3.1.1数系的扩充和复数的概念（学案）
学习目标：
了解实数系扩充到复数系的过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用；
理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
学习重点：认识引入复数的必要性以及复数的基本概念
学习难点：从实数系扩充到复数系的过程
学习过程：
引入：
求解下列关于x的方程：
①； ②。
2、求解关于x的方程。
新知探索：
思考：方程在实数集中无解，联系从自然数到实数系的扩充过程，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？
学法指导：类比引进 ，就可以解决方程在有理数集中无解的问题，怎么解决在实数集中无解的问题？
把实数和新引入的数i像实数那样进行加法、乘法运算，并希望运算时有关的运算律仍成立，你得到了什么样的数？
相关概念：
我们把集合C={ }的数，即形如 的
数叫做复数（complex number），其中i叫做 （imaginary unit）.
全体复数所成的集合C叫做 （set of complex numbers）。
复数通常用字母 表示，复数的代数形式为 ，其中的a与b分别叫做复数z的 （real part）与 （imaginary part）。
想一想，若=0，则 。
你认为应该怎样定义两个复数相等？
即从复数集C中任取两个复数 ，， 。
两个复数能否比较大小？
想一想：复数集C和实数集R之间有什么关系？
范例
例1、实数m取什么值时，复数 是（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数。
练习：
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。
2．判断下列命题是否正确：
（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数
（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数
（3）若a为实数，则Z= a一定不是虚数
3. 已知 ，其中，求x，y。
4.
小结
复数及其相关概念
复数就是虚数吗？
两个复数能否比较大小？
作业
1．下列命题中，假命题是( )
（A）两个复数不可以比较大小 （ B）两个实数可以比较大小
（ C ）两个虚数不可以比较大小 （ D ）一虚数和一实数不可以比较大小
2．若复数(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)是虚数，则实数m满足 （ ）
（A）m≠－1 （B）m≠6 (C) m≠－1或m≠6 (D) m≠－1且m≠6
3.设z＝为实数时，实数a的值是（ A ）
A.3 B.－5
C.3或－5 D.－3或5
3．复数不是纯虚数，则有__________________.
4．设复数，试求m取何值时
（1）Z是实数； （2）Z是纯虚数；
5．已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
3.1.2复数的几何意义（学案）
学习目标：1理解复数的两种几何意义
2能进行平面直角坐标系中的点与复数的相互转换
3能进行平面直角坐标系中的向量与复数的相互转换
学习重点：复数的两种几何意义
学习难点：复数的几何意义的应用
学习过程编排：
引入：我们知道，实数与数轴上的点一一对应。因此，实数可以用数轴上的点来表示。类比实数的几何意义，复数的几何意义又是什么呢？
发展新知
1已知 ，
(1)当a=2， b= 0时，z= ；(2) 当a= ，b= 时，z= ；
(3)当z= 时，a= ，b= ； (4) z=时，a= ，b= 。
2、从复数集C中任取两个复数 ，， 。
3、结论：当a，b 时，也就唯一确定。反之，亦然。
4、延伸：
5、复平面：表示复数的平面直角坐标系。x轴叫做 ，y轴叫做 。
x轴上的数都表示 数；
y轴上的数都表示 数（除了 以外）
应用
1、写出图中复平面各点所表示的复数（每个小正方格的边长为1）。
2、在上题的复平面内，描出表示下列各复数的点：
(1) 2+5i (2) -3+2i (3) 2-4i (4)-3-i (5) 5 (6)-3i
3已知复数2+i，-2+4i，-2i，4，2-4i，在复平面内画出这些复数对应的向量。
4、实数m取什么值时，复平面内表示复数z= 的点：（1）位于第四象限；（2）位于直线y=x上。
作业
1. 设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 设O是原点，向量对应的复数分别为，那么向量对应的复数是（ ）
3．复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为那么第四个顶点对应的复数是（ ）
（A） （B） （C） （D）
4. 设，，复数和在复平面内对应点分别为A、B，O为原点，则的面积为 。
5. 已知复数z与 (z +2)2-8i 均是纯虚数,则 z =
6. 在复平面内，O是原点，向量 对应的复数是2+i。若点A关于实轴的对称点为点B，点B关于虚轴的对称点为点C，则向量对应的复数为 ；点C对应的复数为 。
7. 已知两个向量对应的复数是z1=3和z2=-5+5i，求向量与的夹角。
3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义（学案）
学习目标：
类比向量加法、减法运算掌握复数代数形式的加减运算法则
了解复数加减法的几何意义
理解复数加法与减法的关系
学习重点：类比向量加法与减法，学习复数的加减运算
学习难点：复数加减法的几何意义的应用
学习过程编排：
头脑风暴一——热身回顾
符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由。
（1）实部为 的虚数； （2）虚部为 的虚数；
（3）虚部为 的纯虚数。
什么是复数？
如果P是复平面内表示复数a+bi（ ）的点，分别指出在下列条件下点P的位置：（1）a>0, b>0; （2）a<0, b>0; （3）a=0，b≤0； （4）b<0.
