第一章 常用逻辑用语
1.1 命题及其关系
1.1.1 命题
双基达标 ?限时20分钟?
1．语句“若a>b，则a＋c>b＋c”是 ( )．
A．不是命题 B．真命题
C．假命题 D．不能判断真假
解析 考查不等式的性质，两边同加上同一个数不等式仍然成立．
答案 B
2．下列命题中是假命题的是 ( )．
A．若a·b＝0(a≠0，b≠0)，则a⊥b
B．若|a|＝|b|，则a＝b
C．若ac2>bc2，则a>b
D．5>3
解析 |a|＝|b|只能说明a与b长度一样．a＝b不一定成立．
答案 B
3．在下列4个命题中，是真命题的序号为 ( )．
①3≥3； ②100或50是10的倍数； ③有两个角是锐角的三角形是锐角三角形；
④等腰三角形至少有两个内角相等．
A．① B．①② C．①②③ D．①②④
解析 对于③，举一反例，若A＝15°，B＝15°，则C为150°，三角形为钝角三角形．
答案 D
4．给出以下语句：
①空集是任何集合的真子集；
②三角函数是周期函数吗？
③一个数不是正数就是负数；
④老师写的粉笔字真漂亮！
⑤若x∈R，则x2＋4x＋5>0；
⑥作△ABC≌△A1B1C1.
其中为命题的是________，真命题的序号为________．
解析 ①是命题，且是假命题，因为空集是任何非空集合的真子集．
②这是个疑问句，故不是命题．
③是命题，且是假命题，因为数0既不是正数，也不是负数．
④该语句是感叹句，不符合命题定义，所以不是命题．
⑤是命题，因为Δ＝16－20＝－4<0，所以是真命题．
⑥该语句是祈使句，不是命题．
答案 ①③⑤ ⑤
5．给出下列命题
①若ac＝bc，则a＝b；
②方程x2－x＋1＝0有两个实根；
③对于实数x，若x－2＝0，则x－2≤0；
④若p>0，则p2>p；
⑤正方形不是菱形．
其中真命题是________，假命题是________．
解析 ①c＝0时，a不一定等于b，假命题．
②此方程无实根，假命题．
③结论成立，真命题．
④0
⑤不成立，假命题．
答案 ③ ①②④⑤
6．把下列命题写成“若p，则q”的形式，并指出条件与结论．
(1)相似三角形的对应角相等；
(2)当a>1时，函数y＝ax是增函数．
解 (1)若两个三角形相似，则它们的对应角相等．条件p：三角形相似，
结论q：对应角相等．
(2)若a>1，则函数y＝ax是增函数．
条件p：a>1，
结论q：函数y＝ax是增函数．
综合提高（限时25分钟）
7．设α、β、γ为两两不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
②若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β；
③若α∥β，l?α，则l∥β；
④若α∩β＝l，β∩γ＝m，γ∩α＝n，l∥γ，则m∥n.
其中真命题的个数是 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 ①由面面垂直知，不正确；②由线面平行判定定理知，缺少m、n相交于一点这
一条件，故不正确；③由面面平行性质定理知，正确；④由线面相交、及线面、线线平
行分析知，正确．
答案 B
8．给定下列命题：
①“若k>0，则方程x2＋2x－k＝0”有实数根；
②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；
③对角线相等的四边形是矩形；
④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0.
其中真命题的序号是 ( )．
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
解析 ①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；
③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题．
答案 B
9．下列语句是命题的是______．
①求证是无理数；
②x2＋4x＋4≥0；
③你是高一的学生吗？
④一个正数不是素数就是合数；
⑤若x∈R，则x2＋4x＋7>0.
解析 ①③不是命题，①是祈使句，③是疑问句．而②④⑤是命题，其中④是假命题，
如正数既不是素数也不是合数，②⑤是真命题，x2＋4x＋4＝(x＋2)2≥0恒成立，x2＋4x
＋7＝(x＋2)2＋3>0恒成立．
答案 ②④⑤
10．下面有五个命题：
①函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；
②终边在y轴上的角的集合是{α|α＝，k∈Z}；
③在同一坐标系中，函数y＝sin x的图象和函数y＝x的图象有三个公共点；
④把函数y＝3sin(2x＋)的图象向右平移，得到y＝3sin 2x的图象；
⑤函数y＝sin(x－)在[0，π]上是减函数．
其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)．
解析 ①y＝sin4x－cos4x＝(sin2x＋cos2x)(sin2x－cos2x)＝－cos 2x，∴T＝π；
②终边在y轴上的角的集合为{α|α＝kπ＋，k∈Z}；
③两图象应有一个公共点；
④平移后y＝3sin[2(x－)＋]＝3sin 2x.
⑤函数y＝sin(x－)＝－cos x，在[0，π]上应是增函数．
答案 ①④
11．判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．
(1)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；
(2)求证：若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；
(3)平行于同一条直线的两条直线必平行吗？
(4)当x＝4时，2x＋1<0.
解：(1)是命题，因为当等比数列的首项a1<0，公比q>1时，该数列为递减数列，因此是一个假命题．
(2)不是命题，它是祈使句．
(3)不是命题，它是一个疑问句，没有作出判断．
(4)是命题，能判断真假，它是一个假命题．
12．(创新拓展)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)ac＞bc?a＞b；
(2)已知x、y∈N*，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；
(3)当m＞时，mx2－x＋1＝0无实根；
(4)当x2－2x－3＝0时，x＝3或x＝－1.
解 (1)若ac＞bc，则a＞b，是假命题．
(2)已知x、y∈N*，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，是假命题．
(3)若m＞，则mx2－x＋1＝0无实根，是真命题．
(4)若x2－2x－3＝0，则x＝3或x＝－1，是真命题．
1.1.2 四种命题
1.1.3 四种命题间的相互关系
双基达标 ?限时20分钟?
1．命题“若a?A，则b∈B”的否命题是 ( )．
A．若a?A，则b?B B．若a∈A，则b?B
C．若b∈B，则a?A D．若b?B，则a?A
解析 注意“∈”与“?”互为否定形式．
答案 B
2．命题“若A∩B＝A，则A∪B＝B”的逆否命题是 ( )．
A．若A∪B＝B，则A∩B＝A
B．若A∩B≠A，则A∪B≠B
C．若A∪B≠B，则A∩B≠A
D．若A∪B≠B，则A∩B＝A
解析 注意“A∩B＝A”的否定是“A∩B≠A”．
答案 C
3．命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”及其逆命题、否命题、逆否命题四种命题中真命题的个数为 ( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
解析 原命题“对于正数a，若a>1，则lg a>0”是真命题；逆命题“对于正数a，若
lg a>0，则a>1”是真命题；否命题“对于正数a，若a≤1，则lg a≤0”是真命题；逆
否命题“对于正数a，若lg a≤0，则a≤1.”是真命题．
答案 D
4．“若x、y全为零，则xy＝0”的否命题为__________．
解析 由于“全为零”的否定为“不全为零”，所以“若x、y全为零，则xy＝0”的否
命题为“若x、y不全为零，则xy≠0”．
答案 若x、y不全为零，则xy≠0
5．命题“当AB＝AC时，△ABC是等腰三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题有______个．
解析 原命题为真命题，逆命题“当△ABC是等腰三角形时，AB＝AC”为假命题，否
命题“当AB≠AC时，△ABC不是等腰三角形”为假命题，逆否命题“当△ABC不是等
腰三角形时，AB≠AC”为真命题．
答案 2
6．将命题“正数a的平方大于零”改写成“若p，则q”的形式，并写出它的逆命题、否命题与逆否命题．
解 原命题可以写成：若a是正数，则a的平方大于零；
逆命题：若a的平方大于零，则a是正数；
否命题：若a不是正数，则a的平方不大于零；
逆否命题：若a的平方不大于零，则a不是正数．
综合提高（限时25分钟）
7．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为 ( )．
A．0 B．2 C．3 D．4
解析 原命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”为假命题，逆命题“若ac2>bc2，则
a>b(a，b，c∈R)”为真命题，否命题“若a≤b，则ac2≤bc2，(a，b，c∈R)”为真命题，
逆否命题“若ac2≤bc2，则a≤b(a，b，c∈R)”为假命题．
答案 B
8．若命题p的否命题是q，命题q的逆命题是r，则r是p的逆命题的 ( )．
A．原命题 B．逆命题
C．否命题 D．逆否命题
解析 设命题p为“若k，则s”；则其否命题q是“若綈k，则綈s”；则命题q的逆
命题r是“若綈s，则綈k”，而p的逆命题为“若s，则k”，故r是p的逆命题的否命
题．
答案 C
9．命题“正数的绝对值等于它本身”的逆命题是________．
解析 将命题“正数的绝对值等于它本身”改写为“若一个数是正数，则其绝对值等于
它本身”，所以逆命题是“若一个数的绝对值等于它本身，则这个数是正数”，即“绝
对值等于它本身的数是正数”．
答案 绝对值等于它本身的数是正数
10．已知原命题“两个无理数的积仍是无理数”，则：
(1)逆命题是“乘积为无理数的两数都是无理数”；
(2)否命题是“两个不都是无理数的积也不是无理数”；
(3)逆否命题是“乘积不是无理数的两个数都不是无理数”；
其中所有正确叙述的序号是________．
解析 原命题的逆命题、否命题叙述正确．逆否命题应为“乘积不是无理数的两个数不
都是无理数”．
答案 (1)(2)
11．给出两个命题：
命题甲：关于x的不等式x2＋(a－1)x＋a2≤0的解集为?；
命题乙：函数y＝(2a2－a)x为增函数．
(1)甲、乙至少有一个是真命题；
(2)甲、乙有且只有一个是真命题；
分别求出符合(1)(2)的实数a的取值范围．
解 甲为真时，Δ＝(a－1)2－4a2<0，
即A＝；
乙为真时，2a2－a>1即B＝；
(1)甲、乙至少有一个真命题时，应取A，B两集合的并集，这时的a的取值范围是.
(2)甲、乙有且只有一个真命题时，有两种情况：当甲真乙假时，－1≤a<－，所以甲、乙中有且只有一个真命题时，a的取值范围为
12．(创新拓展)求证：已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明 法一 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a，b∈R，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)又∵f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)即原命题的逆否命题为真命题，
∴原命题为真命题．
法二 假设a＋b<0，则a<－b，b<－a，
又∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，
∴f(a)∴f(a)＋f(b)这与已知f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)相矛盾，
因此假设不成立，故a＋b≥0.
1.2 充分条件与必要条件
1.2.1 充分条件与必要条件
1.2.2 充要条件
双基达标 ?限时20分钟?
1．“x2>2 012”是“x2>2 011”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由于“x2>2 012”时，一定有“x2>2 011”，反之不成立，所以“x2>2 012”是“x2>2 011”
的充分不必要条件．
答案 A
2．“|x|＝|y|”是“x＝y”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 因|x|＝|y|?x＝y或x＝－y，但x＝y?|x|＝|y|.
答案 B
3．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是 ( )．
A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
解析 当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以
f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
答案 A
4．给定空间中直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的______条件．
解析 “直线l与平面α内两条相交直线都垂直”?“直线l与平面α垂直”．
答案 充要条件
5．下列不等式：①x<1；②0解析 由于x2<1即－1答案 ②③④
6．判断p：|x－2|≤5是q：x≥－1或x≤5的什么条件，说明理由．
解 p是q的充分不必要条件．
∵p：|x－2|≤5的解集为P＝{x|－3≤x≤7}；
q：x≥－1或x≤5就是实数集R.
∴P?R，也就是p?q，qp，
故p是q的充分不必要条件．
综合提高（限时25分钟）
7．在△ABC中，“sin 2A＝”是“A＝30°”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 若A＝30°，显然有sin 2A＝，但sin 2A＝时，在△ABC中，有2A＝60°或
2A＝120°，即不一定有A＝30°，故“sin 2A＝”是“A＝30°”的必要不充分条件．
答案 B
8．在下列3个结论中，正确的有 ( )．
①x2>4是x3<－8的必要不充分条件；
②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；
③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
解析 对于结论①，由x3<－8?x<－2?x2>4，但是x2>4?x>2或x<－2?x3>8或x3<－8，
不一定有x3<－8，故①正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2
＝BC2，故②错；对于结论③，由a2＋b2≠0?a，b不全为0，反之，由a，b不全为0?a2
＋b2≠0，故③正确．
答案 C
9．设集合A＝{x|x(x－1)<0}，B＝{x|0解析 由于A＝{x|0答案 充分不必要
10．已知条件p：|x－1|>a和条件q：2x2－3x＋1>0，则使p是q的充分不必要条件的最小正整数a＝________．
解析 依题意a>0.由条件p：|x－1|>a
得x－1<－a，或x－1>a，
∴x<1－a，或x>1＋a.
由条件q：2x2－3x＋1>0，
得x<，或x>1.
要使p是q的充分不必要条件，即“若p，则q”为真命题，逆命题为假命题，应有
解得a≥.
令a＝1，则p：x<0，或x>2，
此时必有x<，或x>1.
即p?q，反之不成立．
答案 1
11．已知p：x<－2或x>10，q：1－m≤x≤1＋m2，若綈p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
解 綈p：A＝{x|－2≤x≤10}，q：B＝{x|1－m≤x≤1＋m2}，
∵綈p是q的充分不必要条件，∴A?B.
∴∴m>3.
故所求实数m的取值范围为(3，＋∞)．
12．(创新拓展)证明：“0≤a≤”是“函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数”的充分不必要条件．
证明 充分性：由已知0≤a≤，对于函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2，
当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，显然在(－∞，4]上是减函数．
当a≠0时，由已知0二次函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2图象是抛物线，其开口向上，
对称轴方程为：x＝＝－1≥6－1＝5.
所以二次函数f(x)在(－∞，4]上是减函数．
非必要性：当a≠0时，二次函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2的图象是抛物线，其对称轴为：x＝＝－1.
因为二次函数f(x)在(－∞，4]上是减函数，
所以?0显然，函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在(－∞，4]上是减函数时，也有a＝0.
由于[0，]?[0，]，所以0≤a≤不是函数f(x)＝ax2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4]上为减函数的必要条件．
综上所述，命题成立．
1.3 简单的逻辑联结词
1.3.1 且（and）
1.3.2 或（or）
1.3.3 非（not）
双基达标 ?限时20分钟?
1．命题：“方程x2－1＝0的解是x＝±1”，其使用逻辑联结词的情况是 ( )．
A．使用了逻辑联结词“且”
B．使用了逻辑联结词“或”
C．使用了逻辑联结词“非”
D．没有使用逻辑联结词
解析 “x＝±1”可以写成“x＝1或x＝－1”，故选B.
答案 B
2．已知命题p：2＋2＝5，命题q：3>2，则下列判断正确的是 ( )．
A．“p或q”为假，“非q”为假
B．“p或q”为真，“非q”为假
C．“p且q”为假，“非p”为假
D．“p且q”为真，“p或q”为假
解析 显然p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，
故选B.
答案 B
3．已知p：??{0}，q：{1}∈{1，2}．由他们构成的新命题“p∧q”，“p∨q”，“綈p”中，真命题有 ( )．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析 容易判断命题p：??{0}是真命题，命题q：{1}∈{1，2}是假命题，所以p∧q是
假命题．p∨q真命题，綈p是假命题，故选A.
答案 A
4．命题p：方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“p∨q”为________．
解析 方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两
个向量共线”．
答案 方向相同或相反的两个向量共线
5．若命题“綈p∨綈q”为假命题，则命题“p∧q”是______命题(用“真”、“假”填空)．
解析 命题“綈p∨綈q”为假，其否定为“p∧q”，是真命题．
答案 真
6．分别写出由下列各组命题构成的“p∧q”“p∨q”“綈p”形式的命题：
(1)p：π是无理数，q：e是有理数；
(2)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任一个内角．
解 (1)“p∧q”：π是无理数且e是有理数．
“p∨q”：π是无理数或e是有理数．
“綈p”：π不是无理数．
(2)“p∧q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任一个内角．
“p∨q”：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任一个内
角． “綈p”：三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和．
综合提高（限时25分钟）
7．若命题p：x∈A∪B，则綈p是 ( )．
A．x?A或x?B B．x?A且x?B
C．x∈A∩B D．x?A或x∈B
解析 因x∈A∪B?x∈A或x∈B，所以綈p为x?A且x?B，故选B.
答案 B
8．已知命题s：“函数y＝sin x是周期函数且是奇函数”，则
①命题s是“p∧q”命题；
②命题s是真命题；
③命题綈s：函数y＝sin x不是周期函数且不是奇函数；
④命题綈s是假命题．
其中，正确叙述的个数是 ( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 命题s是“p∧q”命题，①正确；命题s是真命题，②正确，④正确；命题綈s：
函数y＝sin x不是周期函数或不是奇函数，③不正确．
答案 D
9．命题“若a解析 命题“若aa答案 若a≥b，则2a≥2b 若a10．对于函数①f(x)＝|x＋2|；②f(x)＝(x－2)2；③f(x)＝cos(x－2)．有命题p：f(x＋2)是偶函数；命题q：f(x)在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，能使p∧q为真命题的所有函数的序号是______．
解析 对于①，f(x＋2)＝|x＋4|不是偶函数，故p为假命题．对于②，f(x＋2)＝x2是偶函
数，则p为真命题：f(x)＝(x－2)2在(－∞，2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数，则
q为真命题，故p∧q为真命题．对于③，f(x)＝cos(x－2)显然不是(2，＋∞)上的增函数，
故q为假命题．故填②.
答案 ②
11．已知命题p：1∈{x|x2(1)若“p或q”为真命题，求实数a的取值范围；
(2)若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．
解 若p为真，则1∈{x|x21；若q为真，则2∈{x|x24.
(1)若“p或q”为真，则a>1或a>4，即a>1.故实数a的取值范围是(1，＋∞)．
(2)若“p且q”为真，则a>1且a>4，即a>4.故实数a的取值范围是(4，＋∞)．
12．(创新拓展)已知命题p：x1和x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1，1]恒成立；命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解．若p∧q是假命题，綈p也是假命题．求实数a的取值范围．
解 ∵p∧q是假命题，綈p是假命题，∴命题p是真命题，命题q是假命题．
∵x1，x2是方程x2－mx－2＝0的两个实根，
∴
∴|x1－x2|＝＝，
∴当m∈[－1，1]时，|x1－x2|max＝3.
由不等式a2－5a－3≥|x1－x2|对任意实数m∈[－1，1]恒成立，可得a2－5a－3≥3.
