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椭圆（I）
一、学习要求
1．掌握椭圆的定义和几何图形,能解决椭圆中与焦半径和焦点三角形有关问题；
2．掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
二、课前预习
1．椭圆＋＝1的长轴长为__2__，短轴长为__2___，焦点坐标为_(1，0)和(－1，0)_，左顶点坐标为_(－2，0)_，上顶点坐标为_(0，2)_，离心率为____，准线方程为___x＝±3____．
2．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e＝，长轴长为6，那么椭圆方程是___________
_或______．
3．（1）椭圆短轴上两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆离心率为___eq \f(,10)____．
（2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍，则椭圆离心率的取值范围是__(0，]__．
4．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是_____4_________．
5．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2等于________________．
【知识与方法】
三、典型例题
例1求分别满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴是短轴的3倍且经过A(3，0)；（2）经过两点(－，)，(，)；（3）经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点．
解：（1）若椭圆的焦点在x轴上，则设其方程为＋＝1．
由题意，2a＝6b，且a＝3，所以a2＝9，b2＝1，此时椭圆方程为＋y2＝1．
若椭圆的焦点在y轴上，则设其方程为＋＝1．
由题意，2a＝6b，且b＝3，所以a2＝81，b2＝9，此时椭圆方程为＋＝1．
综上所述，椭圆方程为＋y2＝1或＋＝1．
（2）设椭圆方程为mx2＋ny2＝1（m，n＞0），
由题意得eq \b\lc\{(\a\al(m(－)2＋n()2＝1，,m()2＋n()2＝1．))解得eq \b\lc\{(\a\al(m＝，,n＝．))
所以，椭圆方程为＋＝1．
（3）椭圆9x2＋4y2＝36，即＋＝1，其焦点为F1 (0，－)和F2 (0，)．
方法一：设所求椭圆方程为＋＝1．所以a2－b2＝5，又点(2，－3)在椭圆上，
所以＋＝1．解方程组eq \b\lc\{(\a\al(＋＝1，,a2－b2＝5))得所求椭圆方程为＋＝1．
方法二：设P(2，－3)，
所以椭圆的长轴长2a＝PF1＋PF2＝eq \R(,(2－0)2＋(－3＋)2)＋eq \R(,(2－0)2＋(－3－)2)
＝eq \R(,18－6)＋eq \R(,18＋6)＝－＋＋＝2．
所以a＝，所以a2＝15，,b2＝10．所求椭圆方程为＋＝1．
【小结】
例2如图，已知P为椭圆＋＝1上任意一点，F1、F2为左、右焦点．（1）若PF1的中点为M，求证：MO＝5－PF1；（2）若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积；（3）求PF1·PF2的最值.
解：（1）椭圆＋＝1中a＝5，b＝4，则c＝3．
由题意PF1＋PF2＝2a＝10，所以2 MO＋PF1＝10，
所以MO＝5－PF1；
（2）设PF1＝m，PF2＝n，所以m＋n＝10，又F1F2 ＝6．
又在△PF1F2中，由余弦定理得F1F22＝m2＋n2－2mncos60°，所以
36＝(m＋n)2－2mn(1＋cos60°)，所以mn＝＝．
所以△PF1F2的面积S＝mnsin60°＝eq \F(16,3)．
（3）由于m＋n＝10，所以m＝10－n，又|m－n|≤6，且2≤n≤8，从而mn＝(10－n)n＝－(n－5)2＋25，当n＝5时，mn取得最大值25；当n＝2或n＝8时，mn取得最小值16．
【小结】
例3设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C和x轴正半轴于点P，Q，且＝．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A，Q，F三点的圆恰好与直线l：x＋y＋3＝相切，求椭圆C的方程．
解：（1）因为kAF＝，所有kAQ＝－，AQ：y＝－x＋b，所以点Q的坐标为(，0)．
又A(0，b)，设P(x0，y0)，则由＝，得(x0，y0－b)＝(－x0，－y0)．
所以eq \b\lc\{(\a\al(x0＝，,y0＝．))代人椭圆方程得eq \f(()2,a2)＋eq \f(()2,b2)＝1，解得e＝＝．
（2）由（1）得，c＝，b＝a，所以椭圆方程即3x2＋4y2＝3a2．
此时A(0，a)，Q(a，0)，F(－a， 0)，FQ的中点坐标(a，0)，
此即过A，Q，F三点的圆的圆心，它的半径r＝eq \r(,＋)＝a，
所以eq \f(a＋3,2)＝a，解得a＝2，b＝，故椭圆C的方程是＋＝1．
【小结】
课后练习
1．△ABC中，A(－2，0)，B(2，0)，且AC，AB，BC成等差数列，则点C的轨迹方程为__＋＝1（y≠0）__．
2．椭圆的长短轴之和是10，焦距是4，则椭圆的标准方程是_＋＝1，或＋＝1___．
3．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是__eq \F(4,3)___．
4.椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝ 2 ；∠F1PF2的大小为 120° .
