数学高中北师大版必修四第二章《平面向量》课件
文档属性
| 名称 | 数学高中北师大版必修四第二章《平面向量》课件 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 306.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2013-04-10 20:46:05 | ||
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文档简介
课件70张PPT。平面向量的实际背景及基本概念思考:下列哪些是向量？哪些不是向量？(1)时间；(2)路程；(3)速度；(4)功；(5)加速度；(6)速率；(7)重力；(8)浮力。知识点一 向量的有关概念1.向量：既有大小又有方向的量，向量包括两个要素：
大小、方向。
2.数量：只有大小、没有方向的量
3.有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向。具有方向的线段叫做有向线段。有向线段的三个要素：起点、方向、长度A（起点）B（终点）1、向量的几何表示：用有向线段表示。知识点二 向量的表示知识点三 向量的长（或模）1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 2.向量的模是一个正实数。（ ）注:向量不能比较大小 平行向量又叫做共线向量知识点四 共线向量与相等向量11个习题讲解 1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
?
①向量 与 是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不相等；
?
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。2.下面几个命题： C A．0 B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是( )
习题讲解
平面向量的线性运算知识点一 向量的加法BAo.O.AB
三角形法则平行四边形法则两个向量“首尾”相接始点相同知识点二 向量加法的运算律⑴. 对于零向量和任一向量 ，有⑵对于相反向量，有⑶加法交换律⑷加法结合律OABC向量加法的平行四边形法则 OABC知识点三 相反向量1.定义
与向量 方向相反长度相等的向量叫做a的相反向量，记作 。
2.性质
（1）
（2）若 互为相反向量，则
（3）零向量的相反向量仍是零向量。知识点四 向量的减法o.BAo.BA ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。知识点五 向量加减法的三角形性质知识点六 向量的数乘实数 与向量 的积是个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 。当 ＞0时， 与 的方向相同；
当 ＜0时， 与 的方向相反；
当 =0时， =0知识点七 向量数乘的运算律结合律第一分配律第二分配律a∥ba=λb （λ∈R且b≠0）向量表示：知识点八 向量共线定理向量b与非零向量a共线的充分必要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa .1、填空题：90°2、判断题：
（1）相反向量就是方向相反的向量
（2）
（3）
（4） 在△ABC中，必有
（5）若 ，
则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。（ 错 ）（对 ）（错）（错）（对 ） 例1:根据条件判断下列四边形的形状平行四边形ABCD梯形ABCD 例2、 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用
. 分析: 解题的关键是建立
的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。 解：因为A是BC的中点，所以 例3、如图，设?ABCD一边AB的四等分点中最靠近B的一点为E，对角线BD的五等分点中靠近B的一点为F，求证：E、F、C三点在一条直线上．图1跟踪训练：1、有一边长为１的正方形ABCD，设 求： 2、已知A、B、C是不共线的三点，O是
△ABC内的一点，若 = 0，
则O 是△ABC的——————
（填内心、重心、垂心、外心等）.1.外心:三角形三条垂直平分线的交点2.内心:三角形三条角平分线的交点3.垂心:三角形三条高线的交点4. 重心:三角形三条中线的交点课下作业：C.A.B.2.设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).D.1.下列四个说法正确的个数有( ).B.2个A.1个C.3个D.4个????BC5D4.已知 表示向东走5 km， 表示向北走 5km，则 表示______________________ 向北偏东60?方向走10km5.在矩形ABCD中， ， 。则向量 的长度等于 ( )A7.如图D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式正确的是 ( )A.B.C.D. DABCDEF8. ， ， 为非零向量，且 平分 与 的夹角，则……………………( )B 平面向量的基本定理及坐标表示 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝__________.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______．
一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1＋λ2e2的形式，称为向量的分解。不共线有且只有基底λ1e1＋λ2e2知识点一 平面向量基本定理知识点二 两向量的夹角把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把
向量正交分解。在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标．(x，y)(x，y)xy知识点三 平面向量的坐标表示(2)两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即(3)以坐标原点O为起点的向量坐标就是该向量的终点坐标，
如设 ，则向量 的坐标就是点A的坐标 ，
反之亦然。(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (x2－x1，y2－y1) x1y2－x2y1＝0 答案： D 答案： B 答案： A
答案： ①答案： 2n－m 答案： －1 答案： C答案： D 平面向量的数量积知识点一 平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量
叫做a与b的数量积（或内积），记作 .
