2.1命题、定理、定 义教案

第二章　常用逻辑用语
第2．1节　命题、定理、定义
本节内容选自苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一册第二章第一节的内容。笛卡尔曾经说过：“要想获得真理和知识，唯有两件武器，那就是清晰的直觉和严格的演绎”．直觉让我们有了研究的方向，直觉准不准确，还需要严格的推理证明。在此过程中就需要我们来判断真假，有些已经被证明了的真命题可以作为推理的依据。本节教材主要让我们认识命题、定理、定义，尤其是要会判断命题的真假。
课程目标 学科素养
1.理解命题、定理、定义的概念. 2.会判断命题的真假. 3.能把命题改写成“若p，则q”的形式． 1.数学抽象：命题、定理、定义概念的理解； 2.逻辑推理：命题真假的判断； 3.数学运算：和平面几何、方程、集合、简单不等式有关的计算；
1.教学重点：能把命题改写成“若p，则q”的形式．
2.教学难点：会判断命题的真假．
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引入：下列语句有什么共同特征？
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②3＋6＝7；
③5能被4整除．
答案　(1)都是陈述句；(2)都能够判断真假．
梳理　(1)命题定义：在数学中，我们将可以判断真假的陈述句叫作命题．
(2)分类：
特别提醒：(1)判断一个语句是否为命题的两个要素：
①是陈述句，表达形式可以是符号、表达式或语言；
②可以判断真假．
(2)真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．
命题的形式
命题的一般形式为“若p，则q”，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论．
典例剖析
题型一　命题的概念
例1　下列语句：
(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图象太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．
其中是命题的是________．(填序号)
答案　(1)(3)(5)(8)
解析　本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，不是陈述句；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．
反思与感悟　判断一个语句是否是命题的三个关键点
(1)一般来说，陈述句才是命题，祈使句、疑问句、感叹句等都不是命题．
(2)语句表述的结构可以判断真假，含义模糊不清，无法判断真假的语句不是命题．
(3)对于含有变量的语句，要注意根据变量的取值范围，看能否判断真假，若能，就是命题；否则就不是命题．
跟踪训练1　下列语句：
①3>2；②作射线AB；③sin 30°＝；④x2－1＝0有一个根是－1；⑤x<1.
其中是命题的是(　　)
A．①②③ B．①③④
C．③ D．②⑤
答案　B
解析　②是祈使句，故不是命题，⑤无法判断真假，故不是命题．
题型二　命题的结构形式
例2　将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．
(1)6是12和18的公约数；
(2)当a>－1时，方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根；
(3)平行四边形的对角线互相平分；
(4)已知x，y为非零自然数，当y－x＝2时，y＝4，x＝2.
解　(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．
(2)若a>－1，则方程ax2＋2x－1＝0有两个不等实根，是假命题．
(3)若一个四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分，是真命题．
(4)已知x，y是非零自然数，若y－x＝2，则y＝4，x＝2，是假命题．
反思与感悟　把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐晦，则要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式不唯一．
跟踪训练2　已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p，则q”的形式，则p是_____________________________________________________，
q是________________________________________________________________________．
答案　一条直线是弦的垂直平分线　这条直线经过圆心且平分弦所对的弧
解析　已知中的命题改为“若p，则q”的形式为“若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心且平分弦所对的弧”，
p：一条直线是弦的垂直平分线；
q：这条直线经过圆心且平分弦所对的弧.
题型三　命题的真假判断
例3　给定下列命题：
①若xy＝0，则|x|＋|y|＝0；②若a>b，则a＋c>b＋c；③矩形的对角线互相垂直．④命题“若a，b是无理数，则a＋b是无理数”是真命题；
其中真命题共有(　　)
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
答案　B
解析　①由xy＝0得到x＝0或y＝0，所以|x|＋|y|＝0不一定成立，是假命题；②当a>b时，有a＋c>b＋c成立，正确，所以是真命题；③矩形的对角线不一定互相垂直，不正确，是假命题．
反思与感悟　一个命题要么为真命题，要么为假命题，且必居其一．欲判断一个命题为真命题，需进行论证，而要判断一个命题为假命题，只需举出一个反例即可．
变式：若“方程ax2－3x＋2＝0有两个不相等的实数根”是真命题，则a的取值范围是_________．
答案　a<且a≠0
解析　由题意知
解得a<且a≠0.
跟踪训练3．（1）下列命题为真命题的是(　　)
A．若＝，则x＝y B．若x2＝1，则x＝1
C．若x＝y，则＝ D．若x答案　A
解析　A正确；B中，由x2＝1，得x＝±1，所以B是假命题；C中，当x＝y<0时，结论不成立，所以C是假命题；D中，当x＝－1，y＝1时，结论不成立，所以D是假命题．故选A.
（2）已知不等式x＋3≥0的解集是A，若a∈A是假命题，则a的取值范围是(　　)
A．a≥－3 B．a>－3
C．a≤－3 D．a<－3
答案　D
解析　∵x＋3≥0，∴A＝{x|x≥－3}，
又∵a∈A是假命题，即a A，
∴a<－3.
对于一个句子，有时我们可能无法判断它的真假，但这个句子本身确实有真假，如“太阳系外有外星人”，对于这个句子所描述的情形，目前人们尚无法确定其真假,但从事物的本质而论,句子本身是可分辨真假的，这类语句也称为命题。语句是不是命题，关键在于能不能判断其真假,也就是判断其是否成立。