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函数单元复习答案
教学目标
（1）能利用求轨迹的方法，求函数图象关于点和特殊直线（x＝a，y＝x，y＝－x）的对称曲线解析式；
（2）能利用对称性、周期性将确定区间上的点转化到已知区间上，进而解决相关的求值和求解析式问题；
（3）能根据f(x＋a)＝－f(x)和f(x＋a)＝确定函数y＝f(x)的周期；
（4）明确对称性（奇偶性）和周期性的关系．
（5）进一步加深对函数与方程思想及数形结合思想的认识．
课前预习
1．已知f(x)是偶函数，则f(x＋2)的图象关于___x＝－2___对称；已知f(x＋2)是偶函数，则f(x)的图象关于___x＝2_____对称．
2．函数y＝(x－1)3＋1的图象的中心对称点的坐标是__（1，1）___．
3．设f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1＋)，那么x＜0时，f(x)＝___ x(1－)___．
4．函数f(x)(xR)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(7)＝___－a____．
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则，f(6)的值为____0___．
典型例题
例1 设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A(，)对称．
解：（1）曲线C1的方程为y=(x－t)3－(x－t)＋s．.
（2）在曲线C上任取一点B1（x1，y1），设B2（x2，y2）是B1关于点A的对称点，则有 ＝，＝，
所以 x1＝t－x2， y1＝s－y2．
代入曲线C的方程，得x2和y2满足方程：
s－y2=(t－x2)3－(t－x2)，
即 y2=(x2－t)3－(x2－t)＋ s，
可知点B2（x2，y2）在曲线C1上．
反过来，同样可以证明，在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上．
因此，曲线C与C1关于点A对称．
例2定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0，1］时，f(x)＝loga(2－x)，（a＞1）．
（1）当x∈[2k－1，2k＋1］(k∈Z)，求f(x)的表达式．
（2）若f(x)的最大值为，在[－1，1］内解关于x的不等式f(x)＞．
解：（1）x∈[－1，0］，都有f (x)＝f (－x) = loga(2＋x)
当x∈[2k－1，2k）(k∈Z)时，x－2k ∈[－1，0］，
f(x)＝f(x－2 k)= loga(2＋x－2k)
当x∈（2k，2k＋1］(k∈Z)时，x－2k ∈[0，1］，
f(x)＝f(x－2 k)= loga(2－x＋2k)
(2) f(x)是以2为周期的偶函数，所以f(x)的最大值即为[0，1］上的最大值.
∴f(x)的最大值f(0)= loga2= ，∴a＝4
当x∈[－1，1］，f(x)＞ 解得－2＜x＜2－．
故在[－1，1］内不等式f(x)＞的解集为(－2，2－)
【小结】
例3设函数f(x)＝|x2－4x－5|．（1）在区间[－2，6]上画出函数f(x)的图象；（2）设集合A＝{x| f(x)≥5}，B＝(－∞，－2]∪[0，4]∪[6，＋∞)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；（3）当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．
解（1）如右图所示．
（2）方程f(x)＝5的解分别是2－，0，4和2＋，由于在(－∞,－1]和[2，5]上单调递减，在[－1，2]和[5，＋∞）上单调递增，因此A＝(－∞，2－]∪[０，4]∪[2＋ ，＋∞)． 所以B A．
（3）[解法一] 当 x[－1，5]时，f(x)＝－x2＋4x＋5．
令g(x)＝k(x＋3)－(－x2＋4x＋5)＝(x－)2－．
因为k＞2 ，所以＜1． 又x[－1，5]，
① 当－1≤＜1，即2＜k≤6时，取x＝， g(x)min＝－＝－[(k－10)2－64]．
因为10(2，6]，所以(k－10)2－64＞(2－10)2－64＞0，则g(x)min ＞0．
② 当＜－1，即k ＞6时，取x＝－1， g(x)min ＝2k＞0．
由 ①②可知，当k＞2时，g(x) ＞0，x[－1，5]．因此，在区间［－1，5］上，y＝kx＋3k的图象位于函数f(x)图象的上方．
[解法二] 当x[－1，5]时，f(x)＝－x2＋4x＋5．由 得x2＋(k－4)x＋(3k－5)＝0．
令△＝(k－4)2－4(3k－5)＝0，解得k＝2或k＝18．
在区间[－1，5]上，当k＝2时，y＝2x＋6的图象与函数的图象只交于一点(1，8)；
当k＝18时，y＝18x＋54的图象与函数的图象没有交点．
如图可知，由于直线y＝kx＋3k过点(－3，0)，当k＞2时，直线y＝kx＋3k是由直线y＝2x＋6绕点(－3，0)逆时针方向旋转得到．因此，在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图象位于函数f(x)图象的上方．
（注意：这里也可以利用导数求切线的斜率）
函数单元复习习题答案
