湘教版 七年级数学下册 2.2 乘法公式 教案
文档属性
| 名称 | 湘教版 七年级数学下册 2.2 乘法公式 教案 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 56.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 湘教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-18 23:26:04 | ||
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文档简介
2．2 乘法公式
2．2.1 平方差公式
【教学目标】
1．使学生理解和掌握平方差公式．
2．会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用．
【教学重难点】
重点：弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点．
难点：准确理解和掌握公式的结构特征．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
回顾整式乘法中多项式与多项式相乘
1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．符号表示：(m＋b)(n＋a)＝mn＋ma＋bn＋ba.
2．两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明．
教学说明
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备．
【思考探究，获取新知】
1．计算下列各式：
(1),(a＋1)(a－1)； (2),(a＋2)(a－2)；
＝,a2－a＋a－12 ＝,a2－2a＋2a－22
＝,a2－1 ＝,a2－4
(3),(a＋3)(a－3)； (4),(a＋4)(a－4)；
＝,a2－3a＋3a－32 ＝,a2－4a＋4a－42
＝,a2－9 ＝,a2－16
2．观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？你能计算(a＋b)(a－b)吗？
归纳总结
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，两数和与两数差的积，等于它们的平方差．
教学说明
在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述．
3．应用平方差公式时应注意些什么呢？
(1)注意平方差公式的适用范围；
(2)字母a、b可以是数，也可以是整式；
(3)注意计算过程中的符号和括号．
4．如图，将边长为a的大正方形减去一个边长为b的小正方形，并将剩
余的部分沿虚线剪开，得到两个长方形，在将这两个长方形拼成如图2，你能用这两个图形来解释平方差公式吗？
①请表示图1中阴影部分的面积．
②小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
③比较①，②的结果，你能验证平方差公式吗？
④叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；
⑤试比较公式的两种表达式在应用上的差异．
归纳结论
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
教学说明
经过对两个图形的面积的计算，使学生明白可以通过几何图形对平方差公式进行验证．进一步加深对平方差公式的理解．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P43例1、例2、例3.
2．填空题．
(x＋6)(6－x)＝________，
(－x＋)(－x－)＝________，
(－2a2－5b)( )＝4a2－25b2.
答案：36－x2；x2－；－2a2＋5b.
3．下列式中能用平方差公式计算的有( D )
①(x－y)(x＋y)
②(3a－bc)(－bc－3a)
③(3－x＋y)(3＋x＋y)
④(100＋1)(100－1)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列式中，运算正确的是( C )
①(22a)2＝4a2
②(－x＋1)(1＋x)＝1－x2
③(m－1)2(1－m)3＝(m－1)5
④2a×4b×8＝2a＋2b＋3
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．乘法等式中的字母a、b表示( D )
A．只能是数
B．只能是单项式
C．只能是多项式
D．单项式、多项式都可以
6．计算：
(1)(2a－3b)(2a＋3b)；
解：原式＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2
(2)(－p2＋q)(－p2－q)；
解：原式＝(－p2)2－(q)2＝p4－q2
(3)(4a－7b)(4a＋7b)；
解：原式＝(4a)2－(7b)2＝16a2－49b2
(4)(a＋b)(a－b)
解：原式＝(a)2－(b)2＝a2－b2
(5)－[(5＋2x)(5－2x)]
解：原式＝－[(5＋2x)(5－2x)]
＝－[52－(2x)2]＝－25＋4x2
(6)403×397.
解：原式＝(400＋3)(400－3)
＝4002－32＝159991
7．计算(a＋1)(a－1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)．
解：原式＝(a2－1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)
＝(a4－1)(a4＋1)(a8＋1)
＝(a8－1)(a8＋1)
＝a16－1
教学说明
在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能．
【师生互动，课堂小结】
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差．
2．应用平方差公式的注意事项：
(1)注意平方差公式的适用范围；
(2)字母a、b可以是数，也可以是整式；
(3)注意计算过程中的符号和括号．
【课后作业】
1．布置作业：教材第50页“习题2.2”中第1题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
2．2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
【教学目标】
理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景．
过程与方法
经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识．
情感态度价值观
在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美．
【教学重难点】
重点：1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点
2．会用完全平方公式进行运算．
难点：会用完全平方公式进行运算．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗？
(x＋3)2＝________，(x－3)2＝________，
这些式子的左边和右边有什么规律？再做几个试一试：(2m＋3n)2＝，(2m－3n)2＝.
