6.2.1 指数函数概念与图象 教案

第六章　幂函数、指数函数、对数函数
第6.2.1节　指数函数概念与图象
指数函数是高中新引进的第一个基本初等函数，因此，教科书先给出了指数函数的实际背景，然后对指数函数概念的建立、指数函数图象的绘制、指数函数的基本性质的发现与指数函数的初步应用，作了完整的介绍．指数函数是本章的重点内容之一．
在学习过程中，要通过对具体数式的分析，使学生了解并掌握指数函数的概念、图象和性质；知道指数函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型．
课程目标 学科素养
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. 2.掌握指数函数图象的性质. 3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域． a数学抽象: 理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性. b逻辑推理: 指数函数图象的性质的应用 c数学运算: 求复合函数的定义域、值域 d直观想象: 掌握指数函数图象的性质.
1.教学重点：掌握指数函数图象的性质.
2.教学难点：会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．
1．以下结论正确的是(　　)
A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线
B．幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点
C．若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大
D．幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限
答案　D
2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为(　　)
A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3
答案　A
3．若a<0，则0.5a,5a,5－a的大小关系是(　　)
A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－a
C．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a
答案　B
解析　5－a＝a，因为a<0时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递减，且<0.5<5，所以5a<0.5a<5－a.
4．先分析函数的性质，再画出其图象．
解　＝，定义域为R，在[0，＋∞)上是上凸的增函数，且是偶函数，故其图象如下：
知识点一　指数函数
思考　细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？这个函数式与y＝x2有什么不同？
答案　y＝2x.它的底为常数，自变量为指数，而y＝x2恰好反过来．
梳理　一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
特别提醒：(1)规定y＝ax中a>0，且a≠1的理由：
①当a≤0时，ax可能无意义；②当a>0时，x可以取任何实数；③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值．因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
(2)要注意指数函数的解析式：①底数是大于0且不等于1的常数．②指数函数的自变量必须位于指数的位置上．③ax的系数必须为1.④指数函数等号右边不能是多项式，如y＝2x＋1不是指数函数．
知识点二　指数函数的图象和性质
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质如下表：
a>1 0图象
定义域 R
值域 (0，＋∞)
性质 过定点 过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，00时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
类型一　求指数函数的解析式
例1　已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．
解　设f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，将点(3，π)代入，
得到f(3)＝π，
即a3＝π，解得a＝，于是f(x)＝.
点评：　(1)根据指数函数的定义，a是一个常数，ax的系数为1，且a>0，a≠1，凡是不符合这个要求的都不是指数函数．
(2)要求指数函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)的解析式，只需要求出a的值，要求a的值，只需一个已知条件即可．
类型二　求指数函数与其他函数复合所得函数的定义域、值域
例2　求下列函数的定义域、值域．
(1)y＝；(2)y＝4x－2x＋1.
解　(1)函数的定义域为R(∵对一切x∈R,3x≠－1)．
∵y＝＝1－，
又∵3x>0,1＋3x>1，
∴0<<1，∴－1<－<0，
∴0<1－<1，∴值域为(0,1)．
(2)函数的定义域为R，
y＝(2x)2－2x＋1＝2＋，
∵2x>0，∴2x＝，即x＝－1时，y取最小值，
同时y可以取一切大于的实数，
∴值域为.
点评：　解决此类题可采用换元法，利用二次函数与指数函数的性质求解．
变式训练　求下列函数的定义域与值域．
(1)y＝；
(2)y＝(a>0，且a≠1)．
解　(1)∵1－x≥0，∴x≤1，解得x≥0，
∴原函数的定义域为[0，＋∞)．
令t＝1－x (x≥0)，则0≤t<1，∴0≤<1，
∴原函数的值域为[0,1)．
(2)原函数的定义域为R.
方法一　设ax＝t，则t∈(0，＋∞)，
y＝＝＝1－.
∵t>0，∴t＋1>1，
∴0<<1，∴－2<<0，
∴－1<1－<1.
即原函数的值域为(－1,1)．
方法二　由y＝(a>0，且a≠1)，得ax＝－.
∵ax>0，∴－>0，∴－1∴原函数的值域是(－1,1)．
解　(3)由x－1≠0得x≠1，
所以函数定义域为{x|x≠1}．
由≠0得y≠1，
所以函数值域为{y|y>0且y≠1}．
(4)由5x－1≥0得x≥，
所以函数定义域为.
由≥0得y≥1，
所以函数值域为{y|y≥1}．
类型三　指数函数图象的应用
命题角度1　指数函数整体图象
例4　在如图所示的图象中，二次函数y＝ax2＋bx＋c与函数y＝x的图象可能是(　　)
答案　A
解析　根据图中二次函数图象可知c＝0，
∴二次函数y＝ax2＋bx，∵>0，
∴二次函数的对称轴为x＝－<0，
排除B，D.
对于A，C，都有0<<1，∴－<－<0，C不符合．
故选A.
点评：　函数y＝ax的图象主要取决于01.但前提是a>0且a≠1.
跟踪训练4　已知函数f(x)＝4＋ax＋1的图象经过定点P，则点P的坐标是(　　)
A．(－1,5) B．(－1,4) C．(0,4) D．(4,0)
答案　A
解析　当x＋1＝0，即x＝－1时，ax＋1＝a0＝1，为常数，
此时f(x)＝4＋1＝5.即点P的坐标为(－1,5)．
命题角度2　指数函数局部图象
例5　若直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，求实数a的取值范围．
解　y＝|2x－1|＝
图象如下：
由图可知，要使直线y＝2a与函数y＝|2x－1|的图象有两个公共点，需0<2a<1，即0点评：　指数函数是一种基本函数，与其他函数一道可以衍生出很多函数，本例就体现了指数函数图象的“原料”作用．
跟踪训练5　函数y＝a|x|(a>1)的图象是(　　)
答案　B
解析　函数y＝a|x|是偶函数，当x>0时，y＝ax.由已知a>1，故选B.
指数函数是形式化的定义，不要过分强调这种形式化，要求学生判断一些函数是不是某类函数，如“y＝22x是不是指数函数”等，其实，一个函数是不是指数函数，与底数是有关系的，如“y＝22x不是以2为底的指数函数，但它是以4为底的指数函数”．