5．设第一象限内的点P在椭圆＋＝1上，且它与该椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则该点的坐标为 (4，3) .
6．已知M是椭圆x2＋4y2＝4上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且向量与的夹角为，则△F1MF2的面积是______________．
7．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为______________．
8．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为__－1__．
9．设A，B，C分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点、右顶点和上顶点，若∠ABC＝90°，则椭圆的离心率为__eq \f(－1,2)__．
10．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为__6__．
11．求分别满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）离心率是，短轴长为8； （2）焦点在y轴，焦距等于8，且经过（eq \F(2,5)，4）．
解：（1）因为e＝＝，所以设a＝3k，c＝2k，所以b2＝9k2－4k2＝5k2＝80，k＝4，所以所求的椭圆方程为＋＝1或＋＝1．
（2）设椭圆方程为＋＝1，则＋＝1，又a2－b2＝16，所以b2＝4．椭圆方程为＋＝1．
12．已知椭圆C方程＋＝1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1、F2，长轴上的左顶点为A，短轴上的上顶点为B．（1）若从椭圆C上一点M向x轴作垂线，恰好通过F2，且OM∥AB，求椭圆C的离心率；（2）设Q是椭圆C上任意一点，求∠F1QF2取最大值时的余弦值．
解：（1）设M(c，y)，代入椭圆方程得y＝，所以直线OM的斜率为－，又直线AB的斜率为－，根据OM∥AB，所以－＝－，所以b＝c，椭圆C的离心率为eq \F(,2)．
（2）设QF1＝m，QF2＝n，所以m＋n＝2a，又F1F2＝2c．
cos∠F1QF2＝＝＝－1≥eq \F(a2,()2)－1＝0，当且仅当m＝n时取等号，此时∠F1QF2取得最大值90°．
13．设椭圆C：＋＝1(a＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，A是椭圆C上的一点，且·＝0，坐标原点O到直线AF1的距离为OF1．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(－1，0)，交y轴于点M，若＝2，求直线l的方程．
解：设O到直线AF1的垂线段为OH，
在Rt△OHF1中，sin∠OF1H＝＝，所以tan OF1H＝eq \f(,4)．
因为·＝0，所以AF2⊥F1F2，易得AF2＝．
在Rt△AF2F1中，＝tan OF1H，所以＝eq \f(,4)×2c．
又b2＝2，所以a2＝4，故椭圆方程为＋＝1．
（2）由题意，直线l的斜率必存在，设l的方程为y＝k(x＋1)，则M(0，k)．
又设Q(x0，y0)，则由＝2，得(x0＝2(－1－x0)，y0－k＝－2y0)，解得eq \b\lc\{(\a\al(x0＝－，,y0＝．))
带入椭圆方程＋＝1，得k＝±4．故所求的l的方程为4x－y＋4＝0和4x＋y＋4＝0．
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一、学习要求
1．掌握椭圆的定义和几何图形,能解决椭圆中与焦半径和焦点三角形有关问题；
2．掌握椭圆的标准方程，会求椭圆的标准方程；掌握椭圆的简单几何性质，能运用椭圆的标准方程和几何性质处理一些简单的实际问题．
二、课前预习