规定：零向量与任一向量的数量积为 .
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两非零向量a与b平行的充要条件是 .|a|·|b|cos θa·b=|a||b|·cos θ0a·b=0a·b=±|a||b|知识点二 平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影
的乘积.
知识点三 平面向量数量积的性质
（1）e·a=a·e= ；
（2）非零向量a，b，a⊥b? ；
（3）当a与b同向时，a·b= ；
当a与b反向时，a·b= ,
a·a= =______，|a|= ;
（4）cos θ= ；
（5）|a·b| |a||b|. |b|cosθ|a|cos θa·b=0|a||b|-|a||b|a2≤ （1）a·b= （交换律）；
（2）（ a）·b= = （ 为实数）；
（3）（a±b）·c= =__________.
（4）(a+b)·(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2a·b+b2
=b·a（a·b）a· ba·c±b·c知识点四 平面向量数量积的运算律c·(a±b)知识点五 平面向量数量积的坐标表示
设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a·b= ，由此得到
（1）若a=（x，y）,则|a|2= 或|a| .
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|= .
（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），
则a⊥b? .
a∥b _____________________.x1x2+y1y2x2+y2x1x2+y1y2=0x1y2-x2y1=0知识点六 两向量夹角的余弦公式设a、b是非零向量，a=（x1,y1），b=(x2,y2)，θ是a与b的夹角，则有2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于 （ ）
A. B. C. D.
练习1
1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ）
A. B. C. D.
4．如图，在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，下列向量的数量积中最大的是（ ）
例1、已知向量a=(cos x,sin x),
b=(cos ,-sin )，且x∈[ ].
(1)求a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.
题型一 平面向量的数量积（1）已知O是△ABC内部一点， =0，
且∠BAC=30°，则△AOB的面积为
A.2 B.1 C. D.
（2）已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2，则向量a与b的夹角是
A. B. C. D.题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题
例2、已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=
（1）求证：a⊥b；
（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b,
y=-ka+tb，满足x⊥y，试求此时 的最小值.
已知平面向量a=（- , ）,b=(- , -1).
(1)证明：a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2- 2)b,
y=-ka+t2b,且x⊥y，试把k表示为t的函数.
题型三 向量的夹角及向量模的问题
例3、已知|a|=1，a·b= ，（a-b）·（a+b）= ，
求：（1）a与b的夹角；
（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.
2、已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a+b|;②|4a-2b|;
(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)？
1.已知点A（1,0）,B（0,1）,C（2sinθ，cosθ）.
（1）若| |=| |，求tanθ的值；
（2）若（ ）· =1，其中O为坐标原点，求sin 2θ的值.
2.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、
b、c，且2sin2 +cos 2C=1.
（1）求角C的大小；
（2）若向量m=(3a,-b),向量n=（a,- ），m⊥n，（m+n）·(-m+n)=-16.求a、b、c的值.
大小、方向。
2.数量：只有大小、没有方向的量
3.有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们就说线段AB具有方向。具有方向的线段叫做有向线段。有向线段的三个要素：起点、方向、长度A（起点）B（终点）1、向量的几何表示：用有向线段表示。知识点二 向量的表示知识点三 向量的长（或模）1.温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ） 2.向量的模是一个正实数。（ ）注:向量不能比较大小 平行向量又叫做共线向量知识点四 共线向量与相等向量11个习题讲解 1.判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
?
①向量 与 是共线向量，则A、B、C、D 四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量(长度相同,方向相反的向量)不相等；
?