教学说明
让学生运用多项式乘以多项式的法则进行计算，为本节课学习完全平方公式做准备．
【思考探究，获取新知】
1．计算下列式子，你能发现什么规律？
(1)(a＋1)2；
＝(a＋1)(a＋1)
＝a2＋a＋a＋12
＝a2＋2×a＋12
＝a2＋2a＋12
(2)(a＋2)2；
＝(a＋2)(a＋2)
＝a2＋2a＋2a＋22
＝a2＋2×2a＋22
＝a2＋4a＋22
规律：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
2．观察上面的计算结果，回答下列问题：
(1)原式的特点？两数和的平方．
(2)结果的项数特点？等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍．
(3)三项系数的特点？(特别是符号的特点)．
(4)三项与原多项式中两个单项式的关系．
3．再举两例验证你的发现．
4．你能用自己的语言叙述这一公式吗？
归纳结论
两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍．即：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
5．用一个边长为a＋b的正方形按下图分割成4块，你能用这个图形来解释完全平方公式吗？
6．议一议：(a－b)2＝？你是怎样做的？
7．你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言叙述这一公式．
归纳结论
两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍．即：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
上面的两个公式称为完全平方公式．
8．分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式．
结构特点：左边是二项式(两数和(差))的平方；右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍．
语言描述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍．
教学说明
让学生观察、思考、总结，归纳，使之掌握基本的数学活动经验，让学生用文字语言表示公式，提高学生运用数学语言的能力．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P45例4.
2．填空题：
(x＋3y)2＝________； (________)2＝9a2－________＋16b2；
________＝y2－y＋； (－x－y)________＝x2＋2xy＋y2.
答案：x2＋6xy＋9y2；3a－4b；24ab；(y－)2；(－x－y)．
3．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算( C )
A．(a＋b)(a＋c) B．(x＋y)(－y＋x)
C．(ab－3x)(－3x＋ab) D．(m－n)(m＋n)
4．计算：
(x－2y)2；
解：原式＝(x)2－2(x)(2y)＋(2y)2
＝x2－2xy＋4y2.
(2xy＋x)2；
解：原式＝(2xy)2＋2(2xy)(x)＋(x)2
＝4x2y2＋x2y＋x2.
(4x＋0.5)2；
解：原式＝(4x)2＋2×4x×0.5＋(0.5)2
＝16x2＋4x＋0.25.
(2x2－3y2)2.
解：原式＝(2x2)2－2(2x2)(3y2)＋(3y2)2
＝4x4－12x2y2＋9y4.
5．利用完全平方公式计算：
(1)(－1－2x)2；
解：原式＝(－1)2－2×(－1)×(2x)＋(2x)2
＝1＋4x＋4x2.
(2)(－2x＋1)2.
解：原式＝(－2x)2＋2(－2x)×1＋12
＝4x2－4x＋1.
教学说明
让学生熟悉公式的特征，培养学生的观察、分析、归纳概括的能力；让学生思考、得出结论，可以使学生有效避免出现易错的符号问题．
【师生互动，课堂小结】
通过本节课的学习，你在知识上有哪些收获，哪些能力得到了提高？
引导学生自主总结，组织学生互相交流各自的收获与体会，成功与失败．明确以下几点：
1．完全平方公式是两数和与两数差的平方公式的统称．
2．公式中的a、b可以是任意数或代数式．
3．公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方．
【课后作业】
1．布置作业：教材第50页“习题2.2”．中第2、3题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
第2课时 应用完全平方公式进行计算
【教学目标】
1．熟记完全平方公式，能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感．
2．能够运用完全平方公式进行简便运算，体会符号运算对解决问题的作用．
【教学重难点】
重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算．
难点：灵活运用完全平方公式进行整式的简便运算．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
复习已学过的完全平方公式．
1．完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减．
3．想一想：
(1)两个公式中的字母都能表示什么？
数或代数式
(2)根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗？
(3)完全平方公式在计算化简中有些什么作用？
教学说明
本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础，同时经过本环节中的第三个问题的思考，也使学生明确了本节课学习的初步目标，起到了承上启下的作用．
【思考探究，获取新知】
1．运用完全平方公式计算：
(1)(－x＋1)2；
解：(－x＋1)2＝(－x)2＋2(－x)·1＋12＝x2－2x＋1.
