第五章 一元函数的导数及其应用 培优提升单元检测题—2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 （word版含解析）
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| 名称 | 第五章 一元函数的导数及其应用 培优提升单元检测题—2021-2022学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 （word版含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-19 08:13:57 | ||
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文档简介
第五章 一元函数的导数及其应用
一、单选题
1．在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是（ ）
A． B． C．13.1 D．3.3
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
4．已知函数的图象在处的切线为，则与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是的极值点，则在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知在处取得极值，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
9．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．已知函数，其中为函数的导数，则（ ）
A． B． C． D．
11．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
12．已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数，其导函数为函数，则________.
14．曲线在点处的切线方程为__________．
15．若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是________ .
16．若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.
三、解答题
17．已知函数.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.
18．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
19．已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
20．已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
22．设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
【解析】
根据瞬时速度与导数的关系，先对求导，再把代入进行运算即可
【详解】
解：由，得，
当时，，
所以高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度，
故选：B
【点睛】
此题考查导数的定义与运算，考查运算能力，属于基础题
2．B
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．
【详解】
选项A，，故A错；
选项B，，故B正确；
选项C，
，故C错；
选项D，，故D错.
故选：B.
3．A
【解析】
先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.
【详解】
由，得，
则曲线在点处的切线斜率为，得.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
由函数解析式得且，，可求，进而求与坐标轴的交点坐标，即可求与坐标轴围成的三角形的面积.
【详解】
由题意，且，，得，，
∴的方程为，则与坐标轴的交点的坐标分别是(0,2)，，
∴故与坐标轴围成的三角形的面积．
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
求得函数的导数，根据是的极值点，求得，进而求得函数单调性，结合的值，即可求得函数的最大值，得到答案.
【详解】
由题意，函数，可得，
因为是的极值点，可得，解得，
所以，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
由，
又由，所以，
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
设，，则可以用表示，利用导数可求的最小值.
【详解】
设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
【点睛】
思路点睛：水平直线截不同曲线所得线段的长度的计算，需结合曲线方程的形式合理选择变量去构建长度的计算公式，而长度的最值的计算可利用导数来处理.
7．D
【解析】
求导，根据极值点得到，，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
，故，
根据题意，即，
经检验在处取得极值.
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
8．B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义得出，再求.
【详解】
由题中图象知，
由导数的几何意义知，
．
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】
设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
10．B
【解析】
将函数解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.
【详解】
，
所以，，
，函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，
因此，.
故选：B.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；
（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.
在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
11．B
【解析】
【分析】
由函数图象，确定的零点并判断的区间符号，进而可得的单调性，即可知极值情况.
【详解】
由图知：当时，有、，
∴，，
又时，而则，即递增；
时，而则，即递减；
时，而则，即递增；
时，而则，即递增；
综上，、上递增；上递减.
∴函数有极大值和极小值.
故选：B
12．A
【解析】
【分析】
由题意可得两个根分别位于和上，所以，从而解不等式组可求出实数的取值范围.
【详解】
由，得．
因为在，上单调递增，在上单调递减，
所以方程的两个根分别位于区间和上，
所以，即
解得.
故选：A．
13．0
【解析】
根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，
故答案为：0
14．
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
求出导函数 ，只需在区间上有解即可.
【详解】
，则，
函数在区间（-1，1）上存在减区间，
只需在区间上有解，，
记，对称轴，开口向下，
只需，
所以，解得，
故答案为：
16．
【解析】
根据导数的几何意义求解出切线斜率，再根据垂直关系求解出参数的值，最后利用导数分析的单调性求解出的最小值.
【详解】
因为且切线垂直于，
所以，所以，所以.
因为，令，所以，
当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值是，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是将切线与直线的垂直关系转化为斜率的数值关系，由此计算出参数的值，并完成问题的求解.
17．（1）(－∞，－1)和；（2）.
【解析】
（1）求出导数，解不等式，求出单增区间；
（2）利用三次函数的特征，要使f(x)有三个零点，只需f(x)极大值×f(x)极小值<0，解不等式即可.
【详解】
解：(1)，则f′(x)＝3x2＋2x－1，
由f′(x)>0，得x<－1或x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.
（2）由（1）知，在取得极大值，在取得极小值
函数f(x)有三个零点，解得实数的取值范围.