④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。2.下面几个命题： C A．0 B. 1 C. 2 D. 3 其中正确的个数是( )
习题讲解
平面向量的线性运算知识点一 向量的加法BAo.O.AB
三角形法则平行四边形法则两个向量“首尾”相接始点相同知识点二 向量加法的运算律⑴. 对于零向量和任一向量 ，有⑵对于相反向量，有⑶加法交换律⑷加法结合律OABC向量加法的平行四边形法则 OABC知识点三 相反向量1.定义
与向量 方向相反长度相等的向量叫做a的相反向量，记作 。
2.性质
（1）
（2）若 互为相反向量，则
（3）零向量的相反向量仍是零向量。知识点四 向量的减法o.BAo.BA ，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量。知识点五 向量加减法的三角形性质知识点六 向量的数乘实数 与向量 的积是个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作 。当 ＞0时， 与 的方向相同；
当 ＜0时， 与 的方向相反；
当 =0时， =0知识点七 向量数乘的运算律结合律第一分配律第二分配律a∥ba=λb （λ∈R且b≠0）向量表示：知识点八 向量共线定理向量b与非零向量a共线的充分必要条件是有且只有一个实数λ，使得b=λa .1、填空题：90°2、判断题：
（1）相反向量就是方向相反的向量
（2）
（3）
（4） 在△ABC中，必有
（5）若 ，
则A、B、C三点必是一个三角形的三个顶点。（ 错 ）（对 ）（错）（错）（对 ） 例1:根据条件判断下列四边形的形状平行四边形ABCD梯形ABCD 例2、 如图，在 中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取
点D,使BD= OB.DC与OA交于E,设 请用
. 分析: 解题的关键是建立
的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。 解：因为A是BC的中点，所以 例3、如图，设?ABCD一边AB的四等分点中最靠近B的一点为E，对角线BD的五等分点中靠近B的一点为F，求证：E、F、C三点在一条直线上．图1跟踪训练：1、有一边长为１的正方形ABCD，设 求： 2、已知A、B、C是不共线的三点，O是
△ABC内的一点，若 = 0，
则O 是△ABC的——————
（填内心、重心、垂心、外心等）.1.外心:三角形三条垂直平分线的交点2.内心:三角形三条角平分线的交点3.垂心:三角形三条高线的交点4. 重心:三角形三条中线的交点课下作业：C.A.B.2.设 是非零向量, 是非零实数,下列结论正确的是( ).D.1.下列四个说法正确的个数有( ).B.2个A.1个C.3个D.4个????BC5D4.已知 表示向东走5 km， 表示向北走 5km，则 表示______________________ 向北偏东60?方向走10km5.在矩形ABCD中， ， 。则向量 的长度等于 ( )A7.如图D、E、F分别为△ABC的边AB、BC、CA的中点，则下列等式正确的是 ( )A.B.C.D. DABCDEF8. ， ， 为非零向量，且 平分 与 的夹角，则……………………( )B 平面向量的基本定理及坐标表示 定理：如果e1，e2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任意向量a， 一对实数λ1，λ2，使a＝__________.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组______．
一个平面向量用一组基底e1,e2表示成a=λ1e1＋λ2e2的形式，称为向量的分解。不共线有且只有基底λ1e1＋λ2e2知识点一 平面向量基本定理知识点二 两向量的夹角把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把
向量正交分解。在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj，把有序数对 叫做向量a的坐标，记作a＝ ，其中 叫做a在x轴上的坐标， 叫做a在y轴上的坐标．(x，y)(x，y)xy知识点三 平面向量的坐标表示(2)两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即(3)以坐标原点O为起点的向量坐标就是该向量的终点坐标，
如设 ，则向量 的坐标就是点A的坐标 ，
反之亦然。(x1＋x2，y1＋y2) (x1－x2，y1－y2) (x2－x1，y2－y1) x1y2－x2y1＝0 答案： D 答案： B 答案： A
答案： ①答案： 2n－m 答案： －1 答案： C答案： D 平面向量的数量积知识点一 平面向量的数量积
已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，则数量
叫做a与b的数量积（或内积），记作 .