(2)(－2x－3)2.
解：＝[－(2x＋3)]2
＝(2x＋3)2
＝4x2＋12x＋9.
2．计算：
(1)(a＋b)2－(a－b)2；
解：(a＋b)2－(a－b)2
＝a2＋2ab＋b2－(a2－2ab＋b2)
＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2
＝4ab. (2)(a＋b＋1)2；
解：(a＋b＋1)2
＝[(a＋b)＋1]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)＋1
＝a2＋2ab＋b2＋2a＋2b＋1.
3．计算：
(1)1042；
解：1042＝(100＋4)2＝1002＋2×100×4＋42＝10 000＋800＋16＝10 816.
(2)1982；
解：1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.
教学说明
能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习．
【运用新知，深化理解】
1．若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k＝( D )
A．5 B．－5 C．10 D．－10
2．如果x2＋4x＋k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为( D )
A．4 B．2 C．－2 D．±2
3．用完全平方差公式计算．
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)(10＋0.2)
＝102－0.22＝100－0.04
＝99.96.
(2)89.82；
解：原式＝(90－0.2)2
＝902－2×0.2×90＋0.22
＝8 064.04.
(3)472－94×27＋272；
解：原式＝472－2×47×27＋272
＝(47－27)2
＝202
＝400.
(4)(a＋b＋c)2；
解：原式＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)·c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.
4．(1)已知a＋b＝3，ab＝2，求a2＋b2.
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab.
∵a＋b＝3，ab＝2，
∴a2＋b2＝32－2×2＝5.
(2)若已知a＋b＝10，a2＋b2＝4，ab的值呢？
解：∵a＋b＝10，
∴(a＋b)2＝102＝100，
即a2＋2ab＋b2＝100，∴2ab＝100－(a2＋b2)．
又∵a2＋b2＝4，∴2ab＝100－4，ab＝48.
教学说明
使学生进一步熟悉乘法公式的运用，同时进一步体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式．
【师生互动，课堂小结】
1．完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号．
2．解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择．
【课后作业】
1．布置作业：教材第50页“习题2.2”中第4题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
2．2.3 运用乘法公式进行计算
【教学目标】
1．熟练地运用乘法公式进行计算．
2．能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算．
【教学重难点】
重点：正确选择乘法公式进行运算．
难点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
1．什么是平方差公式？
2．什么是完全平方公式？
3．在应用乘法公式时应注意些什么？
教学说明
通过对乘法公式的复习，为本节课的学习作准备．
【思考探究，获取新知】
1．同学们，我们在学习的过程中会碰到很多的“难题”，其实我们只要经过仔细的观察、认真的思考，我们会发现大部分的难题是由简单的因素构成的，下面我们一起来处理两个问题．
(1)(a＋1)(a2＋1)(a－1)；
＝(a＋1)(a－1)(a2＋1)(乘法的交换律)
＝(a2－1)(a2＋1)
＝(a2)2－1
＝a4－1.
(2)(a＋b＋1)(a＋b－1)．
＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]
＝(a＋b)2－1
＝a2＋2ab＋b2－1.
教学说明
老师和学生一起探讨，发现学生学习过程存在的困难，可以引导学生讨论解决．
2．运用乘法公式计算：
(1)[(a＋3)(a－3)]2；
解：[(a＋3)(a－3)]2
＝(a2－9)2
＝(a2)2－2·a2·9＋92
＝a4－18a2＋81.