∴a≥6或a≤－1，
∴当命题p为真命题时，a≥6或a≤－1.
命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解，
①当a>0时，显然有解；
②当a＝0时，2x－1>0有解；
③当a<0时，∵ax2＋2x－1>0，∴Δ＝4＋4a>0，
∴－1从而命题q：不等式ax2＋2x－1>0有解时，a>－1.
又命题q是假命题，∴a≤－1.
综上所述：?a≤－1.
所以所求a的取值范围为(－∞，－1]．
1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词
1.4.2 存在量词
1.4.3 含有一个量词的命题的否定
双基达标 ?限时20分钟?
1．下列命题中，不是全称命题的是 ( )．
A．任何一个实数乘以0都等于0
B．自然数都是正整数
C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数
解析 D选项是特称命题．
答案 D
2．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是 ( )．
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角
B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数
D．存在一个负数x，使>2
解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以是假命题；B中x＝0时，x2＝0，所以B
既是特称命题又是真命题；C中因为＋(－)＝0，所以C是假命题；D中对于任一
个负数x，都有<0，所以D是假命题．
答案 B
3．下列命题中的假命题是 ( )．
A．?x∈R，2x－1>0 B．?x∈N*，(x－1)2>0
C．?x0∈R，lg x0<1 D．?x0∈R，tan x0＝2
解析 A中命题是全称命题，易知2x－1>0恒成立，故是真命题；
B中命题是全称命题，当x＝1时，(x－1)2＝0，故是假命题；
C中命题是特称命题，当x＝1时，lg x＝0，故是真命题；
D中命题是特称命题，依据正切函数定义，可知是真命题．
答案 B
4．命题p：?x0∈R，x02＋2x0＋4<0的否定綈p：________．
解析 特称命题“?x0∈M，p(x0)”的否定是全称命题“?x∈M，綈p(x)”．故填?x∈R，
x2＋2x＋4≥0.
答案 ?x∈R，x2＋2x＋4≥0
5．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析 对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3.
答案 (－∞，3]
6．判断下列命题的真假，并写出命题的否定：
(1)有一个实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立；
(2)对任意实数x，不等式|x＋2|≤0成立；
(3)在实数范围内，有些一元二次方程无解．
解 (1)对于方程x2－(a＋1)x＋a＝0的判别式Δ＝(a＋1)2－4a＝(a－1)2≥0，则不存在实数a，使不等式x2－(a＋1)x＋a>0恒成立，所以命题为假命题．它的否定为：对任意实数a，使x2－(a＋1)x＋a>0不恒成立．
(2)当x＝1时，|x＋2|>0，所以原命题是假命题，它的否定为：存在实数x，使|x＋2|>0.
(3)真命题，它的否定为：在实数范围内，所有的一元二次方程都有解．
综合提高（限时25分钟）
7．下列命题的否定为假命题的是 ( )．
A．?x∈R，－x2＋x－1<0
B．?x∈R，|x|>x
C．?x，y∈Z，2x－5y≠12
D．?x0∈R，sin2x0＋sin x0＋1＝0
解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题，只有选项A中的命题为真命题，其余
均为假命题，所以选A.
答案 A
8．若存在x0∈R，使ax02＋2x0＋a<0，则实数a的取值范围是 ( )．
A．a<1 B．a≤1
C．－1解析 当a≤0时，显然存在x0∈R，使ax02＋2x0＋a<0；
当a>0时，必需Δ＝4－4a2>0，
解得－1综上所述，实数a的取值范围是a<1.
答案 A
9．命题“零向量与任意向量共线”的否定为________．
解析 命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其
否定为特称命题：“有的向量与零向量不共线”．
答案 有的向量与零向量不共线
10．若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
解析 依题意有：0?－答案 (－，－1)∪(1，)
11．已知命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”是假命题，求实数a的取值范围．
解 因为全称命题“对于任意x∈R，x2＋ax＋1≥0”的否定形式为：“存在x0∈R，x02＋ax0＋1<0”．
由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知，这个否定形式是真命题．
由于函数f(x)＝x2＋ax＋1是开口向上的抛物线，借助二次函数的图象易知：Δ＝a2－4>0，解得a<－2或a>2.
所以实数a的取值范围是(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
12．(创新拓展)若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交，所以a∈R；
(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R；
当m≠0，a∈[－1，1]．
第二章 圆锥曲线与方程
2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程
双基达标 ?限时20分钟?
1．已知坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上，那么 ( )．
A．曲线C上的点的坐标都适合方程F(x，y)＝0
B．凡坐标不适合F(x，y)＝0的点都不在C上
C．不在C上的点的坐标必不适合F(x，y)＝0
D．不在C上的点的坐标有些适合F(x，y)＝0，有些不适合F(x，y)＝0
解析 条件中“坐标满足方程F(x，y)＝0的点都在曲线C上”，只满足了曲线和方程概
念的一个条件，并不满足“曲线C上的所有点的坐标都是方程F(x，y)＝0的解”，所以
A是错误的，也就是说有可能存在曲线C上某个点，它的坐标不是方程F(x，y)＝0的解，
因此B是错误的．由条件知C是正确的．
答案 C
2．下列选项中方程表示图中曲线的是 ( )．
解析 对于A，x2＋y2＝1表示一个整圆；对于B，x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝0，表示两条相
交直线；对于D，由lg x＋lg y＝0知x>0，y>0.
答案 C
3．方程x2＋xy＝x表示的曲线是 ( )．
A．一个点 B．一条直线
C．两条直线 D．一个点和一条直线
解析 由x2＋xy＝x，得x(x＋y－1)＝0，即x＝0或x＋y－1＝0.由此知方程x2＋xy＝x表
示两条直线．故选C.
答案 C
4．点A(1，－2)在曲线x2－2xy＋ay＋5＝0上，则a＝________.
解析 由题意可知点(1，－2)是方程x2－2xy＋ay＋5＝0的一组解，即1＋4－2a＋5＝0，
解得a＝5.
答案 5
5．方程y＝所表示的曲线是________．
解析 y＝＝|x－1|.
答案 以(1，0)为端点的两条射线
6．方程(x＋y－1)＝0表示什么曲线？
解 由(x＋y－1)＝0可得
或x2＋y2－4＝0，即或x2＋y2＝4，
由圆x2＋y2＝4的圆心到直线x＋y－1＝0的距离d＝＝<2得
直线与圆相交，所以表示直线x＋y－1＝0在圆x2
＋y2＝4上和外面的部分，x2＋y2＝4表示圆心在坐标原点，半径为2的圆．
所以原方程表示圆心在坐标原点，半径为2的圆和斜率为－1，纵截距为1的直线在圆x2＋y2＝4的外面的部分，如图所示．
综合提高（限时25分钟）
7．方程(x2－4)2＋(y2－4)2＝0表示的图形是 ( )．
A．两个点 B．四个点
C．两条直线 D．四条直线
解析 由已知∴即或
或或选B.
答案 B
8．下面四组方程表示同一条曲线的一组是 ( )．
A．y2＝x与y＝
B．y＝lg x2与y＝2lg x
C.＝1与lg (y＋1)＝lg (x－2)
D．x2＋y2＝1与|y|＝
解析 主要考虑x与y的范围．
答案 D
9．已知方程①x－y＝0；②－＝0；③x2－y2＝0；④＝1，其中能表示直角坐标系的第一、三象限的角平分线C的方程的序号是________．
解析 ①是正确的；②不正确，如点(－1，－1)在第三象限的角平分线上，但其坐标不
满足方程－＝0；③不正确．如点(－1，1)满足方程x2－y2＝0，但它不在曲线C上；
④不正确．如点(0，0)在曲线C上，但其坐标不满足方程＝1.
答案 ①
10．方程|x－1|＋|y－1|＝1所表示的图形是________．
解析 当x≥1，y≥1时，原方程为x＋y＝3；
当x≥1，y<1时，原方程为x－y＝1；
当x<1，y≥1时，原方程为－x＋y＝1；
当x<1，y<1时，原方程为x＋y＝1.
画出方程对应的图形，如图所示为正方形．
答案 正方形
11．已知P(x0，y0)是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，求证：点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
证明 ∵P是曲线f(x，y)＝0和曲线g(x，y)＝0的交点，
∴P在曲线f(x，y)＝0上，即f(x0，y0)＝0，
且P在曲线g(x，y)＝0上，即g(x0，y0)＝0，
∴f(x0，y0)＋λg(x0，y0)＝0＋λ·0＝0，
∴点P在曲线f(x，y)＋λg(x，y)＝0(λ∈R)上．
12．(创新拓展)已知曲线C的方程为x＝，说明曲线C是什么样的曲线，并求该曲线与y轴围成的图形的面积．
解 由x＝，得x2＋y2＝4.
又x≥0，∴方程x＝表示的曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而该曲线C与y轴围成的图形是半圆，其面积S＝π·4＝2π.
所以所求图形的面积为2π.
2.1.2 求曲线的方程
双基达标 ?限时20分钟?
1．已知动点P到点(1，－2)的距离为3，则动点P的轨迹方程是 ( )．
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9
B．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3
D．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
解析 设P(x，y)，由题设得＝3，
∴(x－1)2＋(y＋2)2＝9.
答案 B
2．已知等腰三角形ABC底边两端点是A(－，0)，B(，0)，顶点C的轨迹是 ( )．
A．一条直线 B．一条直线去掉一点
C．一个点 D．两个点
解析 注意当点C与A、B共线时，不符合题意，应去掉．
答案 B
3．已知两定点A(－2，0)，B(1，0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所围成的图形的面积等于 ( )．
A．π B．4π
C．8π D．9π
解析 设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，得＝2，整理得x2－4x
＋y2＝0，即(x－2)2＋y2＝4.所以点P的轨迹是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，故S＝
4π.
答案 B
4．以(5，0)和(0，5)为端点的线段的方程是________．
解析 由截距式可得直线为＋＝1?线段方程为x＋y－5＝0(0≤x≤5)．
答案 x＋y－5＝0(0≤x≤5)
5．已知A(－1，0)，B(2，4)，△ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是________．
解析 由两点式，得直线AB的方程是＝，即4x－3y＋4＝0，线段AB的长度|AB|
＝＝5.设C的坐标为(x，y)，则×5×＝10，即4x－3y－16
＝0或4x－3y＋24＝0.
答案 4x－3y－16＝0或4x－3y＋24＝0
6．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A(－1，1)关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于－.求动点P的轨迹方程．
解 由点B与点A(－1，1)关于原点对称，得点B的坐标为(1，－1)．设点P的坐标为(x，y)，由题意得·＝－，化简得x2＋3y2＝4，且x≠±1.故动点P的轨迹方程为x2＋3y2＝4(x≠±1)．
综合提高（限时25分钟）
7．已知A(1，0)，B(－1，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝2，则点M的轨迹方程是 ( )．
A．y＝0(－1≤x≤1) B．y＝0(x≥1)
C．y＝0(x≤－1) D．y＝0(|x|≥1)
解析 由题意可知，|AB|＝2，则点M的轨迹方程为射线y＝0(x≤－1)．
答案 C
8．在△ABC中，若B、C的坐标分别是(－2，0)、(2，0)，中线AD的长度是3，则A点的轨迹方程是 ( )．
A．x2＋y2＝3 B．x2＋y2＝4
C．x2＋y2＝9(y≠0) D．x2＋y2＝9(x≠0)
解析 易知BC中点D即为原点O，所以|OA|＝3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以
3为半径的圆，又因△ABC中，A、B、C三点不共线，所以y≠0.所以选C.
答案 C
9．到直线4x＋3y－5＝0的距离为1的点的轨迹方程为________．
解析 可设动点坐标为(x，y)，则＝1，
即|4x＋3y－5|＝5.
∴所求轨迹为4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0.
答案 4x＋3y－10＝0和4x＋3y＝0
10．已知点A(0，－1)，当点B在曲线y＝2x2＋1上运动时，线段AB的中点M的轨迹方程是________．
解析 设点B(x0，y0)，则y0＝2x02＋1.①
设线段AB中点为M(x，y)，
则x＝，y＝.
即x0＝2x，y0＝2y＋1，代入①式，得2y＋1＝2·(2x)2＋1.
即y＝4x2为线段AB中点的轨迹方程．
答案 y＝4x2
11．已知B(－3，0)、C(3，0)，△ABC中BC边上的高的长为3，求△ABC的垂心H的轨迹方程．
解 设H的坐标为(x，y)，则A点的坐标为(x，3)或(x，－3)，当A的坐标为(x，3)时，
∵AB⊥CH，
∴kAB·kCH＝－1，
即·＝－1(x≠±3)．
化简，整理，得y＝－x2＋3(x≠±3)．
x＝±3，y＝0时也适合此方程，所以方程y＝－x2＋3为所求轨迹方程．当A的坐标为(x，－3)时，同理可得H的轨迹方程为y＝x2－3.
总之，△ABC的垂心H的轨迹方程是y＝－x2＋3或y＝x2－3.
12．(创新拓展)已知两点M(－1，0)，N(1，0)，动点P使·，·，·成公差大于零的等差数列，求动点P的轨迹方程．
解 设动点P(x，y)，
由已知M(－1，0)，N(1，0)．
∴＝(x＋1，y)，＝(2，0)，
∴＝(－2，0)，
＝(－x－1，－y)，
＝(1－x，－y)．
∴＝(x－1，y)．
∴·＝2(x＋1)，
·＝(－x－1)(1－x)＋(－y)2＝x2＋y2－1.
·＝－2(x－1)．
依题意有：
化简得：x2＋y2＝3且x<0.
所以动点P的轨迹方程是
x2＋y2＝3(x<0)．
2.2 椭 圆
2.2.1 椭圆及其标准方程
双基达标 ?限时20分钟?
1．设P是椭圆＋＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于 ( )．
A．4 B．5
C．8 D．10
解析 由椭圆的标准方程得a2＝25，a＝5.由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10.
答案 D
2．已知F1，F2是定点，|F1F2|＝8，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝8，则动点M的轨迹是 ( )．
A．椭圆 B．直线
C．圆 D．线段
解析 ∵|MF1|＋|MF2|＝8＝|F1F2|，
∴点M的轨迹是线段F1F2，故选D.
答案 D
3．如果方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围是 ( )．
A．a>3
B．a<－2
C．a>3或a<－2
D．a>3或－6解析 由于椭圆焦点在x轴上，
∴即
?a>3或－6答案 D
4．已知椭圆的焦点在y轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为2，则此椭圆的标准方程为________．
解析 由已知2a＝8，2c＝2，
∴a＝4，c＝，
∴b2＝a2－c2＝16－15＝1，
∴椭圆标准方程为＋x2＝1.
答案 ＋x2＝1
5．已知椭圆＋＝1的焦距为6，则k的值为________．
解析 由已知2c＝6，
∴c＝3，而c2＝9，
∴20－k＝9或k－20＝9，
∴k＝11或k＝29.
答案 11或29
6．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在y轴上，焦距是4，且经过点M(3，2)；
(2)焦距是10，且椭圆上一点到两焦点的距离的和为26.
解 (1)由焦距是4可得c＝2，且焦点坐标为(0，－2)，(0，2)．
由椭圆的定义知2a＝＋＝8，
所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝16－4＝12.
又焦点在y轴上，所以椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)由题意知2c＝10，2a＝26，所以c＝5，a＝13，所以b2＝a2－c2＝132－52＝144，因为焦点所在的坐标轴不确定，所以椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
综合提高（限时25分钟）
7．已知椭圆的焦点是F1，F2，P是椭圆上的一动点，如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是 ( )．
A．圆 B．椭圆
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析 如图，依题意：
|PF1|＋|PF2|＝2a(a>0是常数)．
又∵|PQ|＝|PF2|，
∴|PF1|＋|PQ|＝2a，即|QF1|＝2a.
∴动点Q的轨迹是以F1为圆心，2a为半径的圆，故选A.
答案 A
8．设F1，F2是椭圆＋＝1的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，则△F1PF2的面积等于 ( )．
A．5 B．4
C．3 D．1
解析 由椭圆方程，得a＝3，b＝2，c＝，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝6，
又|PF1|∶|PF2|＝2∶1，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
由22＋42＝(2)2可知△F1PF2是直角三角形，故△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|＝×2
×4＝4，故选B.
答案 B
9．若α∈(0，)，方程x2sin α＋y2cos α＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则α的取值范围是________．
解析 方程x2sin α＋y2cos α＝1可化为＋＝1.
∵椭圆的焦点在y轴上，
∴>>0.
又∵α∈(0，)，
∴sin α>cos α>0，
∴<α<.
答案 (，)
10．椭圆＋＝1的两个焦点为F1和F2，点P在椭圆上，线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的________倍．
解析 依题意，不妨设椭圆两个焦点的坐标分别为F1(－3，0)，F2(3，0)，设P点的坐
标为(x1，y1)，由线段PF1的中点的横坐标为0，知＝0，∴x1＝3.把x1＝3代入椭圆
方程＋＝1，得y1＝±，即P点的坐标为(3，±)，
∴|PF2|＝|y1|＝.
由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝4，
∴|PF1|＝4－|PF2|＝4－＝，
即|PF1|＝7|PF2|.
答案 7
11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F1，F2在x轴上，且过点A(－4，3)．若F1A⊥F2A，求椭圆的标准方程．
解 设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．
设焦点F1(－c，0)，F2(c，0)(c>0)．
∵F1A⊥F2A，
∴·＝0，
而＝(－4＋c，3)，
＝(－4－c，3)，
∴(－4＋c)·(－4－c)＋32＝0，
∴c2＝25，即c＝5.
∴F1(－5，0)，F2(5，0)．
∴2a＝|AF1|＋|AF2|
＝＋
＝＋＝4.
∴a＝2，
∴b2＝a2－c2＝(2)2－52＝15.
∴所求椭圆的标准方程为＋＝1.
12．(创新拓展)如图，在圆C：(x＋1)2＋y2＝25内有一点A(1，0)，Q为圆C上一点，AQ的垂直平分线与C，Q的连线交于点M，求点M的轨迹方程．
解 由题意知点M在线段CQ上，
从而有|CQ|＝|MQ|＋|MC|.
又点M在AQ的垂直平分线上，则|MA|＝|MQ|，
∴|MA|＋|MC|＝|CQ|＝5.
∵A(1，0)，C(－1，0)，
∴点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，且2a＝5，故a＝，c＝1，b2＝a2－c2＝－1＝.
故点M的轨迹方程为＋＝1.
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第1课时 椭圆的简单几何性质
双基达标 ?限时20分钟?