规定：零向量与任一向量的数量积为 .
两个非零向量a与b垂直的充要条件是 ，两非零向量a与b平行的充要条件是 .|a|·|b|cos θa·b=|a||b|·cos θ0a·b=0a·b=±|a||b|知识点二 平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a方向上的投影
的乘积.
知识点三 平面向量数量积的性质
（1）e·a=a·e= ；
（2）非零向量a，b，a⊥b? ；
（3）当a与b同向时，a·b= ；
当a与b反向时，a·b= ,
a·a= =______，|a|= ;
（4）cos θ= ；
（5）|a·b| |a||b|. |b|cosθ|a|cos θa·b=0|a||b|-|a||b|a2≤ （1）a·b= （交换律）；
（2）（ a）·b= = （ 为实数）；
（3）（a±b）·c= =__________.
（4）(a+b)·(a-b)=a2-b2;(a±b)2=a2±2a·b+b2
=b·a（a·b）a· ba·c±b·c知识点四 平面向量数量积的运算律c·(a±b)知识点五 平面向量数量积的坐标表示
设向量a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a·b= ，由此得到
（1）若a=（x，y）,则|a|2= 或|a| .
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离|AB|=|AB|= .
（3）设a=（x1，y1），b=（x2，y2），
则a⊥b? .
a∥b _____________________.x1x2+y1y2x2+y2x1x2+y1y2=0x1y2-x2y1=0知识点六 两向量夹角的余弦公式设a、b是非零向量，a=（x1,y1），b=(x2,y2)，θ是a与b的夹角，则有2.若|a|=2cos 15°，|b|=4sin 15°，a，b的夹角为30°，则a·b等于 （ ）
A. B. C. D.
练习1
1.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b上的投影为（ ）
A. B. C. D.
4．如图，在边长为 1 的正六边形 ABCDEF 中，下列向量的数量积中最大的是（ ）
例1、已知向量a=(cos x,sin x),
b=(cos ,-sin )，且x∈[ ].
(1)求a·b及|a+b|;
(2)若f(x)=a·b-|a+b|，求f(x)的最大值和最小值.
题型一 平面向量的数量积（1）已知O是△ABC内部一点， =0，
且∠BAC=30°，则△AOB的面积为
A.2 B.1 C. D.
（2）已知|a|=1,|b|=6,a·(b-a)=2，则向量a与b的夹角是
A. B. C. D.题型二 利用平面向量的数量积解决垂直问题
例2、已知向量a=(cos(-θ),sin(-θ)),b=
（1）求证：a⊥b；
（2）若存在不等于0的实数k和t，使x=a+(t2+3)b,
y=-ka+tb，满足x⊥y，试求此时 的最小值.
已知平面向量a=（- , ）,b=(- , -1).
(1)证明：a⊥b;
(2)若存在不同时为零的实数k、t,使x=a+(t2- 2)b,
y=-ka+t2b,且x⊥y，试把k表示为t的函数.
题型三 向量的夹角及向量模的问题
例3、已知|a|=1，a·b= ，（a-b）·（a+b）= ，
求：（1）a与b的夹角；
（2）a-b与a+b的夹角的余弦值.
2、已知|a|=4,|b|=8,a与b的夹角是120°.
(1)计算：①|a+b|;②|4a-2b|;
(2)当k为何值时，(a+2b)⊥(ka-b)？
1.已知点A（1,0）,B（0,1）,C（2sinθ，cosθ）.
（1）若| |=| |，求tanθ的值；
（2）若（ ）· =1，其中O为坐标原点，求sin 2θ的值.
2.在三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、
b、c，且2sin2 +cos 2C=1.
（1）求角C的大小；
（2）若向量m=(3a,-b),向量n=（a,- ），m⊥n，（m+n）·(-m+n)=-16.求a、b、c的值.