(2)(a－b＋c)(a＋b－c)．
解：(a－b＋c)(a＋b－c)
＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]
＝a2－(b－c)2
＝a2－(b2－2bc＋c2)
＝a2－b2＋2bc－c2.
3．运用乘法公式计算：(a＋b＋c)2.
解：(a＋b＋c)2
＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
教学说明
教师引导学生正确的选择乘法运算公式．
归纳结论
遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以到达简化运算的目的．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P49例9.
2．下列运算中，正确的是( C )
A．(a＋3)(a－3)＝a2－3
B．(3b＋2)(3b－2)＝3b2－4
C．(3m－2n)(－2n－3m)＝4n2－9m2
D．(x＋2)(x－3)＝x2－6
3．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( B )
A．(x＋1)(1＋x) B．(a＋b)(b－a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(x＋y2)
4．解方程：
5x＋6(3x＋2)(－2＋3x)－54(x－)(x＋)＝2.
解：5x＋6(9x2－4)－54(x2－)＝2
5x＋54x2－24－54x2＋6＝2
5x＝20
x＝4.
5．计算：
(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)＋.
解：原式＝2(1－)(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)＋
＝2(1－)＋
＝2.
6．已知x－＝3，求x4＋的值．
解：由x－＝3，得(x－)2＝9
即x2＋－2＝9
∴x2＋＝11
∴(x2＋)2＝121，即x4＋＋2＝121
∴x4＋＝119.
7．观察下列各式的规律．
12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；
22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；
32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；
…
(1)写出第2014行的式子；
(2)写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．
解：(1)(2 014)2＋(2 014×2 015)2＋(2 105)2＝(2 014×2 015＋1)2
(2)n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
证明：∵n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2
＝n2＋n2(n＋1)2＋n2＋2n＋1
＝n2＋n2(n2＋2n＋1)＋n2＋2n＋1
＝n2＋n4＋2n3＋n2＋n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1.
而[n(n＋1)＋1]2＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1
＝n2(n2＋2n＋1)＋2n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋n2＋2n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1，
所以n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
教学说明
及时巩固新知，进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中a，b的含义的广泛性．
【师生互动，课堂小结】
今天学到了什么？有何体会？试讲出来与大家交流．
【课后作业】
1．布置作业：教材第50页“习题2.2”中第5、6题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
2．2.1 平方差公式
【教学目标】
1．使学生理解和掌握平方差公式．
2．会利用公式进行计算，能够掌握平方差公式的一些应用．
【教学重难点】
重点：弄清平方差公式的来源及其结构特点，能用自己的语言说明公式及其特点．
难点：准确理解和掌握公式的结构特征．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
回顾整式乘法中多项式与多项式相乘
1．多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．符号表示：(m＋b)(n＋a)＝mn＋ma＋bn＋ba.
2．两项式乘以两项式，结果可能是两项吗？请你举例说明．
教学说明
平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，它的得出可以直接利用多项式乘以多项式法则，设计这一环节的目的是在复习上节课知识的基础上，为本节课的学习做好知识准备．
【思考探究，获取新知】
1．计算下列各式：
(1),(a＋1)(a－1)； (2),(a＋2)(a－2)；
＝,a2－a＋a－12 ＝,a2－2a＋2a－22
＝,a2－1 ＝,a2－4
(3),(a＋3)(a－3)； (4),(a＋4)(a－4)；
＝,a2－3a＋3a－32 ＝,a2－4a＋4a－42
＝,a2－9 ＝,a2－16
2．观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律？你能计算(a＋b)(a－b)吗？
归纳总结
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2，两数和与两数差的积，等于它们的平方差．
教学说明
在上一环节的基础上，引入形式特殊的多项式乘以多项式，使学生在计算过程中发现规律，体会规律的一般性，提出自己的猜想，并尝试用数学语言进行描述．
3．应用平方差公式时应注意些什么呢？
(1)注意平方差公式的适用范围；
(2)字母a、b可以是数，也可以是整式；
(3)注意计算过程中的符号和括号．
4．如图，将边长为a的大正方形减去一个边长为b的小正方形，并将剩
余的部分沿虚线剪开，得到两个长方形，在将这两个长方形拼成如图2，你能用这两个图形来解释平方差公式吗？
①请表示图1中阴影部分的面积．
②小颖将阴影部分拼成了一个长方形(如图2)，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
③比较①，②的结果，你能验证平方差公式吗？
④叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；
⑤试比较公式的两种表达式在应用上的差异．
归纳结论
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
教学说明
经过对两个图形的面积的计算，使学生明白可以通过几何图形对平方差公式进行验证．进一步加深对平方差公式的理解．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P43例1、例2、例3.