1．已知椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0，13)，另一个顶点是(－10，0)，则焦点坐标为 ( )．
A．(±13，0) B．(0，±10)
C．(0，±13) D．(0，±)
解析 由题意知椭圆焦点在y轴上，且a＝13，b＝10，则c＝＝，故焦点坐
标为(0，±)．
答案 D
2．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为 ( )．
A. B. C. D.
解析 将椭圆方程x2＋4y2＝1化为标准方程x2＋＝1，则a2＝1，b2＝，即a＝1，c＝
＝，故离心率e＝＝.
答案 A
3．已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是(－，0)，(，0)，离心率是，则椭圆C的方程为 ( )．
A.＋y2＝1 B．x2＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 因为＝，且c＝，所以a＝，b＝＝1.所以椭圆C的方程为＋y2
＝1.
答案 A
4．已知椭圆的短轴长等于2，长轴端点与短轴端点间的距离等于，则此椭圆的标准方程是________．
解析 设椭圆的长半轴长为a，短半轴长为b，焦距为2c，则b＝1，a2＋b2＝()2，即
a2＝4.
所以椭圆的标准方程是＋y2＝1或＋x2＝1.
答案 ＋y2＝1或＋x2＝1
5．已知椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．
解析 当k＋8>9时，e2＝＝＝，k＝4；
当k＋8<9时，e2＝＝＝，k＝－.
答案 4或－
6．求椭圆＋y2＝1的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标．
解 已知方程为＋＝1，所以，a＝2，b＝1，c＝＝，
因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为2a＝4，2b＝2，
离心率e＝＝，两个焦点分别为F1(－，0)，F2(，0)，
椭圆的四个顶点是A1(－2，0)，A2(2，0)，B1(0，－1)，B2(0，1)．
综合提高（限时25分钟）
7．已知椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则m＝ ( )．
A. B. C．2 D．4
解析 将椭圆方程化为标准方程为x2＋ ＝1，
∵焦点在y轴上，
∴>1，∴0由方程得a＝，b＝1.
∵a＝2b，∴m＝.
答案 A
8．过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 记|F1F2|＝2c，则由题设条件，知|PF1|＝，|PF2|＝，则椭圆的离心率e＝＝
＝＝，故选B.
答案 B
9．已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为________．
解析 依题意设椭圆G的方程为＋＝1(a>b>0)，
∵椭圆上一点到其两个焦点的距离之和为12.
∴2a＝12，即a＝6.
∵椭圆的离心率为，
∴e＝＝＝，
∴＝，
∴b2＝9.∴椭圆G的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
10．已知中心在原点，对称轴为坐标轴，长半轴长与短半轴长的和为9，离心率为的椭圆的标准方程为________．
解析 由题意知
解得
但焦点位置不确定．
答案 ＋＝1或＋＝1
11．已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，且过点A(2，－6)．求椭圆的标准方程．
解 法一 依题意a＝2b.
(1)当椭圆焦点在x轴上时，设椭圆方程为＋＝1.
代入点A(2，－6)坐标，得＋＝1，解得b2＝37，
∴a2＝4b2＝4×37＝148，
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)当焦点在y轴上时，设椭圆方程为＋＝1.
代入点A(2，－6)坐标得＋＝1，
∴b2＝13，∴a2＝52.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
综上所述，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1.
法二 设椭圆方程为＋＝1(m>0，n>0，m≠n)，
由已知椭圆过点A(2，－6)，所以有＋＝1.①
由题设知a＝2b，∴＝2，②
或＝2，③
由①②可解得n＝37，∴m＝148.
由①③可解得 m＝13，∴n＝52.
所以所求椭圆的标准方程为 ＋＝1或＋＝1.
12．(创新拓展)已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A(－1，0)，B(1，0)，一个顶点为H(2，0)．
(1)求椭圆E的标准方程；
(2)对于x轴上的点P(t，0)，椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
解 (1)由题意可得，c＝1，a＝2，∴b＝.
∴所求椭圆E的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x0，y0)(x0≠±2)，则＋＝1. ①
＝(t－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
由MP⊥MH可得·＝0，
即(t－x0)(2－x0)＋y02＝0. ②
由①②消去y0，整理得t(2－x0)＝－x02＋2x0－3.
∵x0≠2，∴t＝x0－.
∵－2∴－2∴实数t的取值范围为(－2，－1)．
第2课时 椭圆方程及性质的应用
双基达标 ?限时20分钟?
1．椭圆＋＝1的一个焦点为F1，点P在椭圆上．如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是 ( )．
A．± B．± C．± D．±
解析 由条件可得F1(－3，0)，PF1的中点在y轴上，
∴P坐标(3，y0)，又P在＋＝1的椭圆上得y0＝±，
∴M的坐标(0，±)，故选A.
答案 A
2．如图所示，直线l：x－2y＋2＝0过椭圆的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 由条件知，F1(－2，0)，B(0，1)，∴b＝1，c＝2，
∴a＝＝，
∴e＝＝＝.
答案 D
3．已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y－1＝0和x＋y＋1＝0与椭圆分别相交于点A，B和C，D，则AF＋BF＋CF＋DF＝ ( )．
A．2 B．4 C．4 D．8
解析 如图，两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点，连接
AF1、FD.由椭圆的对称性可知，四边形AFDF1(其中F1为椭
圆的下焦点)为平行四边形，
∴AF1＝FD，同理BF1＝CF，
∴AF＋BF＋CF＋DF＝AF＋BF＋BF1＋AF1＝4a＝8.
答案 D
4．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是________．
解析 由消去y，
整理得(3＋m)x2＋4mx＋m＝0.
若直线与椭圆有两个公共点，
则解得
由＋＝1表示椭圆知，m>0且m≠3.
综上可知，m的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．
答案 (1，3)∪(3，＋∞)
5．椭圆x2＋4y2＝16被直线y＝x＋1截得的弦长为________．
解析 由消去y并化简得x2＋2x－6＝0.
设直线与椭圆的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则x1＋x2＝－2，x1x2＝－6.
∴弦长|MN|＝
＝
＝
＝＝.
答案
6．已知直线l：y＝kx＋1与椭圆＋y2＝1交于M、N两点，且|MN|＝.求直线l的方程．
解 设直线l与椭圆的交点
M(x1，y1)，N(x2，y2)，
由消y并化简，得(1＋2k2)x2＋4kx＝0，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝0.
由|MN|＝，得(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝，
∴(1＋k2)(x1－x2)2＝，
∴(1＋k2)[(x1＋x2)2－4x1x2]＝.
即(1＋k2)(－)2＝.
化简，得k4＋k2－2＝0，∴k2＝1，∴k＝±1.
∴所求直线l的方程是y＝x＋1或y＝－x＋1.
综合提高（限时25分钟）
7．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率是，过椭圆上一点M作直线MA，MB分别交椭圆于A，B两点，且斜率分别为k1，k2，若点A，B关于原点对称，则k1·k2的值为 ( )．
A. B．－ C. D．－
解析 设点M(x，y)，A(x1，y1)，B(－x1，－y1)，
则y2＝b2－，y12＝b2－，
所以k1·k2＝·＝＝－＝－1＝e2－1＝－，
即k1·k2的值为－.
答案 D
8．已知椭圆C：＋y2＝1的右焦点为F，直线l：x＝2，点A∈l，线段AF交C于点B，若＝3，则||＝ ( )．
A. B．2 C. D．3
解析 设点A(2，n)，B(x0，y0)．
由椭圆C：＋y2＝1知a2＝2，b2＝1，
∴c2＝1，即c＝1，∴右焦点F(1，0)．
∴由＝3得(1，n)＝3(x0－1，y0)．
∴1＝3(x0－1)且n＝3y0.
∴x0＝，y0＝n.
将x0，y0代入＋y2＝1，得
×()2＋(n)2＝1.
解得n2＝1，∴||＝＝＝.所以选A.
答案 A
9．已知F1、F2为椭圆＋＝1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A、B两点．若|F2A|＋|F2B|＝12，则|AB|＝________.
解析 由题意知(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝2a＋2a，又由a＝5，
可得|AB|＋(|BF2|＋|AF2|)＝20，即|AB|＝8.
答案 8
10．如图，在平面直角坐标系xOy中，A1，A2，B1，B2为椭圆＋＝1(a>b>0)的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为________．
解析 直线A1B2的方程为＋＝1，直线B1F的方程为＋＝1，二者联立，得T(，
)，
则M(，)在椭圆＋＝1(a>b>0)上，
∴＋＝1，
c2＋10ac－3a2＝0，e2＋10e－3＝0，解得e＝2－5.
答案 2－5
11．已知过点A(－1，1)的直线与椭圆＋＝1交于点B、C，当直线l绕点A(－1，1)旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．
解 设直线l与椭圆的交点B(x1，y1)，C(x2，y2)，
弦BC中点M(x，y)，
则＋＝1，①
＋＝1.②
②－①，得(－)＋(－)＝0.
∴(x2＋x1)(x2－x1)＋2(y2＋y1)(y2－y1)＝0.③
当x1≠x2时，＝x，＝y，＝，
又∵③式可化为(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0.
∴2x＋2·2y·＝0，化简得x2＋2y2＋x－2y＝0.
当x1＝x2时，由点M(x，y)是线段BC中点，
∴x＝－1，y＝0，显然适合上式．
总之，所求弦中点M的轨迹方程是x2＋2y2＋x－2y＝0.
12．(创新拓展)如图所示，点A、B分别是椭圆＋＝1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PA⊥PF.
(1)求点P的坐标；
(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值．
解 (1)由已知可得点A(－6，0)，F(4，0)，
设点P的坐标是(x，y)，
则＝(x＋6，y)，＝(x－4，y)．
由已知得
则2x2＋9x－18＝0,
即得x＝或x＝－6.
由于y>0，只能x＝，于是y＝.
∴点P的坐标是(，)．
(2)直线AP的方程是x－y＋6＝0.
设点M的坐标是(m，0)，
则M到直线AP的距离是，
于是＝|m－6|，
又－6≤m≤6，解得m＝2，
设椭圆上的点(x，y)到点M的距离d，有
d2＝(x－2)2＋y2＝x2－4x＋4＋20－x2
＝(x－)2＋15，
由于－6≤x≤6.
∴当x＝时，d取最小值.
2.3 双曲线
2.3.1 双曲线及其标准方程
双基达标 ?限时20分钟?
1．平面内有两个定点F1(－5，0)和F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝6，则动点P的轨迹方程是 ( )．
A.－＝1(x≤－4) B.－＝1(x≤－3)
C.－＝1(x≥4) D.－＝1(x≥3)
解析 根据双曲线的定义可得．
答案 D
2．双曲线－＝1的焦距为 ( )．
A．3 B．4 C．3 D．4
解析 由双曲线的标准方程可知，a2＝10，b2＝2.于是有c2＝a2＋b2＝12，则2c＝4.
故选D.
答案 D
3．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为 ( )．
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D.－＝0或－＝0
解析 因为b2＝c2－a2＝49－25＝24，且焦点位置不确定，所以所求双曲线的标准方程
为－＝1或－＝1.
答案 C
4．若双曲线8kx2－ky2＝8的一个焦点坐标是(0，3)，则实数k的值为________．
解析 因为双曲线焦点在y轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1，所以k<0，又
(0，3)是双曲线的一个焦点，则c＝3，于是有－－＝32＝9，解得k＝－1.
答案 －1
5．已知P是双曲线－＝1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|＝17，则|PF2|的值为________．
解析 由双曲线方程－＝1知，a＝8，b＝6，则c＝＝10.
∵P是双曲线上一点，
∴||PF1|－|PF2||＝2a＝16，
又|PF1|＝17，
∴|PF2|＝1或|PF2|＝33.
又|PF2|≥c－a＝2，
∴|PF2|＝33.
答案 33
6．(1)求经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)的双曲线的标准方程；
(2)已知双曲线与椭圆＋＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4，求双曲线的方程．
解 (1)设双曲线的标准方程为nx2＋my2＝1(m·n<0)，
又双曲线经过点P(－3，2)和Q(－6，－7)，
所以解得
所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
(2)因为椭圆＋＝1的焦点为(0，－3)，(0，3)，A点的坐标为(±，4)，设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，所以解得所以所求的双曲线的标准方程为－＝1.
综合提高（限时25分钟）
7．已知方程(1＋k)x2－(1－k)y2＝1表示焦点在x轴上的双曲线，则k的取值范围为 ( )．
A．－11
C．k<－1 D．k>1或k<－1
解析 由题意得解得即－1答案 A
8．已知双曲线C：－＝1的左、右焦点分别为F1、F2，P为C右支上的一点，且|PF2|＝|F1F2|，则△PF1F2的面积等于 ( )．
A．24 B．36
C．48 D．96
解析 依题意得|PF2|＝|F1F2|＝10，由双曲线的定义，得|PF1|－|PF2|＝6，∴|PF1|＝16.
∴S△PF1F2＝×16×＝48.故选C.
答案 C
9．双曲线 －＝1的一个焦点到中心的距离为3，那么m＝________.
解析 (1)当焦点在x轴上，有m>5，
则c2＝m＋m－5＝9，
∴m＝7；
(2)当焦点在y轴上，有m<0，
则c2＝－m＋5－m＝9，
∴m＝－2；
综上述，m＝7或m＝－2.
答案 7或－2
10．已知椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则实数a＝________.
解析 由双曲线－＝1可知a>0，且焦点在x轴上．根据题意知4－a2＝a＋2，即a2
＋a－2＝0，解得a＝1或a＝－2(舍去)，故实数a＝1.
答案 1
11．已知方程kx2＋y2＝4，其中k∈R，试就k的不同取值讨论方程所表示的曲线类型．
解 (1)当k＝0时，方程变为y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；
(2)当k＝1时，方程变为x2＋y2＝4表示圆心在原点，半径为2的圆；
(3)当k<0时，方程变为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线．
(4)当0(5)当k>1时，方程变为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．
12．(创新拓展)已知双曲线的方程为x2－＝1，如图，点A的坐标为(－，0)，B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，点M在双曲线的右支上，求|MA|＋|MB|的最小值．
解 设点D的坐标为(，0)，则点A，D是双曲线的焦点，
由双曲线的定义，得|MA|－|MD|＝2a＝2.
∴|MA|＋|MB|＝2＋|MB|＋|MD|≥2＋|BD|，
又B是圆x2＋(y－)2＝1上的点，圆的圆心为C(0，)，
半径为1，故|BD|≥|CD|－1＝－1，从而|MA|＋|MB|≥2
＋|BD|≥＋1，
当点M，B在线段CD上时取等号，即|MA|＋|MB|的最小值为＋1.
2.3.2 双曲线的简单几何性质
双基达标 ?限时20分钟?
1．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m的值为 ( )．
A．－ B．－4 C．4 D.
解析 由双曲线方程mx2＋y2＝1，知m<0，则双曲线方程可化为y2－＝1，则a2＝1，
a＝1，又虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2，∴－＝b2＝4，∴m＝－，故选A.
答案 A
2．双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是 ( )．
A．y＝±3x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析 令x2－＝0，则y＝±x.
答案 C
3．已知中心在原点，对称轴为坐标轴且经过点P(1，3)，离心率为的双曲线的标准方程为 ( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 由离心率为，∴e2＝＝＝1＋＝2，即a＝b，
∴双曲线为等轴双曲线，故设所求双曲线的标准方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，又点P(1，3)
在双曲线上，则λ＝1－9＝－8，
∴所求双曲线的标准方程为－＝1.故选D.
答案 D
4．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是________．
解析 依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双
曲线的标准方程为－＝1.
答案 －＝1
5．双曲线＋＝1的离心率e∈(1，2)，则k的取值范围是________．
解析 双曲线方程可变为－＝1，则a2＝4，b2＝－k，c2＝4－k，e＝＝，
又∵e∈(1，2)，则1<<2，解得－12答案 (－12，0)
6．求双曲线x2－＝1的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长与渐近线方程．
解 把方程化为标准方程为－＝1，由此可知实半轴长a＝1，虚半轴长b＝2，顶点坐标是(－1，0)，(1，0)，c＝＝＝，
焦点的坐标是(－，0)，(，0)，渐近线方程为±＝0，即y＝±2x.
综合提高（限时25分钟）
7．在平面直角坐标系xOy中，双曲线的中心在坐标原点，焦点在y轴上， 一条渐近线的方程为x－2y＝0，则它的离心率为 ( )．
A. B. C. D．2
解析 由题意知，这条渐近线的斜率为，即＝，
而e＝＝＝＝，故选A.
答案 A
8．若0A．相同的虚轴 B．相同的实轴
C．相同的渐近线 D．相同的焦点
解析 a2－k>0，b2＋k>0，所以a2－k＋b2＋k＝a2＋b2＝c2.
所以两双曲线有相同的焦点．
答案 D
9．若双曲线中心在原点，焦点在y轴，离心率e＝，则其渐近线方程为________．
解析 由已知设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由e＝，得e2＝＝＝1＋＝.
∴＝，则＝，
∴渐近线方程为y＝±x＝±x.
答案 y＝±x
10．过双曲线的一个焦点F2作垂直于实轴的弦PQ，点F1是另一个焦点，若∠PF1Q＝90°，则双曲线的离心率等于________．
解析 设F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，由题意知在焦点三角形F1PF2中，|PF1|
＝2c，|PF2|＝2c，
又|PF1|－|PF2|＝2a，故有e＝＋1.
答案 ＋1
11．求与双曲线－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程．
解 设与－＝1共渐近线且过A(3，－3)的双曲线的方程为－＝λ，则－＝λ，从而有λ＝，所求双曲线的方程为－＝1.
12．(创新拓展)已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线x2－＝1于A、B两点，且＝
(＋)．
(1)求直线AB的方程；
(2)若过点N的直线交双曲线于C、D两点，且·＝0，那么A、B、C、D四点是否
共圆？为什么？
解 (1)由题意知直线AB的斜率存在．
设直线AB：y＝k(x－1)＋2，代入x2－＝1
得(2－k2)x2－2k(2－k)x－(2－k)2－2＝0. (*)
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1、x2是方程(*)的两根，
∴2－k2≠0.
且x1＋x2＝.
∵＝(＋)，
∴N是AB的中点，
∴＝1，
∴k(2－k)＝－k2＋2，k＝1，
∴直线AB的方程为y＝x＋1.