1．将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到曲线C1， 将C1向上平移1个单位，得到C2，再作C2关于y＝x的对称图形，得到C3，那么C3所对应函数的解析式为_y＝log2(x－1)－1________．
2．若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝ln＋1的图像关于直线y＝x对称，则f(x)＝__e2x___．
3．已知f(x)＝|log3x|，若f(a)＞f(2)，则a的取值范围是_(0，)∪(2，＋∞)__．
4．已知函数f(x)满足：x≥4，则f(x)＝()x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝__．
5．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝_____．
6．设f(x)为定义在R上的奇函数，且f(－x)＋f(x＋3)＝0，若f(－1)＝－1，f(2)＜loga2，则a的取值范围是_(0，)∪(1，＋∞)_．
7．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)在区间[－2，－1]上是___增___函数，在区间[3，4]上是__减____函数（横线上填“增”或“减”）．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4 ＝_－8_．
解：因为定义在R上的奇函数，满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－4)＝f (－x)，所以函数图象关于直线x＝2对称且f(0)＝0，由f(x－4)＝－f(x)知f(x－8)＝f(x)，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为f(x)在区间[0，2]上是增函数，所以f(x)在区间[－2，0]上也是增函数．如图所示,那么方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，不妨设x1＜x2＜x3＜x4，由对称性知x1＋x2＝－12，x3＋x4＝4，所以x1＋x2＋x3＋x4 ＝_－8_．
9．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f（2010）的值为___0__．
10．对于定义域为实数集R的两个函数f(x)，g(x)，如果函数y＝f(x)的图象始终在函数y＝g(x)图象的上方，则称函数y＝g(x)可被函数y＝f(x)覆盖，下列三个函数：①y＝－2x2；②y＝－|x|；③y＝sinx.其中可被y＝－x2＋1覆盖的函数是 ① （填序号）．
11．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
（1）求f(x)的解析式；
（2）若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
解：(1)设P(x，y)为函数y＝f(x)图象上任一点，则P关于A(0，1)对称的点为P’(－x，2－y)在y＝h(x)的图象上，所以2－y＝－x－＋2，所以f(x)＝x＋(x≠0)．
(2)g(x)＝(x＋)·x＋ax＝x2＋ax＋1＝(x＋)2＋1－．因为g(x)在区间(0，2]上为减函数，所以－≥2，a≤－4，即a的取值范围为(―∞，―4]．
12．设f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，而当x[2，3]时，g(x)＝－x2＋4x＋c(c为常数)，求f(x)的解析式．
解：g(x)＝－x2＋4x＋c＝－(x－2)2＋c＋4．
设x[－1，0]，且(x，y)在函数f(x)的图象上，则2－x[2，3]，(2－x，y)在g(x)的图象上，
所以y＝－(2－x－2)2＋c＋4＝－x2＋c＋4，所以f(x)＝－x2＋c＋4．
因为f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，所以f(0)＝0，则c＋4＝0．
设x（0，1]，则－x[－1，0），f(－x)＝－x2，所以f(x)＝－f(－x)＝x2．
综上，f(x)＝
13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，将y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数y＝g(x)的图象．（1）求y＝g(x)的解析式及定义域；（2）求函数F(x)＝f(x)－g(x)的最大值．
解：（1）由题意，＝log2(x＋1＋1)，即y＝2log2(x＋2)，∴g(x)＝2log2(x＋2)．
g(x)的定义域为（－2，＋∞）．
（2）F(x)＝f(x)－g(x)＝log2(x＋1)－2log2(x＋2)＝log2．
F(x)的定义域为（－1，＋∞）．
因为＝＝x＋1＋＋2≥4，
所以0＜≤，log2≤－2．
当且仅当x＋1＝，即x＝0时等号成立．
即x＝0时， F(x)＝f(x)－g(x)取得最大值－2．
x
y
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8
y
x
f(x)＝m (m>0)