【点睛】
函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，
（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；
（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；
18．（1）极大值为；极小值为；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）时，先求导以及的根，再列表判断单调性，即求得极值；
（2）先写定义域，求导以及的根，再讨论根是否在定义域内和两个根的大小关系，确定导数的正负情况，即得函数的单调性.
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，
．
令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ － ＋
单调递增 单调递减 单调递增
当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
（2）函数定义域为，．
令得或．
①若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
②若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
③若，即，则当时，，单调递增，
④若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，，递减区间是；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
19．（1）极小值为，极大值为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据的正负可确定单调性，由此确定极值点，代入函数解析式可得极值；
（2）将问题转化为在上的最小值小于零，利用导数可求得的正负，通过讨论是否在区间上，可得的单调性，由此确定最小值，根据最小值小于零可求得结果.
【详解】
（1）函数，定义域为，
，
当时，令，解得：或，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
函数的极小值为，函数的极大值为.
（2）令，
在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.
由得：，
，，又，，
当时，；当时，，
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，此时不成立，
②当，即时，在上单调递减，；
由可得：，
，；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、能成立问题的求解；本题中能成立问题的解题关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，通过讨论导函数的零点是否在所给区间内，得到函数的单调性，进而确定最值.
20．（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则
. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
21．（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】
(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
【整体点评】
(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
22．（1）；（2）证明见详解
【解析】
【分析】
（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；
（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】
（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
【整体点评】
（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
一、单选题
1．在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是（ ）
A． B． C．13.1 D．3.3
2．下列求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．曲线在点处的切线斜率为8，则实数的值为（ ）
A． B．6 C．12 D．
4．已知函数的图象在处的切线为，则与坐标轴围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是的极值点，则在上的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，函数，直线分别与两函数交于、两点，则的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．2
7．已知在处取得极值，则的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
8．如图所示，函数的图象在点处的切线方程是则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
9．已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率是（ ）
A．1 B．2 C． D．
10．已知函数，其中为函数的导数，则（ ）
A． B． C． D．
11．设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是（ ）
A．函数有极大值和极小值
B．函数有极大值和极小值
C．函数有极大值和极小值
D．函数有极大值和极小值
12．已知函数在，上单调递增，在上单调递减，则实数a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．函数，其导函数为函数，则________.
14．曲线在点处的切线方程为__________．
15．若函数在区间（-1，1）上存在减区间，则实数的取值范围是________ .
16．若函数的图象在点处的切线垂直于直线，则函数的最小值是____.
三、解答题
17．已知函数.
（1）求函数f(x)的单调递增区间；
（2）若函数f(x)有三个零点，求实数的取值范围.
18．已知函数．
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性．
19．已知函数，.
（1）当时，求函数的极值；
（2）当时，若在上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
20．已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．
21．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
22．设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【解析】
根据瞬时速度与导数的关系，先对求导，再把代入进行运算即可
【详解】
解：由，得，
当时，，
所以高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度，
故选：B
【点睛】
此题考查导数的定义与运算，考查运算能力，属于基础题
2．B
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的的导函数公式和导数的运算法则计算可得选项．
【详解】
选项A，，故A错；
选项B，，故B正确；
选项C，
，故C错；
选项D，，故D错.
故选：B.
3．A
【解析】
先求导函数,再利用导数的几何意义,建立方程,即可求得的值.
【详解】
由，得，
则曲线在点处的切线斜率为，得.
故选：A.
【点睛】
本题考查导数的几何意义，函数导数的计算，考查学生的计算能力，属于基础题.
4．B
【解析】
【分析】
由函数解析式得且，，可求，进而求与坐标轴的交点坐标，即可求与坐标轴围成的三角形的面积.
【详解】
由题意，且，，得，，
∴的方程为，则与坐标轴的交点的坐标分别是(0,2)，，
∴故与坐标轴围成的三角形的面积．
故选：B.
5．A
【解析】
【分析】
求得函数的导数，根据是的极值点，求得，进而求得函数单调性，结合的值，即可求得函数的最大值，得到答案.
【详解】
由题意，函数，可得，
因为是的极值点，可得，解得，
所以，
当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
由，
又由，所以，
所以当时，函数取得最大值，最大值为.