(2)共圆．将k＝1代入方程(*)得
x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，
∴A(－1，0)，B(3，4)．
∵·＝0，∴CD垂直AB，
∴CD所在直线方程为
y＝－(x－1)＋2，
即y＝3－x，代入双曲线方程整理得x2＋6x－11＝0，
令C(x3，y3)，D(x4，y4)及CD中点M(x0，y0)
则x3＋x4＝－6，x3·x4＝－11，
∴x0＝＝－3，y0＝6，
即M(－3，6)．
|CD|＝|x3－x4|
＝
＝4，
|MC|＝|MD|＝|CD|＝2，
|MA|＝|MB|＝2，
即A、B、C、D到M的距离相等，
∴A、B、C、D四点共圆．
2.4 抛物线
2.4.1 抛物线及其标准方程
双基达标 ?限时20分钟?
1．抛物线y2＝－8x的焦点坐标是 ( )．
A．(2，0) B．(－2，0) C．(4，0) D．(－4，0)
解析 依题意，抛物线开口向左，焦点在x轴的负半轴上，由2p＝8得＝2，故焦点坐
标为(－2，0)，故选B.
答案 B
2．若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为10，则点P的坐标为 ( )．
A．(8，8) B．(8，－8)
C．(8，±8) D．(－8，±8)
解析 设P(xP，yP)，∵点P到焦点的距离等于它到准线x＝－2的距离，∴xP＝8，yP＝±8，
故选C.
答案 C
3．以双曲线－＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为 ( )．
A．y2＝16x B．y2＝－16x
C．y2＝8x D．y2＝－8x
解析 由双曲线方程－＝1，可知其焦点在x轴上，由a2＝16，得a＝4，∴该双曲
线右顶点的坐标是(4，0)，∴抛物线的焦点为F(4，0)．设抛物线的标准方程为y2＝
2px(p>0)，则由＝4，得p＝8，故所求抛物线的标准方程为y2＝16x.
答案 A
4．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是________．
解析 由抛物线的方程得＝＝2，再根据抛物线的定义，可知所求距离为4＋2＝6.
答案 6
5．若直线ax－y＋1＝0经过抛物线y2＝4x的焦点，则实数a＝________.
解析 抛物线y2＝4x的焦点为(1，0)，代入ax－y＋1＝0，解得a＝－1.
答案 －1
6．根据下列条件写出抛物线的标准方程：
(1)准线方程是y＝3；
(2)过点P(－2，4)；
(3)焦点到准线的距离为.
解 (1)由准线方程为y＝3知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3，则p＝6，故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y.
(2)∵点P(－2，4)在第二象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，将点P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2；代入x2＝2py，得p＝1.
∴所求抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝2y.
(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，故所求抛物线的标准方程为y2＝2x，y2＝
－2x，x2＝2y或x2＝－2y.
综合提高（限时25分钟）
7．动点到点(3，0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是 ( )．
A．椭圆 B．双曲线
C．双曲线的一支 D．抛物线
解析 已知条件可等价于“动点到点(3，0)的距离等于它到直线x＝－3的距离”，由抛
物线的定义可判断，动点的轨迹为抛物线，故选D.
答案 D
8．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( )．
A．2 B．3 C. D.
解析 直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义
知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1，0)的距离，故本题
化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1，0)和直线l1
的距离之和最小，最小值为F(1，0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距
离，即dmin＝＝2，故选择A.
答案 A
9．已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为________．
解析 由抛物线方程y2＝2px(p>0)，得其准线方程为x＝－，又圆的方程为(x－3)2＋y2
＝16，∴圆心为(3，0)，半径为4.依题意，得3－(－)＝4，解得p＝2.
答案 2
10．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．
解析 将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐
标为(0，－1)，－3<－，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，
如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，
过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|
＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，当且仅当点M在EQ上时取等号，又
|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.
答案 4
11．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．
解 法一 设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，即动点M到定点A和定直线l：x＝－3的距离相等，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，
∴＝3，∴p＝6.
∴圆心M的轨迹方程是y2＝12x.
法二 设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，
即＝|x＋3|，化简，得y2＝12x.
∴圆心M的轨迹方程为y2＝12x.
12．(创新拓展)设F(1，0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且
(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上除去原点外的不同三点，且成等差数列，当线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3，0)时，求点B的坐标．
解 (1)设N(x，y)，由得点P为线段MN的中点，∴P(0，)，
M(－x，0)，
∴＝(－x，－)，＝(1，－)．
由＝－x＋＝0，得y2＝4x.
即点N的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由抛物线的定义，知|AF|＝x1＋1，|BF|＝x2＋1，|DF|＝x3＋1，
∵成等差数列，
∴2x2＋2＝x1＋1＋x3＋1，即x2＝.
∵线段AD的中点为(，)，且线段AD的垂直平分线与x轴交于点E(3，0)，
∴线段AD的垂直平分线的斜率为k＝.
又kAD＝，∴·＝－1，
即＝－1.
∵x1≠x3，∴x1＋x3＝2，又x2＝，∴x2＝1.
∵点B在抛物线上，∴B(1，2)或(1，－2)．
2.4.2 抛物线的简单几何性质
双基达标 ?限时20分钟?
1．经过抛物线y2＝2x的焦点且平行于直线3x－2y＋5＝0的直线l的方程是 ( )．
A．6x－4y－3＝0 B．3x－2y－3＝0
C．2x＋3y－2＝0 D．2x＋3y－1＝0
解析 设直线l的方程为3x－2y＋c＝0，抛物线y2＝2x的焦点F(，0)，所以3×－2×0
＋c＝0，
所以c＝－，故直线l的方程是6x－4y－3＝0.选A.
答案 A
2．过点(1，0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A，B两点，则弦AB的长为 ( )．
A．2 B．2
C．2 D．2
解析 不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2.由直线AB斜率为－2，
且过点(1，0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，
整理得x2－4x＋1＝0，解得x1＝2＋，x2＝2－，代入直线AB方程得y1＝－2－2，
y2＝2－2.故A(2＋，－2－2)，B(2－，2－2)．
|AB|＝＝2.
答案 B
3．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为 ( )．
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析 抛物线的焦点为F(，0)，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y
＋，代入y2＝2px得y2＝2p(y＋)＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得
＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x
＝－1.
答案 B
4．抛物线顶点在坐标原点，以y轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，则抛物线方程为________．
解析 ∵过焦点且与对称轴y轴垂直的弦长等于p的2倍．
∴所求抛物线方程为x2＝±16y.
答案 x2＝±16y
5．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________．
解析 ∵抛物线的焦点为F(1，0)，设A(，y0)，
则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，
由·＝－4，得y0＝±2，
∴点A的坐标是(1，2)或(1，－2)．
答案 (1，2)或(1，－2)
6．求适合下列条件的抛物线的标准方程：
(1)顶点在原点，对称轴为坐标轴，顶点到准线的距离为4；
(2)顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，准线过双曲线的左顶点，且垂直于坐标轴．
解 (1)由抛物线的标准方程对应的图形易知：顶点到准线的距离为，故＝4，p＝8.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝±16x或x2＝±16y.
(2)双曲线方程16x2－9y2＝144化为标准形式为－＝1，中心为原点，左顶点为(－3，0)，故抛物线顶点在原点，准线为x＝－3.由题意可设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)，可得＝3，故p＝6.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝12x.
综合提高（限时25分钟）
7．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点．若|FA|＝2|FB|，则k＝ ( )．
A. B. C. D.
解析 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，易知x1>0，x2>0，y1>0，y2>0，
由得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，
∴x1x2＝4， ①
∵|FA|＝x1＋＝x1＋2，
|FB|＝x2＋＝x2＋2，且|FA|＝2|FB|，
∴x1＝2x2＋2. ②
由①②得x2＝1，
∴B(1，2)，代入y＝k(x＋2)，得k＝.故选D.
答案 D
8．过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线相交于M，N两点，自M，N向准线l作垂线，垂足分别为M1，N1，则∠M1FN1等于 ( )．
A．45° B．60° C．90° D．120°
解析 如图，由抛物线的定义，
得|MF|＝|MM1|，|NF|＝|NN1|.
∴∠MFM1＝∠MM1F，
∠NFN1＝∠NN1F.
设准线l与x轴的交点为F1，
∵MM1∥FF1∥NN1，
∴∠MM1F＝∠M1FF1，
∠NN1F＝∠N1FF1.
而∠MFM1＋∠M1FF1＋∠NFN1＋∠N1FF1＝180°，
∴2∠M1FF1＋2∠N1FF1＝180°，即∠M1FN1＝90°.
答案 C
9．边长为1的等边三角形AOB，O为原点，AB⊥x轴，以O为顶点，且过A，B的抛物线方程是________．
解析 该等边三角形的高为.因而A点坐标为或.可设抛物线方
程为y2＝2px(p≠0)．A在抛物线上，因而p＝±.因而所求抛物线方程为y2＝±x.
答案 y2＝±x
10．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)．直线l与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为(2，2)，则直线l的方程为________．
解析 抛物线的方程为y2＝4x，
设直线l与抛物线C的交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则有x1≠x2，
两式相减得，y12－y22＝4(x1－x2)，
∴＝＝1，
∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
答案 y＝x
11．已知顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y＝2x＋1截得的弦长为，求抛物线的方程．
解 设抛物线的方程为y2＝2px，
则消去y，得
4x2－(2p－4)x＋1＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
x1＋x2 ＝，x1x2＝.
|AB|＝|x1－x2|＝
＝＝.
则＝，p2－4p－12＝0，
p＝－2或6.∴y2＝－4x或y2＝12x.
12．(创新拓展)如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.
(1)证明直线AB必过一定点；
(2)求△AOB面积的最小值．
(1)证明 设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，则直线OB的方程为y＝－x，
由解得或
即A点的坐标为(，)．
同样由解得B点的坐标为(2k2，－2k)．
∴AB所在直线的方程为y＋2k＝(x－2k2)，
化简并整理，得(－k)y＝x－2.
不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.
故直线过定点P(2，0)．
(2)解 由于AB所在直线过定点P(2，0)，所以可设AB所在直线的方程为x＝my＋2.
由消去x并整理得y2－2my－4＝0.
∴y1＋y2＝2m，y1y2＝－4.
于是|y1－y2|＝＝＝＝2.
S△AOB＝×|OP|×(|y1|＋|y2|)
＝|OP|·|y1－y2|＝×2×2＝2.
∴当m＝0时，△AOB的面积取得最小值为4.
第三章 空间向量与立体几何
3.1 空间向量及其运算
3.1.1 空间向量及其加减运算
双基达标 ?限时20分钟?
1．在平行六面体ABCD－A′B′C′D′的棱所在向量中，与向量模相等的向量有 ( )．
A．0个 B．3个 C．7个 D．9个
解析 如右图，与向量模相等的向量有：
，，，，，，.
答案 C
2．化简－＋所得的结果是 ( )．
A. B. C．0 D.
解析 －＋＝＋＝0.
答案 C
3．下列说法中正确的是 ( )．
A．若|a|＝|b|，则a、b的长度相同，方向相同或相反
B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形ABCD中，一定有＋＝
解析 |a|＝|b|，说明a与b模长相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a故|a|
＝|b|，从而B正确；空间向量只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边
形不具有＋＝，只有平行四边形才能成立．故A、C、D均不正确．
答案 B
4．对于空间中的非零向量、、，有下列各式：①＋＝；②－＝；③||＋||＝||；④||－||＝||.其中一定不成立的是________．
解析 根据空间向量的加减法运算，对于①：＋＝恒成立；
对于③：当、、方向相同时，有||＋||＝||；
对于④：当、、共线且与、方向相反时，有||－||＝||.
只有②一定不成立．
答案 ②
5．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为AB、B1C的中点．用、、表示向量，则＝________．
解析 ＝＋＋
＝＋＋(＋)
＝＋＋(－＋)
＝＋＋.
答案 ＋＋
6．如图，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD －A1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，
(1)单位向量共有多少个？
(2)试写出模为的所有向量；
(3)试写出与相等的所有向量；
(4)试写出的相反向量．
解 (1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量、、、、、、、共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．
(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有、、、、、、、，共8个．
(3)与向量相等的所有向量(除它自身之外)共有、及，共3个．
(4)向量的相反向量为、、、，共4个．
综合提高（限时25分钟）
7．如图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是 ( )．
A.与 B.与
C.与 D.与
解析 ∵＝，∴||＝||，AB∥DC，即四边形ABCD为平
行四边形，由平行四边形的性质知，＝.∴应选D.
答案 D
8．空间任意四个点A、B、C、D，则＋－等于 ( )．
A. B. C. D.
解析 ＋－＝＋＝.
答案 D
9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝______(用a，b，c表示)．
解析 ＝－＝－(＋)＝－a＋b－c.
答案 －a＋b－c
10．已知点M是△ABC的重心，则＋＋＝________．
解析 设D为AB的中点，则＋＝2，又M为△ABC的
重心，则＝－2，所以＋＋＝0.
答案 0
11．如图，在四棱柱A′B′C′D′－ABCD中，求证：＋＋＝.
证明 如图，
＋＝，＋＝，
所以＋＋＝＋＝，
在四棱柱A′B′C′D′－ABCD中 ，＝，
所以＋＋＝.
12．(创新拓展)已知点G是△ABC的重心，O是空间任意一点，若＋＋＝λ，求λ的值．
解 连结CG并延长交AB于D，
则D为AB中点，且CG＝2GD，
∴＋＋
＝＋＋＋＋＋
＝3＋＋＋
＝3＋2＋
＝3－＋＝3.
∴λ＝3.
3.1.2 空间向量的数乘运算
双基达标 ?限时20分钟?
1．给出的下列几个命题：
①向量a，b，c共面，则它们所在的直线共面；
②零向量的方向是任意的；
③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb.其中真命题的个数为 ( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 ①假命题．三个向量共面时，它们所在的直线或者在平面内或者与平面平行；
②真命题．这是关于零向量的方向的规定；③假命题．当b＝0，则有无数多个λ使之成
立．
答案 B
2．设空间四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则 ( )．
A．点P一定在直线AB上
B．点P一定不在直线AB上
C．点P可能在直线AB上，也可能不在直线AB上
D.与的方向一定相同
解析 已知m＋n＝1，则m＝1－n，＝(1－n)＋n＝－n＋n?－＝
n(－)?＝n.因为≠0，所以和共线，即点A，P，B共线，故选A.
答案 A
3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋＋，则x的值为 ( )．
A．1 B．0 C．3 D.
解析 ∵＝x＋＋，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＋＝1，x＝，故
选D.
答案 D
4．以下命题：①两个共线向量是指在同一直线上的两个向量；②共线的两个向量互相平行；③共面的三个向量是指在同一平面内的三个向量；④共面的三个向量是指平行于同一平面的三个向量．其中正确命题的序号是________．
解析 根据共面与共线向量的定义判定，易知②④正确．
答案 ②④
5．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝______．
解析 ＝－＝e1－4e2，＝2e1＋ke2，
又A、B、D三点共线，由共线向量定理得＝λ，
∴＝.∴k＝－8.
答案 －8
6．如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，请判断向量与＋是否共线？
解 取AC中点为G.
连接EG，FG，
∴＝，＝，
又∵，，共面，
∴＝＋
＝＋
＝(＋)，
∴与＋共线．
综合提高（限时25分钟）
7．对于空间任一点O和不共线的三点A，B，C，有＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝1是P，A，B，C四点共面的 ( )．
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 若x＋y＋z＝1，则＝(1－y－z)＋y＋z，即＝y＋z，由共面定
理可知向量，，共面，所以P，A，B，C四点共面；反之，若P，A，B，C四
点共面，当O与四个点中的一个(比如A点)重合时，＝0，x可取任意值，不一定有x
＋y＋z＝1，故选B.
答案 B
8．已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于( )．
A．2－ B．－＋2
C.－ D．－＋
解析 由已知得2(－)＋(－)＝0，
∴＝2－.
答案 A
9．如图所示，在四面体O—ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝______(用a，b，c表示)．
解析 ＝＋＝a＋
＝a＋(－)
＝a＋
＝a＋×(＋)
＝a＋b＋c.
答案 a＋b＋c
10．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么λ＋m＋n的值为________．
解析 ∵A，B，C三点共线，∴存在唯一实数k使＝k，
即－＝k(－)，
∴(k－1)＋－k＝0，
又λ＋m＋n＝0，
令λ＝k－1，m＝1，n＝－k，
则λ＋m＋n＝0.
答案 0
11．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点．
证明：向量、、是共面向量．
证明 法一 ＝＋＋
＝－＋
＝(＋)－
＝－.
由向量共面的充要条件知，、、是共面向量．
法二 连结A1D、BD，取A1D中点G，连结FG、BG，
则有FG綉DD1，BE綉DD1，
∴FG綉BE.
∴四边形BEFG为平行四边形．
∴EF∥BG.
∴EF∥平面A1BD.
同理，B1C∥A1D，∴B1C∥平面A1BD，
∴、、都与平面A1BD平行．
∴、、共面．
12．(创新拓展)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)证明E，F，G，H四点共面；
(2)证明BD∥平面EFGH.
证明 如图，连结EG，BG.
(1)∵＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋＝＋，
由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．
(2)法一 ∵＝－＝－＝，
∴EH∥BD.
又EH?面EFGH，BD?面EFGH，
∴BD∥面EFGH.
法二 ∵＝＋＝2＋2
＝2＝2(＋)＝2＋2，
又，不共线，∴与，共面．
又BD?面EFGH，∴BD∥面EFGH.
3.1.3 空间向量的数量积运算
双基达标 ?限时20分钟?
1．对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是 ( )．
A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
B．若λa＝0，则λ＝0或a＝0
C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
D．若a·b＝a·c，则b＝c
解析 对于A，可举反例：当a⊥b时，a·b＝0；
对于C，a2＝b2，只能推得|a|＝|b|，而不能推出a＝±b；
对于D，a·b＝a·c可以移项整理推得a⊥(b－c)．
答案 B
2．如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是 ( )．
A．2·
B．2·
C．2·
D．2·
解析 2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；
2·＝－a2，故D错，只有C正确．
答案 C
3．空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为 ( )．
A. B. C．－ D．0
解析 因为·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－
||||cos〈，〉，
又因为〈，〉＝〈，〉＝，
||＝||，所以·＝0，
所以⊥，所以cos〈，〉＝0.
答案 D
4．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝，则cos〈a，b〉＝________．
解析 将|a－b|＝化为(a－b)2＝7，求得a·b＝，再由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉求得
cos〈a，b〉＝.