1．椭圆＋＝1的长轴长为____，短轴长为_____，焦点坐标为__，左顶点坐标为__，上顶点坐标为__，离心率为____，准线方程为__ ____．
2．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率e＝，长轴长为6，那么椭圆方程是___________
__．
3．（1）椭圆短轴上两个三等分点与两个焦点构成一个正方形，则椭圆离心率为_______．
（2）若椭圆的长轴长不大于短轴长的2倍，则椭圆离心率的取值范围是____．
4．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是______________．
5．椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则PF2等于______________．
【知识与方法】
三、典型例题
例1求分别满足下列各条件的椭圆的标准方程：（1）长轴是短轴的3倍且经过A(3，0)；（2）经过两点(－，)，(，)；（3）经过点(2，－3)且与椭圆9x2＋4y2＝36有共同焦点．
例2如图，已知P为椭圆＋＝1上任意一点，F1、F2为左、右焦点．（1）若PF1的中点为M，求证：MO＝5－PF1；（2）若∠F1PF2＝60°，求△PF1F2的面积；（3）求PF1·PF2的最值.
例3设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，上顶点为A，过点A与AF垂直的直线分别交椭圆C和x轴正半轴于点P，Q，且＝．（1）求椭圆C的离心率；（2）若过A，Q，F三点的圆恰好与直线l：x＋y＋3＝相切，求椭圆C的方程．
课后练习
1．△ABC中，A(－2，0)，B(2，0)，且AC，AB，BC成等差数列，则点C的轨迹方程为____．
2．椭圆的长短轴之和是10，焦距是4，则椭圆的标准方程是____．
3．椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是_____．
4.椭圆＋＝1的焦点为F1、F2，点P在椭圆上，若|PF1|＝4，则|PF2|＝ ；∠F1PF2的大小为 .
5．设第一象限内的点P在椭圆＋＝1上，且它与该椭圆的两个焦点的连线互相垂直，则该点的坐标为 .
6．已知M是椭圆x2＋4y2＝4上的一点，F1、F2是椭圆的两个焦点，且向量与的夹角为，则△F1MF2的面积是______________．
7．过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为______________．
8．设F1、F2为椭圆的两个焦点，以F2为圆心作圆F2，已知圆F2经过椭圆的中心，且与椭圆相交于M点，若直线MF1恰与圆F2相切，则该椭圆的离心率e为____．
9．设A，B，C分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左焦点、右顶点和上顶点，若∠ABC＝90°，则椭圆的离心率为____．
10．若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为____．
11．求分别满足下列各条件的椭圆的标准方程：
（1）离心率是，短轴长为8； （2）焦点在y轴，焦距等于8，且经过（eq \F(2,5)，4）．
12．已知椭圆C方程＋＝1（a＞b＞0），其左、右焦点分别为F1、F2，长轴上的左顶点为A，短轴上的上顶点为B．（1）若从椭圆C上一点M向x轴作垂线，恰好通过F2，且OM∥AB，求椭圆C的离心率；（2）设Q是椭圆C上任意一点，求∠F1QF2取最大值时的余弦值．
13．设椭圆C：＋＝1(a＞0)的左、右焦点分别是F1，F2，A是椭圆C上的一点，且·＝0，坐标原点O到直线AF1的距离为OF1．（1）求椭圆C的方程；（2）设Q是椭圆C上的一点，过Q的直线l交x轴于点P(－1，0)，交y轴于点M，若＝2，求直线l的方程．
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