复数的几何意义是什么？
激发疑问——学会思考
思考一：根据数域扩充的原则，复数的加法满足交换律、结合律吗？
对任意z1, z2, z3 ,
思考二：令复数 ，，请类比向量的加减法求
=
=
头脑风暴二——新知小结
运算律
运算法则：
文字概括：两个复数相加（减），就是实部与实部，虚部与虚部分别 。
几何意义：
复数 ，对应的向量分别为 ，若它们不共线
复数加法的几何意义
复数是以为两邻边的 的对角线 所对应的复数。
复数减法的几何意义
复数是连结的 ，并指向点 的向量所对应的复数。
想一想：从复数加减法的几何意义理解： ，表示什么呢？
应用拓展——发展认知
计算：（1） ； （2）5
（3） （4）
在复平面内，复数 ，对应的向量分别是 与 ，其中O是原点，求向量 ， 对应的复数。
ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是 ，， ，求点D对应的复数。
4、
课外作业——锻炼技能
1、计算：
（1） ； （2）
（3） （4）
2、设，则在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3、两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，（a1，b1，a2，b2都是实数且z1≠0，z2≠0），对应的向量在同一直线上的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
4、 向量对应的复数是5-4i，向量对应的复数是-5+4i，则对应的复数是______________。
5、已知正方形ABCD的三个顶点坐标分别是A（1，2），B（－2，1），C（－1，－2），求D点的坐标。
6、已知 ，且 ，求
3.2.2复数代数形式的乘除运算（学案）
学习目标：
类比两个多项式相乘的做法，理解复数乘法的运算及运算律；
了解共轭复数的概念；
类比分式化简中的分母有理化，理解复数除法的运算。
学习重点：复数代数形式的乘除运算
学习难点：类比分式化简中的分母有理化去理解复数除法的运算
学习过程编排：
头脑风暴一 ——复习热身
复数的加减法法则：
复数加法运算律：交换律：
结合律：
复数减法是加法的 运算： （ ）
多项式乘法法则：(a+b)(c+d)=
激发疑问——学会思考
问题探究：
得到结论——复数代数形式的乘法运算
两点说明：(1)两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得结果中把 换成－1，然后把实部与虚部分别合并即可；（2）两个复数相乘的积仍然是 。
巩固乘法：
（1）= ；（2）= 。
（3）=
（4）=
（5） =
（6）=
观察上述计算，复数的乘法运算是否满足交换律，结合律，分配律等运算律？
例1 计算：
观察，发现：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.