答案
5．已知空间向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，|a|＝3，|b|＝1，|c|＝4，则a·b＋b·c＋c·a的值为________．
解析 ∵a＋b＋c＝0，∴(a＋b＋c)2＝0，∴a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0，
∴a·b＋b·c＋c·a＝－＝－13.
答案 －13
6．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点．求下列向量的数量积：
(1)·；(2)·
解 如图所示，设＝a，＝b，＝c，
则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.
(1)·＝·(＋)＝b·[(c－a)＋b]
＝|b|2＝42＝16.
(2)·＝(＋)·(＋)
＝(c－a＋b)·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.
综合提高（限时25分钟）
7．已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，同一顶点为端点的三条棱长都等于1，且彼此的夹角都是60°，则此平行六面体的对角线AC1的长为 ( )．
A. B．2 C. D.
解析：∵＝＋＋
∴2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1
＋1＋2(cos 60°＋cos 60°＋cos 60°)＝6，∴||＝.
答案：D
8．已知a，b是异面直线，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a与b所成的角是 ( )．
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析 ∵·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，
∴cos〈，〉＝＝，
∴a与b的夹角为60°.
答案 C
9．已知|a|＝3，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，m⊥n，则λ＝________．
解析 由m⊥n，得(a＋b)·(a＋λb)＝0，∴a2＋(1＋λ)a·b＋λb2＝0，∴18＋(λ＋1)×3×
4cos 135°＋16λ＝0，即4λ＋6＝0，∴λ＝－.
答案 －
10．如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是______．
解析 不妨设棱长为2，则＝－，＝＋，
cos〈，〉＝＝＝
0，故填90°.
答案 90°
11．如图所示，已知△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°.
求证：BD⊥平面ADC.
证明 不妨设AD＝BD＝CD＝1，则AB＝AC＝.
·＝(－)·＝·－·，
由于·＝·(＋)＝·＝1，·＝||·||cos 60°＝××
＝1.∴·＝0，即BD⊥AC，又已知BD⊥AD，AD∩AC＝A，∴BD⊥平面ADC.
12．(创新拓展)如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，底面边长为.
(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；
(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长．
(1)证明 ＝＋，＝＋.
∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.
又△ABC为正三角形，∴〈·〉＝π－〈·〉＝π－＝.
∵·＝(＋)·(＋)
＝·＋·＋2＋·
＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，
∴AB1⊥BC1.
(2)解 结合(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.
又||＝)2＝＝||.
∴cos〈，〉＝＝，
∴||＝2，即侧棱长为2.
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
双基达标 ?限时20分钟?
1．对于空间中的三个向量a，b，2a－b.它们一定是 ( )．
A．共面向量 B．共线向量
C．不共面向量 D．以上均不对
答案 A
2．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一组基底的关系是 ( )．
A.＝＋＋
B.＝＋
C.＝＋＋
D.＝2－
解析 对于选项A，由结论＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面
知，，，共面；对于B，D选项，易知，，共面，故只有选项C中，
，不共面．
答案 C
3．已知A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若＝，则C的坐标是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 设点C坐标为(x，y，z)，则＝(x，y，z)．
又＝(－3，－2，－4)，＝，
∴x＝－，y＝－，z＝－.
答案 A
4．设{i，j，k}是空间向量的一个单位正交基底，a＝2i－4j＋5k，b＝i＋2j－3k，则向量a，b的坐标分别为____________．
解析 a，b的坐标即为i，j，k前面的系数，故a的坐标为(2，－4，5)，b的坐标为(1，
2，－3)．
答案 (2，－4，5) (1，2，－3)
5．设命题p：{a，b，c}为空间的一个基底，命题q：a、b、c是三个非零向量，则命题p是q的________条件．
解析 {a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c不共面，所以a，b，c是三个非零向量，
但反之不成立，故p是q的充分不必要条件．
答案 充分不必要
6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，以底面正方形ABCD的中心为坐标原点O，分别以射线OB，OC，AA1的指向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
试写出正方体八个顶点的坐标．
解 设i，j，k分别是与x轴、y轴、z轴的正方向方向相
同的单位坐标向量．
因为底面正方形的中心为O，边长为2，所以OB＝.
由于点B在x轴的正半轴上，所以＝i，即点B的坐标为(，0，0)．
同理可得C(0，，0)，D(－，0，0)，A(0，－，0)．
又＝＋＝i＋2k，所以＝(，0，2)．
即点B1的坐标为(，0，2)．
同理可得C1(0，，2)，D1(－，0，2)，A1(0，－，2)．
综合提高（限时25分钟）
7．已知空间四边形OABC，M，N分别是OA，BC的中点，且＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示向量为 ( )．
A.a＋b＋c B. a－b＋c
C．－a＋b＋c D．－a＋b－c
解析 如图所示，连接ON，AN，
则＝(＋)＝(b＋c)，
＝(＋)
＝(－2＋)
＝(－2a＋b＋c)
＝－a＋b＋c，
所以＝(＋)＝－a＋b＋c.
答案 C
8．已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标为 ( )．
A．(12，14，10) B．(10，12，14)
C．(14，10，12) D．(4，2，3)
解析 8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)
＝12i＋14j＋10k
∴点A在{i，j，k}下的坐标为(12，14，10)．
答案 A
9．设a，b，c是三个不共面的向量，现在从①a＋b；②a－b；③a＋c；④b＋c；⑤a＋b＋c中选出使其与a，b构成空间的一个基底，则可以选择的向量为________．
解析 构成基底只要三向量不共面即可，这里只要含有向量c即可，故③④⑤都是可以
选择的．
答案 ③④⑤(答案不唯一，也可以有其它的选择)
10．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，D，E分别为AA1，B1C的中点，若记＝a，＝b，＝c，则＝________(用a，b，c表示)．
解析 ＝＋
＝＋(＋)
＝＋(＋－)
＝c＋(a＋b－c)
＝a＋b.
答案 a＋b
11．如图所示，在平行六面体ABCD－A′B′C′D′中，＝a，＝b，AA′＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量：(1)；(2)；
(3)；(4).
解 连接AC，AD′.
(1)＝(＋)
＝(＋＋)
＝(a＋b＋c)．
(2)＝(＋)
＝(＋2＋)
＝(a＋2b＋c)．
(3)＝(＋)
＝[(＋＋)＋(＋)]
＝(＋2＋2)
＝a＋b＋c.
(4)＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝＋＋
＝a＋b＋c.
12．(创新拓展)已知{i，j，k}是空间的一个基底设a1＝2i－j＋k，a2＝i＋3j－2k，a3＝－2i＋j－3k，a4＝3i＋2j＋5k.试问是否存在实数λ，μ，υ，使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立？如果存在，求出λ，μ，υ的值，如果不存在，请给出证明．
解 假设存在实数λ，μ，υ使a4＝λa1＋μa2＋υa3成立，则有3i＋2j＋5k＝λ(2i－j＋k)＋μ(i＋3j－2k)＋υ(－2i＋j－3k)
＝(2λ＋μ－2υ)i＋(－λ＋3μ＋υ)j＋(λ－2μ－3υ)k
∵{i，j，k}是一组基底，
∴i，j，k不共面，
∴解之得
故存在λ＝－2，μ＝1，υ＝－3使结论成立．
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
双基达标 ?限时20分钟?
1．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是 ( )．
A．(1，1，1) B．(－2，－3，5)
C．(2，－3，5) D．(－4，6，－2)
解析 若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.
答案 D
2．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为 ( )．
A．0 B．6 C．－6 D．±6
解析 ∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.
答案 B
3．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ＝ ( )．
A．2 B．－2
C．－2或 D．2或－
解析 因为a·b＝1×2＋λ×(－1)＋2×2＝6－λ，
又因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉＝··＝，所以＝6－λ，
解得λ＝－2或.
答案 C
4．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．
解析 因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，
所以ka·b－|b|2＝0，
所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.
答案 7
5．已知点A(－1，3，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若＝2，则||的值是______．
解析 设点P(x，y，z)，则由＝2，
得(x＋1，y－3，z－1)＝2(－1－x，3－y，4－z)，
则解得即P(－1，3，3)，
则||＝＝＝2.
答案 2
6．已知a＝(1，－2，4)，b＝(1，0，3)，c＝(0，0，2)．求
(1)a·(b＋c)；(2)4a－b＋2c.
解 (1)∵b＋c＝(1，0，5)，
∴a·(b＋c)＝1×1＋(－2)×0＋4×5＝21.
(2)4a－b＋2c＝(4，－8，16)－(1，0，3)＋(0，0，4)
＝(3，－8，17)．
综合提高（限时25分钟）
7．若A(3cos α，3sin α，1)，B(2cos θ，2sin θ，1)，则||的取值范围是 ( )．
A．[0，5] B．[1，5] C．(1，5) D．(0，5)
解析 ||＝
＝，∵－1≤cos(α－θ)≤1，∴1≤||≤5.
答案 B
8．已知＝(1，5，－2)，＝(3，1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则等于 ( )．
A．(，，－3) B．(，，－3)
C．(－，－，－3) D．(，－，－3)
解析 因为⊥，所以·＝0，
即1×3＋5×1＋(－2)z＝0，所以z＝4.
因为BP⊥平面ABC，
所以⊥，且⊥，
即1×(x－1)＋5y＋(－2)×(－3)＝0，
且3(x－1)＋y＋(－3)×4＝0.
解得x＝，y＝－，
于是＝(，－，－3)．
答案 D
9．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．
解析 因为＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，＝(2，－2，6)，若A，B，C三点共线，则
∥，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.
答案 0
10．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则与的夹角θ的大小是________．
解析 ∵＝(－2，－1，3)，＝(－1，3，－2)，
∴cos〈，〉＝
＝＝＝－，
又0°≤〈，〉≤180°，∴θ＝〈，〉＝120°.
答案 120°
11．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)．
(1)求△ABC的面积；
(2)求△ABC中AB边上的高．
解 (1)由已知得＝(1，－3，2)，＝(2，0，－8)，
∴||＝＝，||＝＝2，
·＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，
cos〈，〉＝＝＝，
sin〈，〉＝＝.
∴S△ABC＝||·||·sin〈，〉
＝××2×＝3.
(2)设AB边上的高为CD，则||＝＝3.
12．(创新拓展)在正方体AC1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．
证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；
(2)A1G⊥平面EFD.
证明 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)，D(0，1，0)、A1(0，0，1)、B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、D1(0，1，1)，由中点性质得E(1，1，)、F(1，，0)，G(，1，0)、H(，，1)．
(1)则＝(1，0，1)，
＝(，0，)，
＝(－，－，)
∵＝2，·＝1×(－)＋1×＝0，
∴∥，⊥.
即AB1∥GE，AB1⊥EH.
(2)∵＝(，1，－1)，＝(1，－，0)，
＝(1，0，)，∴·＝－＋0＝0，
·＝＋0－＝0，∴A1G⊥DF，A1G⊥DE.
又DF∩DE＝D，∴A1G⊥平面EFD.
3.2 立体几何中的向量方法
第1课时 空间向量与平行关系
双基达标 ?限时20分钟?
1．若A(－1，0，1)，B(1，4，7)在直线l上，则直线l的一个方向向量为 ( )．
A．(1，2，3) B．(1，3，2)
C．(2，1，3) D．(3，2，1)
答案 A
2．若u＝(2，－3，1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能作为平面α的法向量的是( )．
A．(0，－3，1) B．(2，0，1)
C．(－2，－3，1) D．(－2，3，－1)
答案 D
3．若平面α与β的法向量分别是a＝(1，0，－2)，b＝(－1，0，2)，则平面α与β的位置关系是 ( )．
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．无法判断
解析 ∵a＝(1，0，－2)＝－(－1，0，2)＝－b，∴a∥b，∴α∥β.
答案 A
4．已知l∥α，且l的方向向量为(2，－8，1)，平面α的法向量为(1，y，2)，则y＝________．
解析 ∵l∥α，∴l的方向向量(2，－8，1)与平面α的法向量(1，y，2)垂直，∴2×1－8×y
＋2＝0，∴y＝.
答案
5．设平面α的法向量为(1，2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝______．
解析 由α∥β得＝＝，解得k＝4.
答案 4
6．如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2PA1，点S在棱BB1上，且SB1＝2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS.
证明 如图所示，建立空间直角坐标系，则A(3，0，
0)，B(0，4，0)，O1(0，0，2)，A1(3，0，2)，B1(0，4，
2)，E(3，4，0)
∵AP＝2PA1，
∴＝2＝，即＝(0，0，2)＝(0，0，)，
∴P点坐标为(3，0，)．
同理可得Q(0，2，2)，R(3，2，0)，S(0，4，)．
∴＝(－3，2，)＝，∴∥，
又∵R?PQ，∴PQ∥RS.
综合提高（限时25分钟）
7．已知线段AB的两端点坐标为A(9，－3，4)，B(9，2，1)，则线段AB与坐标平面 ( )．
A．xOy平行 B．xOz平行
C．yOz平行 D．yOz相交
解析 因为＝(9，2，1)－(9，－3，4)＝(0，5，－3)，所以AB∥平面yOz.
答案 C
8．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中在平面α内的是 ( )．
A．(1，－1，1) B．(1，3，)
C．(1，－3，) D．(－1，3，－)
解析 要判断点P是否在平面α内，只需判断向量与平面α的法向量n是否垂直，即
·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，＝(1，0，1)，则·n
＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝(1，－4，)，则·n＝(1，
－4，)·(3，1，2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.
答案 B
9．已知直线a，b的方向向量分别为m＝(4，k，k－1)和n＝(k，k＋3，)，若a∥b，则k＝______．
解析 ①当k＝0时，a与b不平行．
②当k≠0时，由＝＝解得k＝－2.
答案 －2
10．若A(0，2，)，B(1，－1，)，C(－2，1，)是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
解析 ＝(1，－3，－)，＝(－2，－1，－)，
由得解得
则x∶y∶z＝y∶y∶(－y)＝2∶3∶(－4)．
答案 2∶3∶(－4)
11．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直
线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的
棱长为1，则可求得
M(0，1，)，N(，1，1)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，
1，0)，
于是＝(，0，)，＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1，∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝(，0，)·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n.又MN?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
法二 ∵＝－＝－＝(－)＝，
∴∥，而MN?平面A1BD，DA1?平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.
12．(创新拓展)如图，O是正方体ABCD－A1B1C1D1的底面中心，P是DD1的中点，Q点在CC1上，问：当点Q在CC1的什么位置时，平面BD1Q∥平面APO?
解 以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线为x、y、z
轴，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为2，则O(1，1，0)，P(0，0，1)，A(2，0，
0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，
设Q(0，2，z)(0≤z≤2)，
那么＝(－1，－1，1)，
＝(－2，－2，2)，
∴∥，又B?OP，∴OP∥BD1.
又＝(－2，0，1)，＝(－2，0，z)，
显然当z＝1时，∥，由于B?AP，
∴AP∥BQ，此时平面AOP∥平面D1BQ.
∴当Q为CC1的中点时，平面AOP∥平面D1BQ.
第2课时 空间向量与垂直关系
双基达标 ?限时20分钟?
1．若直线l的方向向量a＝(1，0，2)，平面α的法向量为u＝(－2，0，－4)，则 ( )．
A．l∥α B．l⊥α
C．l?α D．l与α斜交
解析 ∴u＝－2a，∴a∥u，∴l⊥α.
答案 B
2．若a＝(2，－1，0)，b＝(3，－4，7)，且(λa＋b)⊥a，则λ的值是 ( )．
A．0 B．1 C．－2 D．2
解析 λa＋b＝λ(2，－1，0)＋(3，－4，7)＝(3＋2λ，－4－λ，7)
∵(λa＋b)⊥a
∴2(3＋2λ)＋4＋λ＝0，即λ＝－2.
答案 C
3．若平面α、β的法向量分别为a＝(－1，2，4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为 ( )．
A．10 B．－10 C. D．－
解析 因为α⊥β，则它们的法向量也互相垂直，所以a·b＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)
＝0，解得x＝－10.
答案 B
4．若l的方向向量为(2，1，m)，平面α的法向量为(1，，2)，且l⊥α，则m＝________．
解析 由l⊥α得，＝＝，即m＝4.
答案 4
5．设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件·n＝0的点M的轨迹是________．
解析 ∵·n＝0，∴⊥n，或＝0，∴M点在过A且与n垂直的平面上．
答案 过A且以n为法向量的平面
6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为底面ABCD的中心，求证：OB1⊥平面PAC.
证明 如图，建立空间直角坐标系，不妨设正方体棱长为2，则
A(2，0，0)，P(0，0，1)，C(0，2，0)，
B1(2，2，2)，O(1，1，0)．
于是＝(1，1，2)，
＝(－2，2，0)，
＝(－2，0，1)，
由于·＝－2＋2＋0＝0
及·＝－2＋0＋2＝0.
∴⊥，⊥，
∴OB1⊥AC，OB1⊥AP.
又AC∩AP＝A，∴OB1⊥平面PAC.
综合提高（限时25分钟）
7．两平面α、β的法向量分别为u＝(3，－1，z)，v＝(－2，－y，1)，若α⊥β，则y＋z的值是 ( )．
A．－3 B．6 C．－6 D．－12
解析 α⊥β?u·v＝0?－6＋y＋z＝0，即y＋z＝6.
答案 B
8．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于 ( )．
A．AC B．BD C．A1D D．A1A
解析 建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱
长为1.则
A(0，1，0)，B(1，1，0)，C(1，0，0)，D(0，0，0)，
A1(0，1，1)，C1(1，0，1)，E(，，1)，
∴＝(－，，1)，
＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，0)，
＝(0，－1，－1)，＝(0，0，－1)
∵·＝(－1)×(－)＋(－1)×＋0×1＝0，
∴CE⊥BD
答案 B
9．向量a＝(－1，2，－4)，b＝(2，－2，3)是平面α内的两个不共线的向量，直线l的一个方向向量m＝(2，3，1)，则l与α是否垂直？______(填“是”或“否”)．
解析 m·a＝(2，3，1)·(－1，2，－4)
＝－2＋6－4＝0，
m·b＝(2，3，1)·(2，－2，3)＝4－6＋3＝1≠0.
∴l与α不垂直．
答案 否
10．已知点A，B，C的坐标分别为(0，1，0)，(－1，0，1)，(2，1，1)，点P的坐标为(x，0，z)，若⊥，⊥，则点P的坐标为________．
解析 因为＝(－1，－1，1)，＝(2，0，1)，＝(－x，1，－z)，
由·＝0，·＝0，得
则x＝，z＝－，
所以P(，0，－)．
答案 (，0，－)
11．三棱锥被平行于底面ABC的平面所截得的几何体如图所示，截面为A1B1C1，∠BAC＝90°，A1A⊥平面ABC.A1A＝，AB＝AC＝2A1C1＝2，D为BC中点．
证明：平面A1AD⊥平面BCC1B1.