故选：A.
6．A
【解析】
【分析】
设，，则可以用表示，利用导数可求的最小值.
【详解】
设，，则，，消去得．
所以，其中.
令，，
则，
当时，，当时，．
故在上为减函数，在上为增函数，
所以，所以的最小值为．
故选：A．
【点睛】
思路点睛：水平直线截不同曲线所得线段的长度的计算，需结合曲线方程的形式合理选择变量去构建长度的计算公式，而长度的最值的计算可利用导数来处理.
7．D
【解析】
求导，根据极值点得到，，展开利用均值不等式计算得到答案.
【详解】
，故，
根据题意，即，
经检验在处取得极值.
，
当且仅当，即时，等号成立.
故选：.
【点睛】
本题考查了根据极值点求参数，均值不等式，意在考查学生的综合应用能力.
8．B
【解析】
【分析】
由导数的几何意义得出，再求.
【详解】
由题中图象知，
由导数的几何意义知，
．
故选：B
9．B
【解析】
【分析】
利用偶函数求的解析式再求导，根据导数的几何意义即可求处的切线斜率.
【详解】
设，则，，又为偶函数，
∴，则对应导函数为，
∴，即所求的切线斜率为2.
故选：B
10．B
【解析】
将函数解析式变形为，求得，进而可求得所求代数式的值.
【详解】
，
所以，，
，函数的定义域为，
，
所以，函数为偶函数，
因此，.
故选：B.
【点睛】
结论点睛：本题考查利用函数奇偶性求值，关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性，有如下结论：
（1）可导的奇函数的导函数为偶函数；
（2）可导的偶函数的导函数为奇函数.
在应用该结论时，首先应对此结论进行证明.
11．B
【解析】
【分析】
由函数图象，确定的零点并判断的区间符号，进而可得的单调性，即可知极值情况.
【详解】
由图知：当时，有、，
∴，，
又时，而则，即递增；
时，而则，即递减；
时，而则，即递增；
时，而则，即递增；
综上，、上递增；上递减.
∴函数有极大值和极小值.
故选：B
12．A
【解析】
【分析】
由题意可得两个根分别位于和上，所以，从而解不等式组可求出实数的取值范围.
【详解】
由，得．
因为在，上单调递增，在上单调递减，
所以方程的两个根分别位于区间和上，
所以，即
解得.
故选：A．
13．0
【解析】
根据解析式，可求得解析式，代入数据，即可得答案.
【详解】
因为，所以，
所以，
故答案为：0
14．
【解析】
【分析】
先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．
【详解】
由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．
故切线方程为．
故答案为：．
15．
【解析】
【分析】
求出导函数 ，只需在区间上有解即可.
【详解】
，则，
函数在区间（-1，1）上存在减区间，
只需在区间上有解，，
记，对称轴，开口向下，
只需，
所以，解得，
故答案为：
16．
【解析】
根据导数的几何意义求解出切线斜率，再根据垂直关系求解出参数的值，最后利用导数分析的单调性求解出的最小值.
【详解】
因为且切线垂直于，
所以，所以，所以.
因为，令，所以，
当，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故函数的最小值是，
故答案为：.
【点睛】
关键点点睛：解答本题的关键是将切线与直线的垂直关系转化为斜率的数值关系，由此计算出参数的值，并完成问题的求解.
17．（1）(－∞，－1)和；（2）.
【解析】
（1）求出导数，解不等式，求出单增区间；
（2）利用三次函数的特征，要使f(x)有三个零点，只需f(x)极大值×f(x)极小值<0，解不等式即可.
【详解】
解：(1)，则f′(x)＝3x2＋2x－1，
由f′(x)>0，得x<－1或x>，
所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，－1)和.
（2）由（1）知，在取得极大值，在取得极小值
函数f(x)有三个零点，解得实数的取值范围.
【点睛】
函数的单调性与导数的关系：
已知函数在某个区间内可导，
（1）如果>0，那么函数在这个区间内单调递增；如果<0，那么函数在这个区间内单调递减；
（2）函数在这个区间内单调递增，则有；函数在这个区间内单调递减，则有；
18．（1）极大值为；极小值为；（2）答案见解析．
【解析】
【分析】
（1）时，先求导以及的根，再列表判断单调性，即求得极值；
（2）先写定义域，求导以及的根，再讨论根是否在定义域内和两个根的大小关系，确定导数的正负情况，即得函数的单调性.
