广西桂林中学2012-2013学年高二3月月考数学理试题

桂林中学高二月考数学试题
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.下列命题正确的是 （ ）
A.空间任意三点确定一个平面 B，空间任意一条直线和一个点确定一个平面
C．与两条平行线都相交的三条直线确定一个平面 D. 球面上任意两个点和球心确定一个平面
2．一条直线与一个平面所成的角等于 ，另一直线与这个平面所成的角是 ， 则这两条直线的位置关系 （ ）
A．必定相交 B．必定平行 C．必定异面 D．不可能平行
3．下列说法正确的是 （ ）
A．直线a平行于平面M，则a平行于M内的任意一条直线
B．直线a与平面M相交，则a不平行于M内的任意一条直线
C．直线a不垂直于平面M，则a不垂直于M内的任何一条直线
D．直线a不垂直于平面M，则过a的平面不垂直于M
4．设P是平面α外一点，且P到平面α内的四边形的四条边的距离都相等，则四边形是 （ ）
A．梯形 B．圆外切四边形 C．圆内接四边形 D．任意四边形
6．正棱锥的高缩小为原来的，底面外接圆半径扩大为原来的3倍，则它的体积是原来体积的
A. B. C. D.
7．设、b、c是空间三条直线，α、β是空间两个平面，则下列命题中，逆命题不成立的是
A．当c⊥α时，若c⊥β，则α∥β B．当b ?α时，若b⊥β，则α⊥β (　 )
C．当b ?α，且c是在α内的射影时，若b⊥c，则⊥b
D．当b ?α，且c ?α时，若c ∥α，则b∥c
8．等体积的球与正方体，它们的表面积的大小关系是 (　 )
A．S球>S正方体 　　B．S球＝S正方体 C．S球9.现有一块边长为2的正方形铁皮，其中E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED，EC向上折起，使A、B重合于点P，做成一个垃圾铲，则它的体积为 （ ）
10．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 ( ）
A. B. C. D.
11．已知球O的内接正四面体ABCD的棱长为 ， 则B、C两点的球面距离是
A． B． C． D． （ ）
12．已知一个三棱锥P－ABC的高PO＝8，AC＝BC＝3，∠ACB＝30°，M、N分别在BC和PO上，且CM ＝，PN ＝2CM，则下面四个图象中大致描绘了三棱锥N－AMC的体积V与的变化关系((0,3])的是 ( 　)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13已知一个直四棱柱的底面是一个边长分别为1和2的矩形，它的一条对角线的长为3，则这个直四棱柱的全面积为 .
14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 .
15．如图2，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足 时，平面MBD平面PCD．
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离是的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知直四棱柱 中，,底面ABCD是直角梯形，A是直角，
（1）求到的距离；（2）求异面直线与所成角的余弦值。
18．（本小题满分12且分)如图，已知，是平面的两条斜线，且点在内的射影为O，若斜线、与平面所成角相等.
（1）求证：；(2) 若平面与平面所成角为60O,
且求异面直线与的距离。
19．（本小题满分12分)如图，已知三棱锥 为的中点，且△为正三角形．
(1)求证：⊥平面；
(2)求三棱锥的体积．
20．(本小题满分12分)如图1所示，在边长为12的正方形中，，且分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱.
(1)求证：；
(2)求与平面所成角的大小.
21．(本小题满分12分) 如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，底面,为的中点，为的中点。
（1）证明：直线平面
（2）求点到平面的距离。
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22．（本小题满分12分）在如图的空间几何体中，正方形所在平面垂直于平面，二面角都是450，且。
(1)求证：平面⊥平面；
(2)设平面平面请在图中作出直线并说明直线的位置特点；
(3)求三棱锥的体积及其外接球的表面积．
2013年桂林中学高二3月月考答题卡(理科数学)
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求，请把答案填在答题卡里。