证明 法一 如图，建立空间直角坐标系．则
A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A1(0，0，)，C1(0，
1，)，
∵D为BC的中点，
∴D点坐标为(1，1，0)，
∴＝(－2，2，0)，＝(1，1，0)，＝(0，0，)，
∵·＝－2＋2＋0＝0，·＝0＋0＋0＝0，
∴⊥，⊥，∴BC⊥AD，BC⊥AA1，
又AD∩AA1＝A，∴BC⊥平面ADA1，
而BC?平面BCC1B1，
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
法二 同法一，得
＝(0，0，)，＝(1，1，0)，
＝(－2，2，0)，＝(0，－1，)，
设平面A1AD的法向量n1＝(x1，y1，z1)，
平面BCC1B1的法向量为n2＝(x2，y2，z2)．
由得
令y1＝－1得x1＝1，z1＝0，
∴n1＝(1，－1，0)．
由得
令y2＝1，得x2＝1，z2＝，
∴n2＝(1，1，)．
∴n1·n2＝1－1＋0＝0，∴n1⊥n2.
∴平面A1AD⊥平面BCC1B1.
12．(创新拓展)如图所示，矩形ABCD的边AB＝a，BC＝2，PA⊥平面ABCD，PA＝2，现有数据：a＝；a＝1；a＝2；a＝；a＝4.
若在BC边上存在点Q，使PQ⊥QD，则a可以取所给数据
中的哪些值？并说明理由．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，P(0，0，2)，D(0，2，0)．
设Q(a，x，0)(BQ＝x，0≤x≤2)，
于是＝(a，x，－2)，＝(－a，2－x，0)．
由PQ⊥QD得
·＝－a2＋x(2－x)－2×0＝0，
即x2－2x＋a2＝0，此方程有解，Δ≥0，
∴0当a＝时，方程的解为x＝或x＝，满足0≤x≤2.
当a＝1时，方程的解为x＝1，满足0≤x≤2.
因此满足条件的a的取值为a＝或a＝1.
第3课时 空间向量与空间角
双基达标 ?限时20分钟?
1．若平面α的法向量为μ，直线l的方向向量为v，直线l与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是 ( )．
A．cos θ＝ B．cos θ＝
C．sin θ＝ D．sin θ＝
解析 若直线与平面所成的角为θ，直线与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝90°－
β.
答案 D
2．设直线l与平面α相交，且l的方向向量为a，α的法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为 ( )．
A. B. C. D.
解析 线面角的范围是[0，]．
答案 C
3．三棱锥A－BCD中，平面ABD与平面BCD的法向量分别为n1，n2，若〈n1，n2〉＝，则二面角A - BD - C的大小为 ( )．
A. B. C.或 D.或
解析 只需搞清二面角的范围是[0，π]．
答案 C
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，
则
O(1，1，0)，P(2，x，2)，B(2，2，0)，M(0，2，1)，
＝(1，x－1，2)，＝(－2，0，1)．
所以·＝0，所以直线BM与OP所成角为.
答案
5．已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)则平面ABC与平面xOy所成锐二面角的余弦值为________．
解析 ＝(－1，2，0)，＝(－1，0，3)．设平面ABC的法向量为n＝(x，y，z)．由
n·＝0，n·＝0知令x＝2，则y＝1，z＝.
∴平面ABC的一个法向量为n＝(2，1，)．平面xOy的一个法向量为＝(0，0，3)．由
此易求出所求二面角的余弦值．
答案
6．如图所示，三棱柱OAB－O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小．
解 建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，O1(0，1，)，
A(，0，0)，A1(，1，)，B(0，2，0)，
∴＝(－，1，－)，
＝(，－1，－)．
∴cos〈，〉
＝
＝＝－.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
综合提高（限时25分钟）
7．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成角是 ( )．
A．30° B．45° C．60° D．90°
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，则P(0，0，1)，C(1，
，0)，＝(1，，－1)，平面ABCD的一个法向量为n
＝(0，0，1)，
所以cos〈，n〉＝＝－，
所以〈·n〉＝120°，
所以斜线PC与平面ABCD的法向量所在直线所成角为60°，
所以斜线PC与平面ABCD所成角为30°.
答案 A
8．如图所示，已知点P为菱形ABCD外一点，且PA⊥面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC中点，则二面角C-BF-D的正切值为
( )．
A. B.
C. D.
解析 如图所示，连接AC，AC∩BD＝O，连接OF.以O
为原点，OB、OC、OF所在直线分别为x，y，z轴建立空
间直角坐标系O－xyz.设PA＝AD＝AC＝1，则BD＝.所
以B(，0，0)，F(0，0，)，C(0，，0)，D(－，0，
0)．
结合图形可知，＝(0，，0)且为面BOF的一个法向
量，由＝(－，，0)，＝(，0，－)，
可求得面BCF的一个法向量n＝(1，，)．
所以cos〈n，〉＝，sin〈n，〉＝，
所以tan〈n，〉＝.
答案 D
9.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是______．
解析 建立如图所示的空间直角坐标系，
设棱长为1，则B(1，1，0)，C1(0，1，1)，A1(1，0，1)，D(0，
0，0)，＝(－1，0，1)，＝(－1，0，－1)，＝(－1，
－1，0)，
设平面A1BD的一个法向量为n＝(1，x，y)，设平面A1BD
与BC1所成的角为θ，n⊥，n⊥，
所以n·＝0，n·＝0，
所以解得
所以n＝(1，－1，－1)，则cos〈，n〉＝＝－，所以sin θ＝，
所以cos θ＝＝.
答案
10．正△ABC与正△BCD所在平面垂直，则二面角A-BD-C的正弦值为________．
解析 取BC中点O，连接AO，DO，建立如图所示的坐标
系．
设BC＝1，则A(0，0，)，B(0，－，0)，D(，0，0)．
所以＝(0，0，)，
＝(0，，)，＝(，，0)．
由于＝(0，0，)为平面BCD的法向量．
设平面ABD的法向量n＝(x，y，z)，则
所以
取x＝1，则y＝－，z＝1，
所以n＝(1，－，1)，
所以cos〈n，〉＝，
sin〈n，〉＝.
答案
11．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分别为PC、PB的中点．求BD与平面ADMN所成的角θ.
解 如图所示，建立空间直角坐标系，设BC＝1，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，
D(0，2，0)，P(0，0，2)
则N(1，0，1)，
∴＝(－2，2，0)，
＝(0，2，0)，＝(1，0，1)，
设平面ADMN的一个法向量为n＝(x，y，z)，
则由得取x＝1，则z＝－1，
∴n＝(1，0，－1)，
∵cos〈，n〉＝＝＝－，
∴sin θ＝|cos〈，n〉|＝.
又0°≤θ≤90°，∴θ＝30°.
12．(创新拓展)如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE∥CF，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2.
(1)求证：AE∥平面DCF；
(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°？
解 建系如图，
设AB＝a，BE＝b，CF＝c，
则C(0，0，0)，D(0，0，a)，
F(0，c，0)，A(，0，a)，
E(，b，0)，B(，0，0)，
(1)证明 ＝(，b，0)－(，0，a)＝(0，b，－a)，
＝(0，0，a)，＝(0，c，0)，
设＝λ＋μ，则(0，b，－a)＝(0，μc，λa)，
∴μ＝，λ＝－1，∴＝－＋，
又AE?平面DCF，∴AE∥面DCF.
(2)∵＝(－，c－b，0)，＝(，b，0)
且·＝0，||＝2.
所以
解得b＝3，c＝4，
所以E(，3，0)，F(0，4，0)．设n＝(1，y，z)与平面AEF垂直，
则n·＝0，n·＝0，
解得n＝(1，，)．
又因为BA⊥平面BEFC，＝(0，0，a)，
所以cos〈n，〉＝＝＝，
得到a＝，所以当AB为时，二面角A - EF - C的大小为60°.
第4课时 空间向量与空间距离（选学）
双基达标 ?限时20分钟?
1．若O为坐标原点，＝(1，1，－2)，＝(3，2，8)，＝(0，1，0)，则线段AB的中点P到点C的距离为 ( )．
A. B．2 C. D.
解析 由题意＝(＋)＝(2，，3)，＝－＝(－2，－，－3)，||＝
＝.
答案 D
2．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2，1)，点A(－1，3，0)在a内，则P(－2，1，4)到α的距离为 ( )．
A．10 B．3 C. D.
解析 设点P到α的距离为h，
则h＝＝.
答案 D
3．长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，则D1到直线AC的距离为 ( )．
A.a B. C. D.
解析 连结BD，AC交于点O，
则D1O＝＝a为所求．
答案 D
4．二面角α-l-β的平面角为60°，A、B∈l，AC?α，BD?β，AC⊥l，BD⊥l，若AB＝AC＝BD＝1，则CD的长为________．
解析 ∵＝＋＋，AC⊥l，BD⊥l，A，B∈l.
∴·＝0，·＝0，
∴||＝
＝＝.
答案
5．正方形ABCD与ABEF边长都为a，若二面角E - AB - C的大小为30°，则EF到平面ABCD的距离为________．
解析 直线EF到平面ABCD的距离即为点E到平面ABCD的距离，
∴d＝.
答案
6．已知直线l过点A(1，－1，2)，和l垂直的一个向量为n＝(－3，0，4)，求P(3，5，0)到l的距离．
解 ∵＝(－2，－6，2)．
∴·n＝(－2，－6，2)·(－3，0，4)＝14，
|n|＝＝5.
∴点P到直线l的距离为＝.
综合提高（限时25分钟）
7．如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是 ( )．
A. B.
C. D.
解析 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐
标系，则有D1(0，0，1)，D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，
1)．因O为A1C1的中点，所以O(，，1)，＝(，－，0)，设平面ABC1D1的法向
量为n＝(x，y，z)，则有
即
取n＝(1，0，1)
∴O到平面ABC1D1的距离为：
d＝＝＝.
答案 B
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A1到截面AB1D1的距离为 ( )．
A. B. C. D.
解析 如图，建立空间直角坐标系D－xyz，则A(2，0，0)，
A1(2，0，4)，B1(2，2，4)，D1(0，0，4)，
∴＝(2，2，0)，＝(2，0，－4)，＝(0，0，4)，
设n＝(x，y，z)是平面AB1D1的法向量，则n⊥，n⊥，
∴即
令z＝1，则平面AB1D1的一个法向量为n＝(2，－2，1)．
由在n上的投影可得A1到平面AB1D1的距离为d＝＝.
答案 C
9．直角△ABC的两条直角边BC＝3，AC＝4，PC⊥平面ABC，PC＝，则点P到斜边AB的距离是________．
解析 以C为坐标原点，CA、CB、CP为x轴、y轴、z轴
建立如下图所示的空间直角坐标系．
则A(4，0，0)，B(0，3，0)，P(0，0，)，
所以＝(－4，3，0)，
＝(－4，0，)，
所以在AB上的投影长为
＝，
所以P到AB的距离为
d＝＝＝3.
答案 3
10．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝6，BC＝4，BB1＝3，则点B1到平面A1BC1的距离为______．
解析 如图所示，建立空间直角坐标系，则A1(4，0，3)，
B1(4，6，3)，
B(4，6，0)，C1(0，6，3)，
＝(－4，6，0)，＝(0，6，－3)，
＝(－4，0，3)，＝(0，6，0)，
设平面A1BC1的法向量为n＝(x，y，z)，
由解得n＝(1，，)．
∴d＝＝.
答案
11．已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．
(1)求点D到平面PEF的距离；
(2)求直线AC到平面PEF的距离．
解 (1)建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴，
y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0，0，1)，A(1，0，0)，
C(0，1，0)，E(1，，0)，
F(，1，0)，＝(－，，0)，＝(1，，－1)，
设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)，
则n·＝0，且n·＝0，所以
令x＝2，则y＝2，，z＝3，所以n＝(2，2，3)，
所以点D到平面PEF的距离为
d＝＝＝，
因此，点D到平面PEF的距离为.
(2)因为＝(0，，0)，所以点A到平面PEF的距离为d＝＝＝，所以AC到平面PEF的距离为.
12．(创新拓展)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为4，M、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN与平面EFBD间的距离．
解 如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则A(4，0，0)，
M(2，0，4)，D(0，0，0)，B(4，4，0)，
E(0，2，4)，F(2，4，4)，N(4，2，4)，
从而＝(2，2，0)，＝(2，2，0)，
＝(－2，0，4)，＝(－2，0，4)，
∴＝，＝，
∴EF∥MN，AM∥EF，EF∩BF＝F，MN∩AM＝M.
∴平面AMN∥平面EFBD.
设n＝(x，y，z)是平面AMN的法向量，
从而解得
取z＝1，得n＝(2，－2，1)，由于＝(0，4，0)，
所以在n上的投影为＝＝－.
∴两平行平面间的距离d＝＝.
模块检测
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知命题p：若x2＋y2＝0(x，y∈R)，则x，y全为0；命题q：若a>b，则<.给出下列四个复合命题：①p且q；②p或q；③綈p；④綈q.其中真命题的个数是 ( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 命题p为真，命题q为假，故p∨q真，綈q真．
答案 B
2．“α＝＋2kπ(k∈Z)”是“cos 2α＝”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 当α＝＋2kπ(k∈Z)时，cos 2α＝cos(4kπ＋)＝cos ＝.
反之当cos 2α＝时，有2α＝2kπ＋(k∈Z)?α＝kπ＋(k∈Z)，或2α＝2kπ－
(k∈Z)?α＝kπ－(k∈Z)，故应选A.
答案 A
3．若直线l的方向向量为b，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是 ( )．
A．b＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0)
B．b＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C．b＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D．b＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
解析 若l∥α，则b·n＝0.将各选项代入，知D正确．
答案 D
4．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，则向量a＋b与a－b的夹角是 ( )．
A．90° B．60° C．30° D．0°
解析 ∵|a|＝|b|＝，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0.故向量a＋b与a－b的夹角是90°.
答案 A
5．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|等于 ( )．
A．10 B．8 C．6 D．4
解析 由抛物线的定义得|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.
答案 B
6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 建立如图所示坐标系，
得D(0，0，0)，B(2，2，0)，C1(0，2，1)，B1(2，2，1)，
D1(0，0，1)，
则＝(2，2，0)，＝(0，0，1)，
＝(－2，0，1)．
设平面BD1的法向量n＝(x，y，z)．
∴
∴取n＝(1，－1，0)．
设BC1与平面BD1所成的角为θ，
则sin θ＝cos〈n，〉＝＝＝.
答案 D
7．设斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为 ( )．
A．y2＝±4x B．y2＝±8x
C．y2＝4x D．y2＝8x
解析 y2＝ax的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为2的直线方程为y＝2(x－)，令x＝
0得y＝－.∴××＝4，∴a2＝64，∴a＝±8.
答案 B
8．三棱锥A—BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于 ( )．
A．－2 B．2
C．－2 D．2
解析 ·＝·(－)＝·－·
＝||||cos 90°－2×2×cos 60°＝－2.
答案 A
9．设双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于 ( )．
A. B．2 C. D.
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，因为y＝x2＋1与渐近线相切，故x2＋1±
x＝0只有一个实根，∴－4＝0，∴＝4，∴＝5，∴e＝.
答案 C
10．双曲线－＝1与椭圆＋＝1(a>0，m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形一定是 ( )．
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰三角形
解析 双曲线的离心率e12＝，椭圆的离心率e22＝，由已知e12e22＝1，即
×＝1，化简，得a2＋b2＝m2.
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
11．已知命题p：?x∈R(x≠0)，x＋≥2，则綈p：________．
解析 首先将量词符号改变，再将x＋≥2改为x＋<2.
答案 ?x∈R(x≠0)，x＋<2
12．与双曲线x2－＝1有共同的渐近线，且过点(2，2)的双曲线的标准方程是______________．
解析 依题意设双曲线的方程x2－＝λ(λ≠0)，将点(2，2)代入求得λ＝3，所以所求双
曲线的标准方程为－＝1.
答案 －＝1
13．给出下列结论：
①若命题p：?x∈R，tan x＝1；命题q：?x∈R，x2－x＋1>0，则命题“p∧綈q”是假命题；
②已知直线l1：ax＋3y－1＝0，l2：x＋by＋1＝0，则l1⊥l2的充要条件是＝－3；
③命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”．
其中正确结论的序号为________(把你认为正确的结论的序号都填上)．
解析 对于①，命题p为真命题，命题q为真命题，所以p∧綈q为假命题，故①正确；
对于②，当b＝a＝0时，有l1⊥l2，故②不正确；易知③正确．所以正确结论的序号为①③.
答案 ①③
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别是F1、F2，P为椭圆C上的一点，且PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积为______．
解析 ∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，由椭圆方程知a＝5，b＝3，∴c＝4，
∴，
解得|PF1||PF2|＝18.∴△PF1F2的面积为|PF1|·|PF2|＝×18＝9.
答案 9
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知命题p：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线－＝1的离心率e∈(，)，若命题p、q中有且只有一个为真命题，求实数m的取值范围．
解 若p真，则有9－m>2m>0，
即00，
且e2＝1＋＝1＋∈(，2)，
即若p、q中有且只有一个为真命题，
则p、q一真一假．
①若p真、q假，
则0②若p假、q真，
则m≥3或m≤0，且即3≤m<5.
故所求范围为：016．(10分)已知两点M(－2，0)、N(2，0)，点P为坐标平面内的动点，满足||||＋·＝0，求动点P(x，y)的轨迹方程．
解 设P(x，y)，则＝(4，0)，＝(x＋2，y)，＝(x－2，y)．
∴||＝4，||＝
·＝4(x－2)，
代入||·||＋·＝0，
得4＋4(x－2)＝0，
即＝2－x，化简整理，得y2＝－8x，故动点P(x，y)的轨迹方程为y2＝
－8x.
17．(10分)已知直线y＝ax＋1与双曲线3x2－y2＝1交于A、B两点．
(1)求a的取值范围；
(2)若以AB为直径的圆过坐标原点，求实数a的值．
解 (1)由消去y，
得(3－a2)x2－2ax－2＝0.
依题意得即－(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，
∴x1x2＋y1y2＝0，
即x1x2＋(ax1＋1)(ax2＋1)＝0，
即(a2＋1)x1x2＋a(x1＋x2)＋1＝0.
