人教版数学八年级下册18.2.1 第2课时 矩形的判定 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
18.2 特殊的平行四边形
18.2.1 矩形
第2课时 矩形的判定
学习目标
【学习目标】
1.会证明矩形的两个判定定理.
2.会用矩形定义及判定定理判定一个四边形是否为矩形,并能进行有关计算与论证.
【学习重点】
矩形的判定定理及应用.
【学习难点】
矩形的判定与性质综合运用.
矩形有什么性质？你能写出这些性质的逆命题吗？逆命题都是真命题吗？
旧识回顾
答：性质：对角线相等且互相平分,四个角都是直角.
逆命题：
(1)对角线相等的平行四边形是矩形；
(2)有三个角是直角的四边形是矩形；是真命题.
假如你是做窗框的师傅，你有什么方法检验你做的这个窗框是矩形？（直角尺等）
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
思考
你还有其它的方法吗？
新知探究
矩形的判定定理1
活动1: 利用一个活动的平行四边形教具演示,拉动一对不相邻的顶点时, 注意观察两条对角线的长度.
问题1:我们会看到对角线会随着∠α变化而变化,当两条对角线长度相等时,平行四边形有什么特征？
α
猜想：当两条对角线长度相等时,平行四边形是矩形.
已知：如图,在□ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB.
求证：□ABCD是矩形.
证明：∵AB = DC,BC = CB,AC = DB,
∴ △ABC≌△DCB ,
∴∠ABC = ∠DCB.
∵AB∥CD,
∴∠ABC + ∠DCB = 180°,
∴ ∠ABC = 90°,
∴ □ ABCD是矩形（矩形的定义）.
A
B
C
D
对角线相等的平行四边形是矩形.
定理
新知探究
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形.
几何语言描述：
在平行四边形ABCD中，∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
归纳总结
　 例1 如图，在 　ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA=OD，∠OAD=50°．求∠OAB的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= AC，
OB=OD= BD.
又OA=OD，
∴AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°.
又∠OAD=50°，
∴∠OAB=40°.
典例精析
例2 已知：如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO上的一点,且AE=BF=CG=DH.
求证:四边形EFGH是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD（矩形的对角线相等)，
AO=BO=CO=DO（矩形的对角线互相平分），
∵ AE=BF=CG=DH，
∴OE=OF=OG=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵EO+OG=FO+OH，
即EG=FH，
∴四边形EFGH是矩形.
若变为：E、F、G、H分别是AO、BO、CO、DO的中点，你会吗？
思考
典例精析
思考 数学来源于生活，事实上工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是否成矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，如果对角线长相等，则窗框一定是矩形，你现在知道为什么了吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
矩形的判定定理2
活动2: 李芳同学通过画“边－直角、边－直角、边－直角、边”这样四步画出一个四边形.
①
②
③
④
问题2:李芳觉得按照以上步骤可以得到一个矩形.你认为她的判断正确吗？如果正确,你能证明吗？
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.
∴AD∥BC,AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形.
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
有三个角是直角的四边形是矩形.
定理
新知探究
例 已知：如图， □ ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，
求证：四边形 EFGH为矩形．
证明：在□ ABCD中，AD∥BC
∴∠DAB+∠ABC=180°.
∵AE与BG分别为∠DAB、
∠ABC的角平分线
A
B
D
C
H
E
F
G
∴四边形EFGH是矩形．
同理可证∠AED=∠EHG=90°
∴∠AFB=90°，
∴∠GFE=90°
∴ ∠BAE+ ∠ABF= ∠DAB+ ∠ABC=900
新知探究
1.下列各句判定矩形的说法是否正确？
（1）对角线相等的四边形是矩形；
（2）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；
（3）有一个角是直角的四边形是矩形；
（5）有三个角是直角的四边形是矩形；
（6）四个角都相等的四边形是矩形；
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；
（4）有三个角都相等的四边形是矩形;
×
×
×
×
√
√
√
√
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
随堂练习
2.如图,直线EF∥MN,PQ交EF、MN于A、C两点,AB、CB、CD、AD分别是∠EAC、 ∠MCA、 ∠ ACN、∠CAF的角平分线,则四边形ABCD是（ ）
A.菱形 B.平行四边形 C.矩形 D.不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
随堂练习
3.如图 ABCD中, ∠1= ∠2中.此时四边形ABCD是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
1
2
解：四边形ABCD是矩形.理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形
∴ AO=CO,DO=BO.
又∵ ∠1= ∠2
∴AO=BO
∴AC=BD
∴四边形ABCD是矩形.
随堂练习
4.△ABC中，点O是AC边上一动点，过O点作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，（1）试说明EO=OF. （2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？并说明你的理由.
M
N
B
C
D
E
O
F
A
解：（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，∴EO=FO；
随堂练习
（2）当点O运动到AC的中点时，四边
形AECF是矩形．理由如下：
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形.
M
N
B
C
D
E
O
F
A
通过今天的学习,
能说说你的收获和体会吗
你有什么经验与收获让同学们共享呢？
回顾反思
有一个角是直角的平行四边形是矩形.
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
运用定理进行计算和证明.
矩形的判定
定义
判定定理
课堂小结