2．填空题．
(x＋6)(6－x)＝________，
(－x＋)(－x－)＝________，
(－2a2－5b)( )＝4a2－25b2.
答案：36－x2；x2－；－2a2＋5b.
3．下列式中能用平方差公式计算的有( D )
①(x－y)(x＋y)
②(3a－bc)(－bc－3a)
③(3－x＋y)(3＋x＋y)
④(100＋1)(100－1)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．下列式中，运算正确的是( C )
①(22a)2＝4a2
②(－x＋1)(1＋x)＝1－x2
③(m－1)2(1－m)3＝(m－1)5
④2a×4b×8＝2a＋2b＋3
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
5．乘法等式中的字母a、b表示( D )
A．只能是数
B．只能是单项式
C．只能是多项式
D．单项式、多项式都可以
6．计算：
(1)(2a－3b)(2a＋3b)；
解：原式＝(2a)2－(3b)2＝4a2－9b2
(2)(－p2＋q)(－p2－q)；
解：原式＝(－p2)2－(q)2＝p4－q2
(3)(4a－7b)(4a＋7b)；
解：原式＝(4a)2－(7b)2＝16a2－49b2
(4)(a＋b)(a－b)
解：原式＝(a)2－(b)2＝a2－b2
(5)－[(5＋2x)(5－2x)]
解：原式＝－[(5＋2x)(5－2x)]
＝－[52－(2x)2]＝－25＋4x2
(6)403×397.
解：原式＝(400＋3)(400－3)
＝4002－32＝159991
7．计算(a＋1)(a－1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)．
解：原式＝(a2－1)(a2＋1)(a4＋1)(a8＋1)
＝(a4－1)(a4＋1)(a8＋1)
＝(a8－1)(a8＋1)
＝a16－1
教学说明
在深刻理解公式的基础上，借助例题训练学生正确应用公式计算，体会公式在简化运算中的作用，并通过巩固练习，进一步强化技能．
【师生互动，课堂小结】
1．平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差．
2．应用平方差公式的注意事项：
(1)注意平方差公式的适用范围；
(2)字母a、b可以是数，也可以是整式；
(3)注意计算过程中的符号和括号．
【课后作业】
1．布置作业：教材第50页“习题2.2”中第1题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
2．2.2 完全平方公式
第1课时 完全平方公式
【教学目标】
理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算，了解完全平方公式的几何背景．
过程与方法
经历探索完全平方公式的过程，并从推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力，培养学生的数形结合意识．
情感态度价值观
在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感受数学的内在美．
【教学重难点】
重点：1.弄清完全平方公式的来源及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点
2．会用完全平方公式进行运算．
难点：会用完全平方公式进行运算．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
同学们，前面我们学习了多项式乘多项式法则和合并同类项法则，你会计算下列各题吗？
(x＋3)2＝________，(x－3)2＝________，
这些式子的左边和右边有什么规律？再做几个试一试：(2m＋3n)2＝，(2m－3n)2＝.
