学考复习之解三角形 练习（含解析）

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学考复习之解三角形
1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，
(1)求C的大小；
(2)已知，求b的值．
【答案】(1)(2)2
【解析】
(1)，
∴，.
(2)，，
∴
2．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
(1)若，求B；（2)若，求b．
【答案】(1)(2)或
【解析】(1)由余弦定理，得，
又，
∴．
(2)由正弦定理，得，
∵，
∴或．
当时，，
∴；
当时，，
∴．
综上，或．
3．如图，在平面四边形中，，，，.
(1)求的值；
(2)若，求△的边上高的大小．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在中，由正弦定理得 ，
即 ，解得，
∵，且，∴，即，
∴；
(2)在△中，由余弦定理得
，解得，
又∵△的面积为，
∴△的边上高的大小为．
4．已知△ABC中，分别为内角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是 的角平分线，且，，求 的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在△ABC中，由正弦定理及得：，..
由余弦定理得，
又，所以
(2) 是的角平分线，，
由可得
因为，，即有，，
故
5．在锐角中，的对边分别为，且
(1)确定角的大小；(2)若，且，求边.
【答案】(1)(2)或
【解析】(1)由及正弦定理得
因为，故
又锐角，所以.
(2)由余弦定理，
，得
解得:或.
6．设 的内角 的对边分别为 ， 且
(1)求角 的大小：
(2)若边 上的高为 ， 求 的值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：由题意得：
根据余弦定理可知：
整理可知：
即可知，于是
(2)设边上的高为，则，即
由（1）可知，故
解得：
于是
7．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
(1)求角；
(2)当时，求面积的最大值．
【答案】(1)(2)
(1)解：由，即，，
又，故；
(2)解：由（1）知，，
∴．
由余弦定理得，
即，当且仅当时等号成立，
∴，
∴面积的最大值为．
8．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
(1)求角A；
(2)若，BC边上的高为，求c.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
由已知条件得,
由正弦定理得，
∵，∴，∴，
又∵, ∴, ∴,∴;
(2)由三角形面积公式得
∵，，
∴，即，
由余弦定理得, 将代入可得，
解得或（舍去），
故.
9．在△中，内角所对的边分别是，已知，，.
(1)求的值；(2)求△的面积.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由余弦定理可得
，即，
解得，
(2)∵，且，
∴,
由得，,
∴.
故△的面积为.
10．如图，在平面四边形中，，，，．
(1)求的长；
(2)求的正弦值．
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)在中，由余弦定理可知：
,
(2)在中，由正弦定理可知：，
即：
.
11．已知函数．
(1)若，，求的值；
(2)在锐角△中，、、分别是角、、的对边，若，，△的面积，求的值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
∵，∴，
又∵，∴，
∴ ，
∴
，
(2)∵，∴，
又∵，∴，
∴，即，
又∵，∴，
由余弦定理得，
，
即.
12．在△中，角A，B，C所对的边为a，b，c，．
(1)求角的大小；
(2)△的面积为，△的外接圆半径长为，求a，b，c．
【答案】(1)(2)，，
【解析】(1)
由已知得
∵，∴，
∴，∴
又∵，∴，
又∵，∴；
(2)由得：，
由正弦定理得，∴
由余弦定理，，即，
，则，
则，，
13．在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，且．
(1)求角和边的大小；
(2)求△的内切圆半径．
【答案】(1)，(2)
解(1)由可得，
∴，
∴，
又∵，∴，
又∵, ∴．
由余弦定理可得，
∴．
(2)由（1）知，故△为直角三角形，设△的内切圆半径为．
由等面积法可知，
即，解得：.
14．在锐角中内角，，的对边分别为，，，且.
(1)求角；
(2)若，，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】
(1)
所以或者（舍去），又，所以；
(2)由余弦定理，所以（时不是锐角三角形，舍去）.
所以，可得.
15．在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)求角；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)△中，，由正弦定理知，，
∵，∴ ，
∴，∴，
∴，
又∵ , ∴；
(2)由（1）及得，
所以,
当且仅当时取等号，所以的最小值为.
16．如图，在△ABC中，内角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=6，A=60°，B=75°.
(1)求角C；(2)求边c.
【答案】(1)C=45°(2)
【解析】
(1)解：在△ABC中，因为A=60°，B=75°，所以角；
(2)解：在△ABC中，因为a=6，A=60°，又由（1）知C=45°，
所以由正弦定理有，即，解得.
17．在中，角A B C的对边分别为a b c，已知
(1)求的值；(2)若，求的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)在中，由，整理得，
又由余弦定理，可得；
(2)由（1）可得，又由正弦定理，
及已知，可得；
故.
18．在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，．
(1)求角的大小；
(2)求的最小值．
【答案】(1)(2)4
【解析】(1)因为，所以，
整理得，所以
又，所以．
(2)因为，，
所以，
故，即，
当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4．
19．已知△的内角，，所对边分别为，，，且．
（1）求；
（2）若，，求△的面积．
【答案】（1）；（2）.
【详解】1）由题设，，
∴，又，
∴.
（2）由（1）知：，则，
∵，又，
∴，故△在上的高，
∴.
20．已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边过点．
（1）求的值；
（2）求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】【详解】（1）由角的终边过点，
可得；
（2）由（1）知，且，
所以，所以．
21．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且.
(1)求角C的大小；
(2)如果，，求c的值.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由得，
由正弦定理可得，
因为，所以，即，
因为，所以.
(2)因为，所以，
所以，所以.
22．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若，的面积为，求的周长．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由正弦定理得：，
即，
因为，
所以
因为，
所以，
故，
因为，
所以
(2)由面积公式得：，解得：，
由余弦定理得：
将，代入，求得：，
故的周长为
23．在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.
(1)求；(2)若，求b的最小值.
【答案】(1)；(2).
【解析】(1)
由正弦定理得： 即
由余弦定理得：
又
(2)由（1）知：
当且仅当时，等号成立，
.
24．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足
(1)求；(2)若，，求
【答案】(1)(2)
【解析】(1)由正弦定理，，所以
，由于，所以，
所以，化简整理得，
因为，所以，所以，即，因为，
所以角的大小为.
(2)在中，，，，
由余弦定理得：，即
即，解得或 （舍去），
所以.
25．在中，.
(1)求角C的大小.
(2)若，的面积为，D为AB的中点，求CD的长.
【答案】(1)(2)
【解析】(1)解：因为，所以，
由正弦定理可得，
即
即，
即，
即，又，所以，
因为，所以
(2)解：因为，即，所以，
又为的中点，所以，
所以，
即，
所以；
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