∴(a2＋1)·＋a·＋1＝0，
∴a＝±1，满足(1)所求的取值范围．
故a＝±1.
18．(12分)如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M为EC的中点，AF＝AB＝BC＝FE＝AD.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明平面AMD⊥平面CDE；
(2)求二面角A-CD-E的余弦值．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A为坐标原
点．
设AB＝1，依题意得B(1，0，0)，
C(1，1，0)，D(0，2，0)，E(0，1，1)，F(0，0，1)，
M(，1，)．
(1)＝(－1，0，1)，＝(0，－1，1)，
于是cos〈，〉＝＝＝.
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
(2)证明 由＝(，1，)，＝(－1，0，1)，
＝(0，2，0)，可得·＝0，·＝0.
因此，CE⊥AM，CE⊥AD.
又AM∩AD＝A，故CE⊥平面AMD.
而CE?平面CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)设平面CDE的法向量为u＝(x，y，z)，
则
于是令x＝1，可得u＝(1，1，1)．
又由题设，平面ACD的一个法向量为v＝(0，0，1)．
所以，cos〈u，v〉＝＝＝.
因为二面角A-CD-E为锐角，所以其余弦值为.
19．(12分)设圆C与两圆(x＋)2＋y2＝4，(x－)2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．
(1)求圆C的圆心轨迹L的方程；
(2)已知点M(，)，F(，0)，且P为L上动点，求||MP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．
解 (1)设圆C的圆心坐标为(x，y)，半径为r.
圆(x＋)2＋y2＝4的圆心为F1(－，0)，半径为2，
圆(x－)2＋y2＝4的圆心为F(，0)，半径为2.
由题意得或
∴||CF1|－|CF||＝4.
∵|F1F|＝2>4，
∴圆C的圆心轨迹是以F1(－，0)，F(，0)为焦点的双曲线，其方程为－y2＝1.
(2)由图知，||MP|－|FP||≤|MF|，
∴当M，P，F三点共线，且点P在MF延长线上时，|MP|－|FP|取得最大值|MF|，
且|MF|＝＝2.
直线MF的方程为y＝－2x＋2，与双曲线方程联立得
整理得15x2－32x＋84＝0.
解得x1＝(舍去)，x2＝.
此时y＝.
∴当||MP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为
章末质量评估(一)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．设x是实数，则“x>0”是“|x|>0”的 ( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要
解析 由x>0?|x|>0充分，而|x|>0?x>0或x<0，不必要．
答案 A
2．命题：“若x2<1，则－1A．若x2≥1，则x≥1，或x≤－1
B．若－1C．若x>1，或x<－1，则x2>1
D．若x≥1，或x≤－1，则x2≥1
解析 －1答案 D
3．下列命题中是全称命题的是 ( )．
A．圆有内接四边形
B.>
C.<
D．若三角形的三边长分别为3、4、5，则这个三角形为直角三角形
解析 由全称命题的定义可知：“圆有内接四边形”，即为“所有圆都有内接四边形”，
是全称命题．
答案 A
4．若α，β∈R，则“α＝β”是“tan α＝tan β” 的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析 当α＝β＝时，tan α，tan β不存在；又α＝，β＝时，tan α＝tan β，
所以“α＝β”是“tan α＝tan β”的既不充分又不必要条件，故选D.
答案 D
5．命题“?x>0，都有x2－x≤0”的否定是 ( )．
A．?x0>0，使得x02－x0≤0 B．?x0>0，使得x02－x0>0
C．?x>0，都有x2－x>0 D．?x≤0，都有x2－x>0
解析 由含有一个量词的命题的否定易知选B.
答案 B
6．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：(a－2)2＋|b－3|≥0(a，b∈R)，下列结论正确的是 ( )．
A．“p∨q”为真 B．“p∧q”为真
C．“綈p”为假 D．“綈q”为真
解析 显然p假q真，故“p∨q”为真，“p∧q”为假，“綈p”为真，“綈q”为假，
故选A.
答案 A
7．在下列各结论中，正确的是 ( )．
①“p∧q”为真是“p∨q”为真的充分条件但不是必要条件；
②“p∧q”为假是“p∨q”为假的充分条件但不是必要条件；
③“p∨q”为真是“綈p”为假的必要条件但不是充分条件；
④“綈p”为真是“p∧q”为假的必要条件但不是充分条件；
A．①② B．①③ C．②④ D．③④
解析 “p∧q”为真则“p∨q”为真，反之不一定，①真；如p真，q假时，p∧q假，
但p∨q真，故②假；綈p为假时，p真，所以p∨q真，反之不一定对，故③真；若綈p
为真，则p假，所以p∧q假，因此④错误．
答案 B
8．设函数f(x)＝x2＋mx(m∈R)，则下列命题中的真命题是 ( )．
A．任意m∈R，使y＝f(x)都是奇函数
B．存在m∈R，使y＝f(x)是奇函数
C．任意m∈R，使y＝f(x)都是偶函数
D．存在m∈R，使y＝f(x)是偶函数
解析 存在m＝0∈R，使y＝f(x)是偶函数，故选D.
答案 D
9．“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函数”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 函数f(x)＝|x－a|的图象如右图所示，其单调增区间为[a，
＋∞)．当a＝1时，函数f(x)＝|x－a|在区间[1，＋∞)上为增函
数，则a≤1.于是可得“a＝1”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[1，
＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故应选A.
答案 A
10．给出下列四个命题：
①若x2－3x＋2＝0，则x＝1或x＝2
②若－2≤x<3，则(x＋2)(x－3)≤0
③若x＝y＝0，则x2＋y2＝0
④若x，y∈N＋，x＋y是奇数，则x，y中一个是奇数，一个是偶数，那么 ( )．
A．①的逆命题为真 B．②的否命题为真
C．③的逆否命题为假 D．④的逆命题为假
解析 ②的逆命题：
若(x＋2)(x－3)≤0，则－2≤x≤3(假)，
故②的否命题为假．
③的原命题为真，故③的逆否命题为真．
④的逆命题显然为真．
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
11．命题“若a?A，则b∈B”的逆否命题是__________．
解析 原命题的逆否命题即将原命题的条件与结论交换的同时进行否定，故逆否命题应
为“若b?B，则a∈A”．
答案 若b?B，则a∈A
12．设p：x>2或x<；q：x>2或x<－1，则綈p是綈q的________条件．
解析 綈p：≤x≤2.
綈q：－1≤x≤2.綈p?綈q，但綈q?/ 綈p.
∴綈p是綈q的充分不必要条件．
答案 充分不必要
13．已知命题p：“?x∈[1，2]，x2－a≥0”，命题q：“?x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．
解析 命题p：“?x∈[1，2]，x2－a≥0”为真，则a≤x2，x∈[1，2]恒成立，∴a≤1；
命题q：“?x0∈R，x02＋2ax0＋2－a＝0”为真，则“4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0”，
解得a≤－2或a≥1.
若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是{a|a≤－2或a＝1}．
答案 {a|a≤－2或a＝1}
14．给出下列命题：
①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；
②命题在“△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；
③命题“若a>b>0，则>>0”的逆否命题；
④若“m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．
其中真命题的序号为________．
解析 ①否命题：若b2－4ac≥0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，真命题；
②逆命题：若△ABC为等边三角形，则AB＝BC＝CA，真命题；
③因为命题“若a>b>0，则>>0”是真命题，故其逆否命题真；
∵，得m∈?
④逆命题：若mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R，则m>1，假命题，
∵得m∈?.
所以应填①②③.
答案 ①②③
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)写出下列命题的否定并判断真假：
(1)所有自然数的平方是正数；
(2)任何实数x都是方程5x－12＝0的根；
(3)?x∈R，x2－3x＋3>0；
(4)有些质数不是奇数；
解 (1)否定：有些自然数的平方不是正数，真命题．
(2)否定：?x0∈R，5x－12≠0，真命题．
(3)否定：?x0∈R，x02－3x0＋3≤0，假命题．
(4)否定：所有的质数都是奇数，假命题．
16．(10分)已知命题p：“若ac≥0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实根”．
(1)写出命题p的否命题；
(2)判断命题p的否命题的真假，并证明你的结论．
解 (1)命题p的否命题为：“若ac<0，则二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根”．
(2)命题p的否命题是真命题．证明如下：∵ac<0，
∴－ac>0?Δ＝b2－4ac>0?二次方程ax2＋bx＋c＝0有实根．
∴该命题是真命题．
17．(10分)已知命题p：－2解 p是q的必要不充分条件．
若令m＝－∈(－2，0)，n＝∈(0，1)，则x2－x＋＝0，
此时方程的Δ＝－4× <0无解，
所以由p推不出q，即p不是q的充分条件；
若方程x2＋mx＋n＝0有两个小于1的正根x1，x2，则0∴0∴由根与系数的关系得
即∴q?p.
综上所述：p是q的必要不充分条件．
18．(12分)设函数f(x)＝x|x－a|＋b，求证：f(x)为奇函数的充要条件是a2＋b2＝0.
证明 充分性：∵a2＋b2＝0，∴a＝b＝0，∴f(x)＝x|x|.
∵f(－x)＝－x|－x|＝－x|x|，－f(x)＝－x|x|，
∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．
必要性：若f(x)为奇函数，则对一切x∈R，f(－x)＝－f(x)恒成立．
即－x|－x－a|＋b＝－x|x－a|－b恒成立．
令x＝0，则b＝－b，∴b＝0，令x＝a，则2a|a|＝0，∴a＝0.
即a2＋b2＝0.
19．(12分)设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
(1)若a＝1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
(2)若綈p是綈q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解 (1)由x2－4ax＋3a2<0得(x－3a)(x－a)<0.
又a>0，所以a当a＝1时，1实数x的取值范围是1由解得即2所以q为真时实数x的取值范围是2若p∧q为真，则?2所以实数x的取值范围是(2，3)．
(2)綈p是綈q的充分不必要条件，即綈p?綈q且綈q 綈p.
设A＝{x|x≤a或x≥3a}，B＝{x|x≤2或x>3}，则A?B.
所以03，即1章末质量评估(三)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知a＝(2x，1，3)，b＝(1，－2y，9)，如果a与b为共线向量，则 ( )．
A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－
C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝
解析 ∵a＝(2x，1，3)与b＝(1，－2y，9)共线，故有＝＝，∴x＝，y＝－.
答案 C
2．已知a＝3i＋2j－k，b＝i－j＋2k，则5a与3b的数量积等于 ( )．
A．－15 B．－5 C．－3 D．－1
解析 a＝(3，2，－1)，b＝(1，－1，2)，∴5a·3b＝15a·b＝－15.
答案 A
3．已知a·b＝0，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)·(λa－b)＝0，则λ等于 ( )．
A. B．－ C．± D．1
解析 由a·b＝0及(3a＋2b)·(λa－b)＝0，得3λa2＝2b2，又|a|＝2，|b|＝3，所以λ＝，故
选A.
答案 A
4．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是 ( )．
A．2a，a－b，a＋2b B．2b，b－a，b＋2a
C．a，2b，b－c D．c，a＋c，a－c
解析 不共面的三个向量才可以构成基底，A中，a＋2b＝(2a)＋(－2)(a－b)，三个向量
共面：B中，b＋2a＝(2b)＋(－2)(b－a)，三个向量共面；D中，a＋c＝2c＋(a－c)，三
个向量共面；只有C中的三个向量不共面．
答案 C
5．空间直角坐标系中A(1，2，3)，B(－1，0，5)，C(3，0，4)，D(4，1，3)，则直线AB与CD的位置关系是 ( )．
A．平行 B．垂直
C．相交但不垂直 D．无法确定
解析 ∵＝(－2，－2，2)，＝(1，1，－1)，
又∵＝－2
∴∥，即AB∥CD.
答案 A
6．已知a＝(2，－3，1)，b＝(2，0，3)，c＝(0，0，2)，则下列结论正确的是 ( )．
A．a·b＝b·c B．|a|＝|b＋c|
C．|a＋b－2c|＝5 D．a＋c＝b
解析 对于A：a·b＝2×2－3×0＋1×3＝7，
b·c＝2×0＋0×0＋3×2＝6故A错．
对于B：|a|＝＝，
|b＋c|＝＝，故B错．
对于C：a＋b－2c＝(4，－3，0)．
∴|a＋b－2c|＝5.故C正确．
答案 C
7．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，则P到BC的距离是 ( )．
A. B．4 C．3 D．2
解析 如图所示，以BC边上的垂线为y轴，建立空间直角
坐标系，则PD的长即为所求，
由A(0，0，0)，P(0，0，8)，D(0，4，0)，
则||＝＝4.
答案 B
8.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下面结论错误的是( )．
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．向量与的夹角为60°
解析 以D为原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，不妨设正
方体的棱长为1，则有A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，
B1(1，1，1)，C1(0，1，1)，D1(0，0，1)．
＝(－1，－1，0)，＝(－1，1，1)，＝(0，－1，1)，＝(－1，－1，0)，
＝(1，0，1)．对于选项A.由＝知结论正确；对于选项B，由·＝(－1，1，
1)·(－1，－1，0)＝0知结论正确；对于选项C，由选项B，再由·＝(－1，1，1)·
(－1，0，－1)＝0知结论正确；对于选项D，由cos〈，〉＝＝－，
知结论不正确．
答案 D
9．如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝AB＝AC，AB⊥AC，M是CC1的中点，Q是BC的中点，P是A1B1的中点，则直线PQ与AM所成的角为 ( )．
A. B. C. D.
解析 以A为坐标原点，AC、AB、AA1所在直线为x、
y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1＝AB＝
AC＝2，则＝(0，2，1)，Q(1，1，0)，P(1，0，2)，
＝(0，－1，2)，所以·＝0，所以QP与AM
所成角为.
答案 D
10．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，则当·取得最小值时，点Q的坐标为 ( )．
A．(，，) B．(，，)
C．(，，) D．(，，)
解析 设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，可得：x＝λ，y＝λ，z＝2λ，则Q(λ，
λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ
＋10＝6(λ－)2－，故当λ＝时，·取最小值，此时Q(，，)，故选C.
答案 C
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上)
11．若a＝(2，－3，5)，b＝(－3，1，－4)，则|a－2b|＝________．
解析 因为a－2b＝(8，－5，13，)，所以|a－2b|＝＝.
答案
12．已知平面α经过点O(0，0，0)，且e＝(1，1，1)是α的法向量，M(x，y，z)是平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系式是________．
解析 ·e＝(x，y，z)·(1，1，1)＝x＋y＋z＝0.
答案 x＋y＋z＝0
13．设a，b是直线，α，β是平面，a⊥α，b⊥β，向量a1在a上，向量b1在b上，a1＝(1，1，1)，b1＝(－3，4，0)，则α，β所成二面角中较小的一个的余弦值为________．
解析 由题意，cos θ＝|cos〈a1，b1〉|＝＝＝.
答案
14．已知四面体顶点A(2，3，1)、B(4，1，－2)、C(6，3，7)和D(－5，－4，8)，则顶点D到平面ABC的距离为______．
解析 设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)则
即
∴?
令x＝1，则n＝(1，2，－)，＝(－7，－7，7)，
故所求距离为＝＝11.
答案 11
三、解答题(本大题共5小题，共54分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)已知四边形ABCD的顶点分别是A(3，－1，2)，B(1，2，－1)，C(－1，1，－3)，D(3，－5，3)．
求证：四边形ABCD是一个梯形．
证明 因为＝(1，2，－1)－(3，－1，2)＝(－2，3，－3)，＝(3，－5，3)－(－1，1，－3)＝(4，－6，6)，因为＝＝，
所以和共线，即AB∥CD.
又因为＝(3，－5，3)－(3，－1，2)＝(0，－4，1)，
＝(－1，1，－3)－(1，2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为≠≠，所以与不平行，
所以四边形ABCD为梯形．
16．(10分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4.
(1)证明：AC⊥BC1；
(2)求二面角C1-AB-C的余弦值大小．
解 直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，故AC，
BC，CC1两两垂直，建立空间直角坐标系(如图)，则C(0，0，0)，
A(3，0，0)，C1(0，0，4)，B(0，4，0)，B1(0，4，4)．
(1)证明 ＝(－3，0，0)，
＝(0，－4，4)，
∴·＝0.故AC⊥BC1.
(2)平面ABC的一个法向量为m＝(0，0，1)，设平面C1AB的一
个法向量为n＝(x，y，z)，
＝(－3，0，4)，＝(－3，4，0)，
由得
令x＝4，则y＝3，z＝3.n＝(4，3，3)，
故cos〈m，n〉＝＝.
即二面角C1－AB－C的余弦值为.
17．(10分)已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)求a和b的夹角θ的余弦值；
(2)若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解 a＝＝(－1，1，2)－(－2，0，2)＝(1，1，0)，
b＝＝(－3，0，4)－(－2，0，2)＝(－1，0，2)．
(1)cos θ＝＝＝－，
∴a与b的夹角θ的余弦值为－.
(2)ka＋b＝(k，k，0)＋(－1，0，2)＝(k－1，k，2)，
ka－2b＝(k，k，0)－(－2，0，4)＝(k＋2，k，－4)，
∴(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)
＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0.
即2k2＋k－10＝0，∴k＝－或k＝2.
18．(12分)如图，M，N分别是空间四边形ABCD的棱AB，CD的中点，试判断向量与向量，是否共面．
解 根据图形可以得到
＝＋＋，①
＝＋＋.②
由已知得＝－，＝－.
所以①＋②得2＝＋，即＝＋.
故向量与向量，共面．
19．(12分)如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，BC＝2，CC1＝4，EB1＝1，D，F，G分别为CC1，B1C1，A1C1的中点，
(1)求证：B1D⊥平面ABD；
(2)求证：平面EGF∥平面ABD；
(3)求平面EGF与平面ABD的距离．
(1)证明 如图所示，建立空间直角坐标系，
设A1(a，0，0)，则C1(0，2，0)，F(0，1，0)，E(0，0，1)，
A(a，0，4)，B(0，0，4)，D(0，2，2)，G(，1，0)．
∴＝(0，2，2)，＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)，
∴·＝0＋0＋0＝0，·＝0＋4－4＝0.
∴B1D⊥AB，B1D⊥BD.
又AB∩BD＝B，∴B1D⊥平面ABD.
(2)证明 ∵＝(－a，0，0)，＝(0，2，－2)，＝(－，0，0)，＝(0，1，－1)，
∴∥，∥，∴GF∥AB，EF∥BD.
