5.2.1 函数的表示法 教案

第五章　函数概念与性质
第5.2.1节　函数的表示法
形式化、符号化，是数学的重要特征，如所有的函数关系都可以用y＝f(x)这个等式来表示，不仅简单，而且也可加深对函数概念本质的理解．数学的发展引起了计算工具的改革和进步，反过来，计算工具的广泛应用，又促进了数学的发展．因此学好函数的表示方法，是学好函数的基础，
课程目标 学科素养
1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点. 2.掌握求函数解析式的常见方法. 3.尝试作图并从图象上获取有用的信息． a数学抽象：换元法、方程组法求函数解析式 b数据分析：从图象上获取有用的信息 c数学运算：求函数解析式的运算
1.教学重点：函数的三种表示法
2.教学难点：求函数的解析式
1．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是(　　)
A．f(x)＝x2－1 B．f(x)＝－(x－1)2＋1
C．f(x)＝(x－1)2＋1 D．f(x)＝(x－1)2－1
答案　D
2．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t，离开家里的路程为d，下面图形中，能反映该同学的行程的是(　　)
答案　C
3．画出y＝2x2－4x－3，x∈(0,3]的图象，并求出y的最大值、最小值．
解　y＝2x2－4x－3(0由图易知，当x＝3时，ymax＝2×32－4×3－3＝3.
由y＝2x2－4x－3＝2(x－1)2－5，
∴当x＝1时，ymin＝－5.
函数的表示方法
(1)解析法：就是用等式来表示两个变量之间函数关系的方法．这个等式叫做函数解析式．
(2)列表法：就是用列表来表示两个变量之间函数关系的方法．
(3)图象法：就是用图象来表示两个变量之间函数关系的方法．
典例剖析
类型一　解析式的求法
例1　根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(f(x))＝2x－1，其中f(x)为一次函数；
解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
则f(f(x))＝af(x)＋b＝a(ax＋b)＋b
＝a2x＋ab＋b＝2x－1，
由恒等式性质，得
∴或
∴所求函数解析式为
f(x)＝x＋1－或f(x)＝－x＋1＋.
(2)f(2x＋1)＝6x＋5；
解　方法一　设2x＋1＝t，则x＝，
∴f(t)＝6·＋5＝3t＋2.
∴f(x)＝3x＋2.
方法二　f(2x＋1)＝6x＋5＝3(2x＋1)＋2，
∴f(x)＝3x＋2.
(3)f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x.
解　∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，
将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x，
∴联立以上两式消去f(－x)，得3f(x)＝x2－6x，
∴f(x)＝x2－2x.
总结　(1)如果已知函数类型，可以用待定系数法．
(2)如果已知f(g(x))的表达式，想求f(x)的解析式，可以设 t＝g(x)，然后把f(g(x))中每一个x都换成t的表达式．
(3)如果条件是一个关于f(x)，f(－x)的方程，我们可以用x的任意性进行赋值．如把每一个x换成－x，其目的是再得到一个关于f(x)，f(－x)的方程，然后利用消元法消去f(－x)．
变式训练　根据下列条件，求f(x)的解析式．
(1)f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9；
解　由题意，设f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∵3f(x＋1)－f(x)＝2x＋9，
∴3a(x＋1)＋3b－ax－b＝2x＋9，
即2ax＋3a＋2b＝2x＋9，
由恒等式性质，得
∴a＝1，b＝3.
∴所求函数解析式为f(x)＝x＋3.
(2)f(x＋1)＝x2＋4x＋1；
解　方法一　设x＋1＝t，则x＝t－1，
f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1，
即f(t)＝t2＋2t－2.
∴所求函数解析式为f(x)＝x2＋2x－2.
方法二　f(x＋1)＝(x＋1－1)2＋4(x＋1－1)＋1
＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2，
∴f(x)＝x2＋2x－2.
(3)2f ＋f(x)＝x(x≠0)．
解　∵f(x)＋2f ＝x，将原式中的x与互换，
得f ＋2f(x)＝.
于是得关于f(x)的方程组
解得f(x)＝－(x≠0)．
类型二　函数的画法及应用
例2　 已知f(x)的图象如图所示，则f(x)的定义域为________，值域为________．
答案　[－2,4]∪[5,8]　[－4,3]
解析　函数的定义域对应图象上所有点横坐标的取值集合，值域对应纵坐标的取值集合．
变式训练：函数f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象与y＝m有两个交点，求实数m的取值范围．
解　f(x)＝x2－4x＋3(x≥0)的图象如图，
f(x)与直线y＝m有2个不同交点，由图易知－1总结　函数图象很直观，在解题过程中常用来帮助理解问题的数学本质，依托函数图象可以更直观地寻求问题的解决思路和要点．
类型三　列表法表示函数及应用
例3　若函数f(x)如下表所示：
x 0 1 2 3
f(x) 2 2 1 0
(1)求f(f(1))的值；
(2)若f(f(x))＝1，求x的值．
解　(1)∵f(1)＝2，∴f(f(1))＝f(2)＝1.
(2)设f(x)＝t，由表知，当f(t)＝1时，对应的t＝2，
即f(x)＝2，再由表求得当且仅当x＝0或1时，f(x)＝2.
∴x＝0或x＝1.
变式训练：已知函数f(x)由下表给出，求满足f(f(x))>f(3)的x的值.
x 1 2 3
f(x) 2 3 1
解　∵f(3)＝1.
当f(f(x))>1时，f(x)＝1或2.
当f(x)＝1时，x＝3.
当f(x)＝2时，x＝1.
∴满足条件的x的值为1或3.
总结　列表法能直接地表示x的值与对应y的值，解题时要充分利用这个特点给x求y或给y求x.
本节内容我们要做到理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．尤其对于方程组法求解析式这种抽象问题，可以先从具体的数值引入，比如求f（2）。