题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共20分．请把答案填在横线上．
13.已知一个直四棱柱的底面是一个边长分别为1和2的矩形，它的一条对角线的长为3，则这个直四棱柱的全面积为 .
14．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为 .
15．如图2，在四棱锥P－ABCD中，PA底面ABCD，底面各边都相等，M是PC上的一个动点，当点M满足 时，平面MBD平面PCD．
16．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体的表面上与点A距离是的点的集合形成一条曲线，这条曲线的长度是 .
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程,演算步骤)
17．(本小题满分10分) 已知直四棱柱 中，,底面ABCD是直角梯形，A是直角，（1）求到的距离；（2）求异面直线与所成角的余弦值。
解：（1）是直四棱柱，∴面
过作交于则,据已知，由三垂线定理得：于是就是到直线的距离…………………… 4/
在中，…………………
（2）∵,∴就是与所成的角…
在中，
∴…………………
答：略………………………………………（注：）用向量法求解请自行赋分）
18．（本小题满分12)如图，已知，是平面的两条斜线，且点在内的射影为O ，若斜线、与平面所成角相等.（1）求证：；(2)若平面与平面所成角为60O,且求异面直线与的距离。21世纪教育网
证明：（1）面,∴且是
与平面所成的角，,又∴
于是得：………………………………………
（2）∵且面，∴
取的中点为,则 ∴是
面与所成二面角的平面角，于是得……
面，面,得又,
且∴是异面直线与的公垂线段 ……
在中，
又∴………………………………
故知异面直线与的距离为2. （用向量法求解请自行赋分）
19．（本小题满分12分)如图，已知三棱锥 为的中点，且△为正三角形．(1)求证：⊥平面； (2)求三棱锥的体积． 21世纪教育网
证明：（1）∵是△，是的中点，∴
且有：∴于是……
由
………
（2）由（1）得面,已知,
据三垂线逆定理得： …………………………
在中，
在中，…………………
∵是中点，∴到面的距离,
∴……………
故三棱锥的体积为（立方单位）……………
20．（本小题满分12分）如图1所示，在边长为12的正方形中，，且分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图2所示的三棱柱.
(1) 求证：；(2) 求与平面所成角的大小.
证明：(1)对折后，仍有且∴面
三棱柱为直三棱柱面∴…………………
由得： ………………………………………
∵ ∴ 面而面 …
(2)由（1）知，面且∴面
又面面
过作于,得………
连,则就是斜线与平面所成角
………………………………………………………………
在中，
∴………
故知与平面所成角…… （ 用向量法求解请自行赋分）

21．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为1的菱形，底面,为的中点，为的中点。
（1）证明：直线平面 (2) 求点到平面的距离。
证明：（1）设是的中点，∵是的中点，是中点，∴,且,∴四边形是平行四边形，∴………………………
又∵面面∴平面 ……
(2)设到面的距离为,则是三棱锥的高，
∵底面,∴…………
在与和中,
可得：…………
又在中，，∴……
由 即得
故点到平面的距离为…………………………………………………………
(注：直接过或过作出到面的垂线段再求解或者用向量法求解请自行赋分)
22．（本小题满分12分）在如图的空间几何体中，正方形所在平面垂直于平面，二面角都是450，且点
(1)求证：平面⊥平面；(2)设平面平面请在图中作出直线并说明直线的位置特点；(3)求三棱锥的体积及其外接球的表面积．
证明：(1)∵,且交线为,又四边形是矩形，∴∵∴于是，是二面角的平面角，同理可得是二面角的平面角，
∴,即得
又∵∴
且
∵ ∴平面⊥平面…………
(2)由（1）知平面⊥平面，且是两面的公共点，
∵平面平面∴
又∵∴于是得
即直线…………………………
（或面或面）
(3)∵,∴ ,又, 则：
∴的体积为 …………………………………
据（1），∴,
设中点为,则有： 21世纪教育网
∴三棱锥外接球的半径,
即三棱锥外接球的表面积为 ………………