：
已知：如图(1)，MN是线段AB的垂直平分线，C是垂足，点P是直线MN上任意一点。
求证：PA＝PB。
证明：∵MN是线段AB的垂直平分线(已知)
∴∠PCA＝∠PCB＝90°(垂直定义)
AC＝BC(中点定义)
在△PCA和△PCB中w W w .x K b 1.c o M
∵AC＝BC(已证)
∠PCA＝∠PCB(已证)
PC＝PC(公共边)
∴△PCA≌△PCB(SAS)
∴PA＝PB(全等三角形的对应边相等)
定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。
2．线段垂直平分线上的判定定理
问题：到一条线段的两个端点的距离相等的点是否一定在这条线段的垂直平分线上呢?同学们能否用“证明”回答这个问题。
已知：如图(2)，QA＝OB
求证：点Q在线段AB的垂直平分线上。

分析：为了证明点Q在线段AB的垂直平分线上，可以先经过点Q画线段AB的垂线，然后证明该垂线平分线段AB；也可以先平分线段AB，设线段AB的中点为点C，连结QC，然后证明QC垂直于线段AB。
请同学们根据老师分析的完成证明过程。
定理：到一条线段的两个端点的距离相等的点。在这条线段的垂直平分线上。
3．对定理的应用
(1)三角形的外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，为什么这三条垂直平分线就交于一点呢?
待同学们思考、讨论后，老师给出解答。
证明：设AB、BC的垂直平分线l、m交于O点
则OA=OB，OB=OC
∴OA=OC
∴O点在线段AC的垂直平分线n上。
∴三角形的三条边的垂直平分线交于一点。
(2)如图(4)，在△ABC中，AB=AC，∠BAC＝120°，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，且BC=18cm，求DE的长。
分析：由DE垂直平分AC，同学们会想到添加哪条辅助线?
显然，连结AD较合理，这样就得到DA=DC，从而∠1=∠C=30°，∠BAD=90°，然后根据已知条件即可求出DE的长度。
解：连结AD
∵DE垂直平分AC
∴DA=DC
∴∠1=∠C
又∵AB=AC ∠BAC=120°
∴∠B＝∠C=30°
∴∠BAD＝∠BAC-∠1=90°
设DE=x，则CD=2x
∴AD=2x
∴BD=4x
∵CD+BD=BC
∴4x+2x=18
∴x=3cm
答：DE的长度为3cm。
三、课堂练习
1．如图，在直线l上找出一点P，使得点P到已知点A、B的距离相等。

2．如图，已知AE=CE，BD⊥AC，求证：DA+BA=BC+DC
3。如图，在△ABC上，已知点D在BC上，且BD+AD=BC。求证：点D在AC的垂直平分线上。
四、小结
通过本节课的学习，同学们应进一步掌握线段垂直平分线的性质定理和判定定理，并能应用定理解决问题，在定理证明和运用定理解决问题的过程中不断地提高自己的推理能力。
五、作业
课本第44页至45页的第4、5题。
补充作业：
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝40°，AC的垂直平分线MN与AB交于D点，求∠BCD的度数。
2．如图，△ABC的周长为19cm，且AB＝AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，E为垂足，BC＝5cm，求△BCD的周长。

3．如图，MN垂直平分线段AB、CD，垂足分别为E、F，求证：AC＝BD，∠ACD＝∠BDC。
第四课时 逆命题、逆定理
【教学目标】：
使学生知道命题的题设与结论，能正确写出命题的逆命题，理解原命题与逆命题的关系，培养学生的语言发达能力和逆向思维能力。
【重点难点】：
重、难点：正确写出原命题的逆命题，用反例说明命题是假命题。
【教学过程】：
一、引入
请同学们看以下两句话，并回答问题：
(1)马是吃草的动物；
(2)吃草的动物是马。
上面两句话是命题吗?它们之间有何关系?
二、新课
1．弄清命题的题设和结论
我们知道，可以判断正确或错误的句子叫做命题；像上述两个句子都是命题。又如“两直线平行，内错角相等”和“内错角相等，两直线平行”都是命题。
问：命题是由哪两个部分组成的呢?(题设、结论)，请同学们说出以下几个命题的题设和结论。
(1)等腰三角形的底角相等。
(2)角平分线上的点到角两边的距离相等。
(3)线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；
(4)对顶角相等。
2．原命题和逆命题的关系
每一个命题都有逆命题，只要将原命题的题设改成结论，并将结论改成?