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函数单元复习
教学目标
（1）能利用求轨迹的方法，求函数图象关于点和特殊直线（x＝a，y＝x，y＝－x）的对称曲线解析式；
（2）能利用对称性、周期性将确定区间上的点转化到已知区间上，进而解决相关的求值和求解析式问题；
（3）能根据f(x＋a)＝－f(x)和f(x＋a)＝确定函数y＝f(x)的周期；
（4）明确对称性（奇偶性）和周期性的关系．
（5）进一步加深对函数与方程思想及数形结合思想的认识．
课前预习
1．已知f(x)是偶函数，则f(x＋2)的图象关于_____对称；已知f(x＋2)是偶函数，则f(x)的图象关于_______对称．
2．函数y＝(x－1)3＋1的图象的中心对称点的坐标是_____．
3．设f(x)是R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝x(1＋)，那么x＜0时，f(x)＝_____．
4．函数f(x)(xR)是周期为3的奇函数，且f(－1)＝a，则f(7)＝___ ____．
5．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，则，f(6)的值为______．
典型例题
例1 设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1．（1）写出曲线C1的方程；（2）证明曲线C与C1关于点A(，)对称．
例2定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，且x∈[0，1］时，f(x)＝loga(2－x)，（a＞1）．
（1）当x∈[2k－1，2k＋1］(k∈Z)，求f(x)的表达式．
（2）若f(x)的最大值为，在[－1，1］内解关于x的不等式f(x)＞．
例3设函数f(x)＝|x2－4x－5|．（1）在区间[－2，6]上画出函数f(x)的图象；（2）设集合A＝{x| f(x)≥5}，B＝(－∞，－2]∪[0，4]∪[6，＋∞)，试判断集合A和B之间的关系，并给出证明；（3）当k＞2时，求证：在区间[－1，5]上，y＝kx＋3k的图像位于函数f(x)图像的上方．
课后习题
1．将y＝2x的图象向左平移1个单位，得到曲线C1， 将C1向上平移1个单位，得到C2，再作C2关于y＝x的对称图形，得到C3，那么C3所对应函数的解析式为_________．
2．若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝ln＋1的图像关于直线y＝x对称，则f(x)＝_ ___．
3．已知f(x)＝|log3x|，若f(a)＞f(2)，则a的取值范围是___．
4．已知函数f(x)满足：x≥4，则f(x)＝()x；当x＜4时，f(x)＝f(x＋1)，则f(2＋log23)＝__．
5．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)＝_____．
6．设f(x)为定义在R上的奇函数，且f(－x)＋f(x＋3)＝0，若f(－1)＝－1，f(2)＜loga2，则a的取值范围是_ ．
7．定义在R上的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)．若f(x)在区间[1，2]上是减函数，则f(x)在区间[－2，－1]上是___ ___函数，在区间[3，4]上是__ ____函数（横线上填“增”或“减”）．
8．已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上是增函数，若方程f(x)＝m(m＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1＋x2＋x3＋x4 ＝_．
9．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f（2010）的值为___．
10．对于定义域为实数集R的两个函数f(x)，g(x)，如果函数y＝f(x)的图象始终在函数y＝g(x)图象的上方，则称函数y＝g(x)可被函数y＝f(x)覆盖，下列三个函数：①y＝－2x2；②y＝－|x|；③y＝sinx.其中可被y＝－x2＋1覆盖的函数是 （填序号）．
11．已知函数f(x)的图象与函数h(x)＝x＋＋2的图象关于点A(0，1)对称．
（1）求f(x)的解析式；
（2）若g(x)＝f(x)·x＋ax，且g(x)在区间(0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
12．设f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，g(x)的图象与f(x)的图象关于直线x＝1对称，而当x[2，3]时，g(x)＝－x2＋4x＋c(c为常数)，求f(x)的解析式．
13．已知函数f(x)＝log2(x＋1)，将y＝f(x)的图象向左平移1个单位，再将图象上所有的点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数y＝g(x)的图象．（1）求y＝g(x)的解析式及定义域；（2）求函数F(x)＝f(x)－g(x)的最大值．
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