教学说明
让学生运用多项式乘以多项式的法则进行计算，为本节课学习完全平方公式做准备．
【思考探究，获取新知】
1．计算下列式子，你能发现什么规律？
(1)(a＋1)2；
＝(a＋1)(a＋1)
＝a2＋a＋a＋12
＝a2＋2×a＋12
＝a2＋2a＋12
(2)(a＋2)2；
＝(a＋2)(a＋2)
＝a2＋2a＋2a＋22
＝a2＋2×2a＋22
＝a2＋4a＋22
规律：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
2．观察上面的计算结果，回答下列问题：
(1)原式的特点？两数和的平方．
(2)结果的项数特点？等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍．
(3)三项系数的特点？(特别是符号的特点)．
(4)三项与原多项式中两个单项式的关系．
3．再举两例验证你的发现．
4．你能用自己的语言叙述这一公式吗？
归纳结论
两数和的平方，等于它们平方的和，加上它们乘积的两倍．即：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2.
5．用一个边长为a＋b的正方形按下图分割成4块，你能用这个图形来解释完全平方公式吗？
6．议一议：(a－b)2＝？你是怎样做的？
7．你能自己设计一个图形解释这一公式吗？并用自己的语言叙述这一公式．
归纳结论
两数差的平方，等于它们平方的和，减去它们乘积的两倍．即：(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
上面的两个公式称为完全平方公式．
8．分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式．
结构特点：左边是二项式(两数和(差))的平方；右边是两数的平方和加上(减去)这两数乘积的两倍．
语言描述：两数和(或差)的平方，等于这两数的平方和加上(或减去)这两数积的两倍．
教学说明
让学生观察、思考、总结，归纳，使之掌握基本的数学活动经验，让学生用文字语言表示公式，提高学生运用数学语言的能力．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P45例4.
2．填空题：
(x＋3y)2＝________； (________)2＝9a2－________＋16b2；
________＝y2－y＋； (－x－y)________＝x2＋2xy＋y2.
答案：x2＋6xy＋9y2；3a－4b；24ab；(y－)2；(－x－y)．
3．下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算( C )
A．(a＋b)(a＋c) B．(x＋y)(－y＋x)
C．(ab－3x)(－3x＋ab) D．(m－n)(m＋n)
4．计算：
(x－2y)2；
解：原式＝(x)2－2(x)(2y)＋(2y)2
＝x2－2xy＋4y2.
(2xy＋x)2；
解：原式＝(2xy)2＋2(2xy)(x)＋(x)2
＝4x2y2＋x2y＋x2.
(4x＋0.5)2；
解：原式＝(4x)2＋2×4x×0.5＋(0.5)2
＝16x2＋4x＋0.25.
(2x2－3y2)2.
解：原式＝(2x2)2－2(2x2)(3y2)＋(3y2)2
＝4x4－12x2y2＋9y4.
5．利用完全平方公式计算：
(1)(－1－2x)2；
解：原式＝(－1)2－2×(－1)×(2x)＋(2x)2
＝1＋4x＋4x2.
(2)(－2x＋1)2.
解：原式＝(－2x)2＋2(－2x)×1＋12
＝4x2－4x＋1.
教学说明
让学生熟悉公式的特征，培养学生的观察、分析、归纳概括的能力；让学生思考、得出结论，可以使学生有效避免出现易错的符号问题．
【师生互动，课堂小结】
通过本节课的学习，你在知识上有哪些收获，哪些能力得到了提高？
引导学生自主总结，组织学生互相交流各自的收获与体会，成功与失败．明确以下几点：
1．完全平方公式是两数和与两数差的平方公式的统称．
2．公式中的a、b可以是任意数或代数式．
3．公式的条件是：两数和的平方或两数差的平方．
【课后作业】
1．布置作业：教材第50页“习题2.2”．中第2、3题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
第2课时 应用完全平方公式进行计算
【教学目标】
1．熟记完全平方公式，能说出公式的结构特征，进一步发展学生的符号感．
2．能够运用完全平方公式进行简便运算，体会符号运算对解决问题的作用．
【教学重难点】
重点：运用完全平方公式进行一些数的简便运算．
难点：灵活运用完全平方公式进行整式的简便运算．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
复习已学过的完全平方公式．
1．完全平方公式：
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；
(a－b)2＝a2－2ab＋b2.