问题探究： 计算=？——请类比分式化简的分母有理化！
归纳复数的除法法则：先把除式写成分式的形式,再把分子与分母都乘以
分母的共轭复数即 ,化简后写成代数形式.即
两个复数相除的结果是 数。
头脑风暴二——新知小结
两个复数相乘除的结果是 数。
复数相乘类比
复数相除类比
的共轭复数是
复数乘法的运算律依然满足交换律、结合律、分配律。
应用拓展——发展认知
T1 写出下列复数的共轭复数：
（1）： ； （2）： ；（3）7：
（4） ： ； （5） ： ；（6） ：
T2 计算：（1） （2）
（3） （4） （5）
（6） （7）
T3 （1）设 ，则 =
=
=
你发现了什么呢？O(∩_∩)O~
（2）设 ， ，则z是实数吗？
T4 已知 ，求 及 。
课外作业——锻炼技能
1．(2010年高考浙江卷)设i为虚数单位，则＝( )
A．－2－3i B．－2＋3i C．2－3i D．2＋3i
2．(2010年高考广东卷)若复数z1＝1＋i，z2＝3－i，则z1·z2＝( )
A．4＋2i B．2＋i C．2＋2i D．3＋i
3．(2010年高考安徽卷)已知i2＝－1，则i(1－i)＝( )
A.－i B.＋I C．－－i D．－＋i
4．(2010年高考福建卷)i是虚数单位，()4等于( )
A．i B．－I C．1 D．－1
5．已知复数z＝1－2i，那么＝( )
A.＋i B.－i C.＋i D.－i
6．若复数z满足z＝i(2－z)(i是虚数单位)，则z＝________.
7．若复数(1＋ai)(2－i)的实部与虚部相等，则实数a＝__________.
8．计算：(1)＋()2； (2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．
9*．已知复数z1＝3＋4i，z2＝t＋i，且z2的共轭复数与z1的积是实数，求实数t的值．
第三章复数复习学案
复习目标：1、系统整理本章知识点，形成知识结构；2、进行题组训练，形成解题技能。
复习过程编排：
基础题组一：复数的概念
1、设集合C={复数}，A={实数}，B={纯虚数}，若全集S=C，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
2、以的虚部为实部，以的实部为虚部的复数是
3、复数是纯虚数，则有（ ）
A. B. C. D.
基础题组二：复数的几何意义
4、在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5、若两个不相等的复数和表示的点在复平面上关于虚轴对称，a,b,c,dR, 则a，b，c，d之间的关系为（ ）
A．，b=d B．，
C． D．
6、复数，则= 。
基础题组三：复数的四则运算
7、已知，则复数对应的点位于复平面内的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8、当19、已知复数z满足，则z= 。
10、复数的共轭复数是
11、已知，若为纯虚数，则a的值为
12、若，且为纯虚数，则实数a的值为 。
综合题组
13、设1，是一等比数列的连续三项，求实数m，n的值。
14、已知集合，，P=
（1）指出集合P在复平面上所对应的点表示的图形；
（2）求集合P中复数模的最大值和最小值。
课后作业：
一、选择题：
1．如果C，R，I分别表示复数集，实数集和纯虚数集，其中C为全集，则( )
A．C＝R∪I B．R∪I＝{0} C．R＝C∩I D．R∩I＝?
2.若复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3.复数z=-1+2i，则 的虚部为( )
A．1 B．-1 C．2 D．-2
4. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ）
A 1或2 B -2 C 1 D 2
5.复数的共轭复数是( )
A．－i B.I C．－i D．i
6. 复数=（ ）
A． B． C． D．
7．a = 0是复数z = a + b i（a ，b ∈R）为纯虚数的（ ）
A．必要但不充分条件 B.充分但不必要条件
C．充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 在复平面内，复数 对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
9. 已知＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b＝( )
A．－1 B．1 C．2 D．3
10. 如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是( )
A．(－2，2) B．(－2,2) C．(－1,1) D．(－，)
11. 已知z＝cos＋isin，i为虚数单位，那么平面内到点C(1,2)的距离等于|z|的点的轨迹是( )
A．圆 B．以点C为圆心，半径等于1的圆
C．满足方程x2＋y2＝1的曲线 D．满足(x－1)2＋(y－2)2＝的曲线
二、填空题：
12. 向量＝(0，－3)对应的复数是________．
13. 已知，若，则
14. 若三、解答题：
15.计算：(1) ； (2) ．
16. 把复数z的共轭复数记作，已知，求z及.
17. 在复平面上，平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C 对应的复数分别为 . 求第四个顶点D的坐标及此平行四边形的对角线的长.
18. 设m∈R，复数z＝2m2－3m－2＋(m2－3m＋2)i.试求m为何值时，z分别为：
(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数？