又GF∩EF＝F，AB∩BD＝B，∴平面EGF∥平面ABD.
(3)解 由(2)知平面EGF与平面ABD的距离即为点D到平面EGF的距离
由(1)(2)知平面EGF的法向量为＝(0，2，2)，
又＝(0，2，1)，
∴所求距离d＝＝.
章末质量评估(二)
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．抛物线y＝4x2的焦点坐标是 ( )．
A．(0，1) B．(1，0)
C．(0，) D．(，0)
解析 将抛物线方程变为x2＝2×y，知p＝，又焦点在y轴上，且开口向上，所以它
的焦点坐标为(0，)．
答案 C
2．已知椭圆＋＝1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则点P到另一焦点的距离为( )．
A．2 B．3 C．5 D．7
解析 点P到椭圆的两个焦点的距离之和为2a＝10，10－3＝7.选D.
答案 D
3．以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为 ( )．
A．x2＋y2＋2x＝0 B．x2＋y2＋x＝0
C．x2＋y2－x＝0 D．x2＋y2－2x＝0
解析 因为已知抛物线的焦点坐标为(1，0)，所以所求圆的圆心为(1，0)，又圆过原点，
所以圆的半径r＝1，故所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0，故选D.
答案 D
4．以椭圆＋＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是 ( )．
A.－＝1
B.－＝1
C.－＝1或－＝1
D．以上都不对
解析 当顶点为(±4，0)时，a＝4，
c＝8，b＝4，－＝1；
当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，
b＝3， －＝1.
答案 C
5．已知椭圆与双曲线－＝1有共同的焦点，且离心率为，则椭圆的标准方程为 ( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 双曲线－＝1中a12＝3，b12＝2，则c1＝＝，故焦点坐标为(－，
0)，(，0)，故所求椭圆＋＝1(a>b>0)的c＝，又椭圆的离心率e＝＝，则a
＝5，a2＝25，b2＝a2－c2＝20，故椭圆的标准方程为＋＝1.
答案 B
6．已知椭圆＋＝1的两个焦点为F1，F2，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为 ( )．
A．10 B．20 C．2 D．4
解析 |AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|BF1|＋|B F2|＋|AF2|＝(|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)＝4a
＝4.
答案 D
7．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是 ( )．
A．2 B. C. D.
解析 双曲线－＝1的两条渐近线方程为y＝±x，依题意
·(－) ＝－1，故＝1，
所以＝1即e2＝2，所以双曲线的离心率e＝.故选C.
答案 C
8．已知椭圆x2sin α－y2cos α＝1(0≤α<2π)的焦点在y轴上，则α的取值范围是 ( )．
A．(π，π) B．(，π)
C．(，π) D．(，π)
解析 椭圆方程化为＋＝1.
∵椭圆焦点在y轴上，∴－>>0.
又∵0≤α<2π，
∴<α<.
答案 D
9．抛物线y＝2x2上两点A(x1，y1)、B(x2，y2)关于直线y＝x＋m对称，且x1·x2＝－，则m等于 ( )．
A. B．2 C. D．3
解析 依题意kAB＝＝－1，
而y2－y1＝2(x22－x12)，得
x2＋x1＝－，且(，)
在直线y＝x＋m上，即＝＋m，
y2＋y1＝x2＋x1＋2m，
∴2(x22＋x12)＝x2＋x1＋2m，
2[(x2＋x1)2－2x2x1]＝x2＋x1＋2m，
2m＝3，m＝.
答案 A
10．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线均和圆C：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为 ( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析 圆心的坐标是(3，0)，圆的半径是2，双曲线的渐近线方程是bx±ay＝0，c＝3，根
据已知得＝2，即＝2，解得b＝2，得a2＝c2－b2＝5，故所求的双曲线方程是
－＝1.
答案 A
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上．)
11．已知点(－2，3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.
解析 ∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点坐标是(，0)，由两点间距离公式，得
＝5.解得p＝4.
答案 4
12．若椭圆x2＋my2＝1的离心率为，则它的长半轴长为________．
解析 当0＋＝1，e2＝＝1－m＝，
m＝，a2＝＝4，a＝2；
当m>1时，＋＝1，a＝1.应填1或2.
答案 1或2
13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．
解析 由题意知，椭圆的焦点坐标是(±，0)，离心率是.故在双曲线中c＝，e＝
＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝3，因此所求双曲线的方程是－＝1.
答案 －＝1
14．设椭圆的两个焦点分别为F1，F2，过F2作椭圆长轴的垂线与椭圆相交，其中的一个交点为P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．
解析 由题意知PF2⊥F1F2，且△F1PF2为等腰直角三角形，
所以|PF2|＝|F1F2|＝2c，
|PF1|＝·2c，
从而2a＝|PF1|＋|PF2|＝2c(＋1)，
所以e＝＝＝－1.
答案 －1
三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)
15．(10分)双曲线C与椭圆＋＝1有相同的焦点，直线y＝x为C的一条渐近线．求双曲线C的方程．
解 设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．
由椭圆＋＝1，求得两焦点为(－2，0)，(2，0)，
∴对于双曲线C：c＝2.
又y＝x为双曲线C的一条渐近线，
∴＝，解得a2＝1，b2＝3，
∴双曲线C的方程为x2－＝1.
16．(10分)双曲线与椭圆有共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，点P(3，4)是双曲线的渐近线与椭圆的一个交点，求双曲线与椭圆的方程．
解 由共同的焦点F1(0，－5)、F2(0，5)，可设椭圆方程为＋＝1；
双曲线方程为－＝1，点P(3，4)在椭圆上，＋＝1，a2＝40，
双曲线的过点P(3，4)的渐近线为
y＝x，即4＝×3，b2＝16.
所以椭圆方程为＋＝1；
双曲线方程为－＝1.
17．(10分)已知抛物线y2＝2x，直线l过点(0，2)与抛物线交于M，N两点，以线段MN的长为直径的圆过坐标原点O，求直线l的方程．
解 由题意知直线l的斜率存在，
设为k，则直线l的方程为y＝kx＋2(k≠0)，
解方程组
消去x得ky2－2y＋4＝0，
Δ＝4－16k>0?k<(k≠0)，
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，
则y1＋y2＝，y1·y2＝，
?x1·x2＝(y1·y2)2＝
OM⊥ON?kOM·kON＝－1，
∴x1·x2＋y1·y2＝0，
∴＋＝0，解得k＝－1.
所以所求直线方程为y＝－x＋2，
即x＋y－2＝0.
18．(12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，1)，离心率为，过点B(0，－2)及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2.
(1)求椭圆的方程；
(2)求△CDF2的面积．
解 (1)易得椭圆方程为＋y2＝1.
(2)∵F1(－1，0)，
∴直线BF1的方程为y＝－2x－2，
由得9x2＋16x＋6＝0.
∵Δ＝162－4×9×6＝40>0，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为C(x1，y1)，D(x2，y2)，则
∴|CD|＝|x1－x2|
＝·
＝·＝，
又点F2到直线BF1的距离d＝，
故S△CDF2＝|CD|·d＝.
19．(12分)已知抛物线y2＝4x截直线y＝2x＋m所得弦长AB＝3，
(1)求m的值；
(2)设P是x轴上的一点，且△ABP的面积为9，求P的坐标．
解 (1)由得4x2＋4(m－1)x＋m2＝0
由根与系数的关系得
x1＋x2＝1－m，x1·x2＝，
|AB|＝
＝＝.
由|AB|＝3，
即＝3?m＝－4.
(2)设P(a，0)，P到直线AB的距离为d，
则d＝＝，
又S△ABP＝|AB|·d，则d＝，
＝?|a－2|＝3?a＝5
或a＝－1，
故点P的坐标为(5，0)和(－1，0)．
第一章 常用逻辑用语
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·陕西高考)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是 ( )．
A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|
C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b
解析 原命题的条件是：a＝－b，结论是|a|＝|b|，所以逆命题是：若|a|＝|b|，则a＝－b.
答案 D
2．(2011·山东高考)已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是 ( )．
A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3
B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3
C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3
D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3
解析 原命题的条件是：a＋b＋c＝3，结论是：a2＋b2＋c2≥3，所以否命题是：若a＋b
＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3.
答案 A
3．(2011·全国卷)下面四个条件中，使a＞b成立的充分不必要的条件是 ( )．
A．a＞b＋1 B．a＞b－1
C．a2＞b2 D．a3＞b3
解析 a>b＋1?a>b，a>b a>b＋1.
答案 A
4．(2011·湖南高考)设集合M＝{1，2}，N＝{a2}，则“a＝1”是“N?M”的 ( )．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 若N?M，则需满足a2＝1或a2＝2.解得a＝±1或a＝±.故“a＝1”是“N?M”
的充分不必要条件．
答案 A
5．(2011·天津高考)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的 ( )．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
解析 x≥2，且y≥2?x2＋y2≥4，x2＋y2≥4 x≥2，且y≥2，如x＝－2，y＝1，故“x≥2
且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件．
答案 A
6．(2011·北京高考)若p是真命题，q是假命题，则 ( )．
A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题
C．綈p是真命题 D．綈q是真命题
解析 由于p是真命题，q是假命题，所以綈p是假命题，綈q是真命题，p∧q是假命
题，p∨q是真命题．
答案 D
7．(2011·安徽高考)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是 ( )．
A．所有不能被2整除的整数都是偶数
B．所有能被2整除的整数都不是偶数
C．存在一个不能被2整除的整数是偶数
D．存在一个能被2整除的整数不是偶数
解析 原命题是全称命题，其否定是：存在一个能被2整除的数不是偶数．
答案 D
8．(2011·辽宁高考)已知命题p：?n∈N，2n>1 000，则綈p为 ( )．
A．?n∈N，2n≤1 000 B．?n∈N，2n>1 000
C．?n∈N，2n≤1 000 D．?n∈N，2n<1 000
解析 命题p的否定为：?n∈N，2n≤1 000.
答案 A
第三章 空间向量与立体几何
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·课标全国卷)如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.
(1)证明：PA⊥BD；
(2)若PD＝AD，求二面角A - PB - C的余弦值．
证明 (1)因为∠DAB＝60°，AB＝2AD，由余弦定理得BD＝AD.
从而BD2＋AD2＝AB2，故BD⊥AD.
又PD⊥底面ABCD，可得BD⊥PD.
所以BD⊥平面PAD，故PA⊥BD.
(2)解 如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射
线DA为x轴的正半轴，建立空间直角坐标系D－xyz，
则A(1，0，0)，B(0，，0)，C(－1，，0)，P(0，0，
1)．
＝(－1，，0)，＝(0，，－1)，＝(－1，0，
0)．
设平面PAB的法向量为n＝(x，y，z)，
则即
因此可取n＝(，1，)．
设平面PBC的法向量为m，则
可取m＝(0，－1，－)．cos〈m，n〉＝＝－.
故二面角A-PB-C的余弦值为－.
2．(2011·北京高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.
(1)求证：BD⊥平面PAC；
(2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长．
(1)证明 因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD.
又因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAC.
(2)解 设AC∩BD＝O，
因为∠BAD＝60°，PA＝AB＝2，
所以BO＝1，AO＝CO＝.
如图，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O -xyz，则P(0，
－，2)，
A(0，－，0)，B(1，0，0)，C(0，，0)．
所以＝(1，，－2)，
＝(0，2，0)．
设PB与AC所成角为θ，则
cos θ＝||＝＝.
(3)解 由(2)知＝(－1，，0)．
设P(0，－，t)(t>0)，则＝(－1，－，t)．
设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)，
则·m＝0，·m＝0.
所以
令y＝，则x＝3，z＝.所以m＝(3，，)．
同理，平面PDC的法向量n＝(－3，，)．
因为平面PBC⊥平面PDC，所以m·n＝0，即－6＋＝0，
解得t＝.所以PA＝.
3．(2011·山东高考)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.
(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；
(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A-BF-C的大小．
(1)证明 因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°.
所以∠EGF＝90°，
△ABC∽△EFG.
由于AB＝2EF，因此BC＝2FG.
连接AF，
由于FG∥BC，FG＝BC，
在?ABCD中，M是线段AD的中点，
则AM∥BC，且AM＝BC，
因此FG∥AM且FG＝AM，
所以四边形AFGM为平行四边形，
因此GM∥FA.
又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE，
所以GM∥平面ABFE.
(2)解 因为∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°.
又EA⊥平面ABCD，所以AC，AD，AE两两垂直．
分别以AC，AD，AE所在直线为x轴，y轴和z
轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设AC＝BC＝2AE＝2，则由题意得A(0，0，0)，B(2，－2，0)，C(2，0，0)，E(0，0，1)，
所以＝(2，－2，0)，＝(0，2，0)．
又EF＝AB，
所以F(1，－1，1)，＝(－1，1，1)．
设平面BFC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，
则m·＝0，m·＝0，
所以
取z1＝1，得x1＝1，所以m＝(1，0，1)．
设平面向量ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，
则n·＝0，n·＝0，所以
取y2＝1，得x2＝1，
则n＝(1，1，0)．
所以cos〈m，n〉＝＝.
因此二面角A - BF - C的大小为60°.
4．(2011·辽宁高考)如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.
(1)证明：平面PQC⊥平面DCQ；
(2)求二面角Q - BP - C的余弦值．
解 如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，
射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系D
-xyz.
(1)证明 依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，
P(0，2，0)，则＝(1，1，0)，＝(0，0，
1)，＝(1，－1，0)．
所以·＝0，·＝0.
即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，
故PQ⊥平面DCQ.
又PQ?平面PQC，
所以平面PQC⊥平面DCQ.
(2)依题意有B(1，0，1)，＝(1，0，0)，＝(－1，2，－1)．
设n＝(x，y，z)是平面PBC的法向量，则
即
因此可取n＝(0，－1，－2)．
设m是平面PBQ的法向量，则
可取m＝(1，1，1)，
所以cos〈m，n〉＝－.
故二面角Q -BP - C的余弦值为－.
5．(2011·天津高考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1＝2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H＝.
(1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
(2)求二面角A-A1C1-B1的正弦值．
解 如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．
依题意得A(2，0，0)，B(0，0，0)，C(，－，)，
A1(2，2，0)，B1(0，2，0)，C1(，，)．
(1)易得＝(－，－，)，
＝(－2，0，0)，
于是cos〈，〉
＝
＝＝，
所以异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为.
(2)易知＝(0，2，0)，＝(－，－，)．
设平面AA1C1的法向量m＝(x，y，z)，
则即
不妨令x＝，可得m＝(，0，)．同样地，设平面A1B1C1的法向量n＝(x，y，z)，
则即
不妨令y＝，可得n＝(0，，)，
于是cos〈m，n〉＝＝＝，
从而sin〈m，n〉＝.
所以二面角A-A1C1-B1的正弦值为.
6．(2011·浙江高考)如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.
(1)证明：AP⊥BC；
(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A -MC -B为直
二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
(1)证明 如图以O为原点，以射线OD为y轴的正半轴，
射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.
则O(0，0，0)，A(0，－3，0)，B(4，2，0)，C(－4，2，0)，
P(0，0，4)，
＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)，由此可得·＝0，
所以⊥，即AP⊥BC.
(2)解 假设存在满足题意的M，设＝λ，λ≠1，
则＝λ(0，－3，－4)．
＝＋＝＋λ
＝(－4，－2，4)＋λ(0，－3，－4)
＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，
＝(－4，5，0)．
设平面BMC的法向量n1＝(x1，y1，z1)，平面APC的法向量n2＝(x2，y2，z2)．
由得
即可取n1＝(0，1，)．
由即
得可取n2＝(5，4，－3)．
由n1·n2＝0，得4－3·＝0，
解得λ＝，故AM＝3.
综上所述， 存在点M符合题意，AM＝3.
第二章 圆锥曲线与方程
本章归纳整合
高考真题
1．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是 ( )．
A．y2＝－8x B．y2＝－4x
C．y2＝8x D．y2＝4x
解析 由准线方程为x＝－2，可知抛物线的焦点在x轴正半轴上，且p＝4，所以抛物线
的方程为y2＝2px＝8x.
答案 C
2．(2011·安徽高考)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是 ( )．
A．2 B．2
C．4 D．4
解析 双曲线方程可变形为－＝1，所以a2＝4，a＝2，从而2a＝4，故选C.
答案 C
3．(2011·广东高考)设圆C与圆x2＋(y－3)2＝1外切，与直线y＝0相切，则C的圆心轨迹为( )．
A．抛物线 B．双曲线
C．椭圆 D．圆
解析 设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到
点(0，3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0，3)的距离比到直线y＝0的距离大1，
故点C到点(0，3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，符合抛物线的特征，故点C的
轨迹为抛物线．
答案 A
4．(2011·江西高考)若双曲线－＝1的离心率e＝2，则m＝________.
解析 由题意知a2＝16，即a＝4，又e＝2，所以c＝2a＝8，则m＝c2－a2＝48.
答案 48
5．(2011·全国课标卷)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为__________．
解析 设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，由e＝知＝，
故＝.
由于△ABF2的周长为|AB|＋|BF2|＋|AF2|＝|AF1|＋|AF2|＋|BF1|＋
|BF2|＝4a＝16，故a＝4.
∴b2＝8.
∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
6．(2011·陕西高考) 如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.
(1)当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；
(2)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的长度．
解 (1)设M的坐标为(x，y)，P的坐标为(xP，yP)，
由已知得
∵P在圆上，
∴x2＋(y)2＝25，即轨迹C的方程为＋＝1.
(2)过点(3，0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)，
设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
将直线方程y＝(x－3)代入C的方程，得
＋＝1，
即x2－3x－8＝0.
∴x1＝，x2＝.
∴线段AB的长度为
|AB|＝＝＝＝.
7．(2011·福建高考) 如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C：x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值；
(2)求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．
解 (1)由得x2－4x－4b＝0(*)，
因为直线l与抛物线C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.
(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)为x2－4x＋4＝0，解得x＝2，
代入x2＝4y，得y＝1，故点A(2，1)．
因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r就等于圆心A到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1)|＝2，
所以圆A的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
8．(2011·江西高考)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
解 (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，有－＝1.
由题意又有·＝，
即x02－5y02＝a2，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，
则e＝＝.
(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 ①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，
即
又C为双曲线上一点，即x32－5y32＝5b2，
有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，
化简得λ2(x12－5y12)＋(x22－5y22)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2， ②
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，所以x12－5y12＝5b2，
x22－5y22＝5b2.
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)
＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
由②式得λ2＋4λ＝0，解出λ＝0，或λ＝－4.