2．公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减．
3．想一想：
(1)两个公式中的字母都能表示什么？
数或代数式
(2)根据两数和或差的完全平方公式，能够计算多个数的和或差的平方吗？
(3)完全平方公式在计算化简中有些什么作用？
教学说明
本堂课的学习方向首先仍是对于完全平方公式的进一步巩固应用，因而复习是很有必要的，这为后面的学习奠定了一定的基础，同时经过本环节中的第三个问题的思考，也使学生明确了本节课学习的初步目标，起到了承上启下的作用．
【思考探究，获取新知】
1．运用完全平方公式计算：
(1)(－x＋1)2；
解：(－x＋1)2＝(－x)2＋2(－x)·1＋12＝x2－2x＋1.
(2)(－2x－3)2.
解：＝[－(2x＋3)]2
＝(2x＋3)2
＝4x2＋12x＋9.
2．计算：
(1)(a＋b)2－(a－b)2；
解：(a＋b)2－(a－b)2
＝a2＋2ab＋b2－(a2－2ab＋b2)
＝a2＋2ab＋b2－a2＋2ab－b2
＝4ab. (2)(a＋b＋1)2；
解：(a＋b＋1)2
＝[(a＋b)＋1]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)＋1
＝a2＋2ab＋b2＋2a＋2b＋1.
3．计算：
(1)1042；
解：1042＝(100＋4)2＝1002＋2×100×4＋42＝10 000＋800＋16＝10 816.
(2)1982；
解：1982＝(200－2)2＝2002－2×200×2＋22＝40 000－800＋4＝39 204.
教学说明
能够运用完全平方公式进行一些有关数的简便运算，进一步体会完全平方公式在实际当中的应用，并通过练习加以巩固．需要注意的是，本题的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，不要在简便运算上做过多练习．
【运用新知，深化理解】
1．若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k＝( D )
A．5 B．－5 C．10 D．－10
2．如果x2＋4x＋k2恰好是另一个整式的平方，那么常数k的值为( D )
A．4 B．2 C．－2 D．±2
3．用完全平方差公式计算．
(1)9.8×10.2；
解：原式＝(10－0.2)(10＋0.2)
＝102－0.22＝100－0.04
＝99.96.
(2)89.82；
解：原式＝(90－0.2)2
＝902－2×0.2×90＋0.22
＝8 064.04.
(3)472－94×27＋272；
解：原式＝472－2×47×27＋272
＝(47－27)2
＝202
＝400.
(4)(a＋b＋c)2；
解：原式＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2(a＋b)·c＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2.
4．(1)已知a＋b＝3，ab＝2，求a2＋b2.
解：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab.
∵a＋b＝3，ab＝2，
∴a2＋b2＝32－2×2＝5.
(2)若已知a＋b＝10，a2＋b2＝4，ab的值呢？
解：∵a＋b＝10，
∴(a＋b)2＝102＝100，
即a2＋2ab＋b2＝100，∴2ab＝100－(a2＋b2)．
又∵a2＋b2＝4，∴2ab＝100－4，ab＝48.
教学说明
使学生进一步熟悉乘法公式的运用，同时进一步体会完全平方公式中字母a，b的含义是很广泛的，它可以是数，也可以是整式．
【师生互动，课堂小结】
1．完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号．
2．解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择．
【课后作业】
1．布置作业：教材第50页“习题2.2”中第4题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．
2．2.3 运用乘法公式进行计算
【教学目标】
1．熟练地运用乘法公式进行计算．
2．能正确地根据题目的要求选择不同的乘法公式进行运算．
【教学重难点】
重点：正确选择乘法公式进行运算．
难点：综合运用平方差和完全平方公式进行多项式的计算．
【教学过程】
【情景导入，初步认识】
1．什么是平方差公式？
2．什么是完全平方公式？
3．在应用乘法公式时应注意些什么？
教学说明
通过对乘法公式的复习，为本节课的学习作准备．
【思考探究，获取新知】
1．同学们，我们在学习的过程中会碰到很多的“难题”，其实我们只要经过仔细的观察、认真的思考，我们会发现大部分的难题是由简单的因素构成的，下面我们一起来处理两个问题．
(1)(a＋1)(a2＋1)(a－1)；
＝(a＋1)(a－1)(a2＋1)(乘法的交换律)
＝(a2－1)(a2＋1)
＝(a2)2－1
＝a4－1.