【详解】
解：（1）当时，，定义域为，
．
令，解得，或．
当变化时，，的变化情况如下表：
＋ － ＋
单调递增 单调递减 单调递增
当时，有极大值，且极大值为；
当时，有极小值，且极小值为．
（2）函数定义域为，．
令得或．
①若，则当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
②若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增.
③若，即，则当时，，单调递增，
④若，即，则当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；
当时，的单调递增区间是，，递减区间是；
当时，的单调递增区间是，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间是，，单调递减区间是．
19．（1）极小值为，极大值为；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求导后，根据的正负可确定单调性，由此确定极值点，代入函数解析式可得极值；
（2）将问题转化为在上的最小值小于零，利用导数可求得的正负，通过讨论是否在区间上，可得的单调性，由此确定最小值，根据最小值小于零可求得结果.
【详解】
（1）函数，定义域为，
，
当时，令，解得：或，
当时，；当时，；
在，上单调递增，在上单调递减；
函数的极小值为，函数的极大值为.
（2）令，
在上存在一点，使得成立，即在上存在一点，使得，即函数在上的最小值小于零.
由得：，
，，又，，
当时，；当时，，
①当，即时，在上单调递减，在上单调递增，
，
，，
，此时不成立，
②当，即时，在上单调递减，；
由可得：，
，；
综上所述：实数的取值范围为.
【点睛】
关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、能成立问题的求解；本题中能成立问题的解题关键是能够将问题转化为函数最值的求解问题，通过讨论导函数的零点是否在所给区间内，得到函数的单调性，进而确定最值.
20．（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】
【分析】
(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；
(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；
（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.
【详解】
(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.
从而可得，
整理可得：，
令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则
. ①
令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.
【点睛】
导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．
(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．
(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．
(4)考查数形结合思想的应用．
21．（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】
(1) 首先确定函数的定义域，然后求得导函数的解析式，由导函数的符号即可确定原函数的单调性.
(2)方法二：将题中的等式进行恒等变换，令，命题转换为证明：，然后构造对称差函数，结合函数零点的特征和函数的单调性即可证得题中的结论.
【详解】
(1)的定义域为．
由得，，
当时，；当时；当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)[方法一]：等价转化
由得，即．
由，得．
由（1）不妨设，则，从而，得，
①令，
则，
当时，，在区间内为减函数，，
从而，所以，
由（1）得即．①
令，则，
当时，，在区间内为增函数，，
从而，所以．
又由，可得，
所以．②
由①②得．
[方法二]【最优解】：变形为，所以．
令．则上式变为，
于是命题转换为证明：．
令，则有，不妨设．
由（1）知，先证．
要证：
．
令，
则，
在区间内单调递增，所以，即．
再证．
因为，所以．
令，
所以，故在区间内单调递增．
所以．故，即．
综合可知．
[方法三]：比值代换
证明同证法2．以下证明．
不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，
即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
[方法四]：构造函数法
由已知得，令，
不妨设，所以．
由（Ⅰ）知，，只需证．
证明同证法2．
再证明．令．
令，则．
所以，在区间内单调递增．
因为，所以，即
又因为，所以，
即．
因为，所以，即．
综上，有结论得证．
【整体点评】
(2)方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
22．（1）；（2）证明见详解
【解析】
【分析】
（1）由题意求出，由极值点处导数为0即可求解出参数；
（2）由（1）得，且，分类讨论和，可等价转化为要证，即证在和上恒成立，结合导数和换元法即可求解
【详解】
（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
【整体点评】
（2）方法一利用不等式的性质分类转化分式不等式：当时，转化为证明，当时，转化为证明，然后构造函数，利用导数研究单调性，进而证得；方法二利用不等式的性质分类讨论分别转化为整式不等式：当时，成立和当时，成立，然后换元构造，利用导数研究单调性进而证得，通性通法，运算简洁，为最优解；方法三先构造函数，利用导数分析单调性，证得常见常用结论（当且仅当时取等号）．然后换元得到，分类讨论，利用不等式的基本性质证得要证得不等式，有一定的巧合性.
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