(2)(a＋b＋1)(a＋b－1)．
＝[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]
＝(a＋b)2－1
＝a2＋2ab＋b2－1.
教学说明
老师和学生一起探讨，发现学生学习过程存在的困难，可以引导学生讨论解决．
2．运用乘法公式计算：
(1)[(a＋3)(a－3)]2；
解：[(a＋3)(a－3)]2
＝(a2－9)2
＝(a2)2－2·a2·9＋92
＝a4－18a2＋81.
(2)(a－b＋c)(a＋b－c)．
解：(a－b＋c)(a＋b－c)
＝[a－(b－c)][a＋(b－c)]
＝a2－(b－c)2
＝a2－(b2－2bc＋c2)
＝a2－b2＋2bc－c2.
3．运用乘法公式计算：(a＋b＋c)2.
解：(a＋b＋c)2
＝[(a＋b)＋c]2
＝(a＋b)2＋2c(a＋b)＋c2
＝a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc.
教学说明
教师引导学生正确的选择乘法运算公式．
归纳结论
遇到多项式的乘法时，我们要先观察式子的特征，看能否运用乘法公式，以到达简化运算的目的．
【运用新知，深化理解】
1．见教材P49例9.
2．下列运算中，正确的是( C )
A．(a＋3)(a－3)＝a2－3
B．(3b＋2)(3b－2)＝3b2－4
C．(3m－2n)(－2n－3m)＝4n2－9m2
D．(x＋2)(x－3)＝x2－6
3．下列多项式的乘法中，可以用平方差公式计算的是( B )
A．(x＋1)(1＋x) B．(a＋b)(b－a)
C．(－a＋b)(a－b) D．(x2－y)(x＋y2)
4．解方程：
5x＋6(3x＋2)(－2＋3x)－54(x－)(x＋)＝2.
解：5x＋6(9x2－4)－54(x2－)＝2
5x＋54x2－24－54x2＋6＝2
5x＝20
x＝4.
5．计算：
(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)＋.
解：原式＝2(1－)(1＋)(1＋)(1＋)(1＋)＋
＝2(1－)＋
＝2.
6．已知x－＝3，求x4＋的值．
解：由x－＝3，得(x－)2＝9
即x2＋－2＝9
∴x2＋＝11
∴(x2＋)2＝121，即x4＋＋2＝121
∴x4＋＝119.
7．观察下列各式的规律．
12＋(1×2)2＋22＝(1×2＋1)2；
22＋(2×3)2＋32＝(2×3＋1)2；
32＋(3×4)2＋42＝(3×4＋1)2；
…
(1)写出第2014行的式子；
(2)写出第n行的式子，并说明你的结论是正确的．
解：(1)(2 014)2＋(2 014×2 015)2＋(2 105)2＝(2 014×2 015＋1)2
(2)n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
证明：∵n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2
＝n2＋n2(n＋1)2＋n2＋2n＋1
＝n2＋n2(n2＋2n＋1)＋n2＋2n＋1
＝n2＋n4＋2n3＋n2＋n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1.
而[n(n＋1)＋1]2＝[n(n＋1)]2＋2n(n＋1)＋1
＝n2(n2＋2n＋1)＋2n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋n2＋2n2＋2n＋1
＝n4＋2n3＋3n2＋2n＋1，
所以n2＋[n(n＋1)]2＋(n＋1)2＝[n(n＋1)＋1]2.
教学说明
及时巩固新知，进一步熟悉乘法公式的运用，体会公式中a，b的含义的广泛性．
【师生互动，课堂小结】
今天学到了什么？有何体会？试讲出来与大家交流．
【课后作业】
1．布置作业：教材第50页“习题2.2”中第5、6题．
2．完成同步练习册中本课时的练习．