广西桂林中学2012-2013学年高二3月月考数学文试题

桂林中学2012-2013学年度下学期三月月考考试
高二文科数学试题
时间 120分钟, 满分150分
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,满分150分,考试时间120分钟.
第Ⅰ卷(选择题, 共60分)
一 、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，满分60分）
1.交于一点的三条直线可以确定平面的个数是 （ ）
A.三个 B.两个 C.一个或两个 D.一个或三个
2．异面直线a,b分别在平面α、β内,α∩β=l ,则l与a、b的位置关系是 ( )
A. 与a,b均相交 B. 至少与a,b中一条相交
C.与a,b均不相交 D. 至多与a,b中一条相交
3. 设m，n表示不同的直线，表示不同的平面，且。则“”是“”的 （ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4. 设是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题
①； ②；21世纪教育网
③； ④；
其中正确的命题是（ ）
Ａ．①④；　　　 Ｂ．②③；　　　　 Ｃ．①③；　　　　　Ｄ．②④；
5. 过三棱锥高的中点与底面平行的平面把这个三棱锥分为两部分，则这上、下两部分体积之比为 ( 　)
A.1∶7 B.1∶4 C.2∶3 D.1∶8
6.在北纬的纬度圈上有A,B两地,A在东经,B在东经,设地球半径为R,则A,B两地的球面距离是 ( )
A. B. 　　 C. D.
7. 各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积是( )
A． B． C． D．
8. 二面角为，A,B是棱上的两点，AC,BD分别在半平面内，且，则的长为（ ）
A． 　 B．　　 C．　　 D．
9.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M为DD1中点，O为底面ABCD的中心，P为棱A1B1上任意一点，则直线OP与直线AM所成的角是(　　)
A.　 B　. 　 C. 　 　D.　 
10.在斜三棱柱ABC—中，∠BAC=90°，B⊥AC，则在底面ABC上的射影H必在（ ）
A.直线AB上 B.直线BC上 　　C.直线AC上 　 D.△ABC内部
11.设OA,OB,OC为不共面的三条射线,若,
点P为射线OA上一点,设OP=a,则点P到平面OBC的距离为 ( )
A. B. C. D.
12. 已知正方形ABCD的边长为4，对角线AC与BD交于点O，将正方形ABCD沿对角线BD折成60°的二面角，A到A′点.给出下列判断：①A′C⊥BD；②A′D⊥CO；③△A′OC为正三角形；④cos∠A′DC＝；⑤A′到平面BCD的距离为.其中正确判断的个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.5

第Ⅱ卷(非选择题,共90分)
二、填空题：（本大题4小题，每小题5分，满分20分）
13. 一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为4，5，，则此球的表面积为 ．
14. 正方体的棱长为2,则以各面的中心为顶点的凸多面体的体积是_____
15. 正三棱锥中一条侧棱与底面所成的角为60°，则一个侧面与底面所成的角正弦值为______
16.多面体ABC—DEFG中，AB、AC、AD两两垂直，平面ABC∥平面DEFG，平面BEF∥平面ADGC，AB=AD=DG=2，AC=EF=1，则这个多面体的体积______

三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（本小题共10分）在体积为4π的球的表面上有A，B，C三点，AB＝1，BC＝，A，C两点的球面距离为π，求球心到平面ABC的距离.
18.（本小题共 12 分）在直三棱柱ABC-中，AB=8，AC=6，BC=10，D是BC边的中点. (1)求证：AB⊥; (2)求证：∥平面.

19．（本小题共 12 分）在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．是的中点．（1）求证：平面平面； （2）求异面直线与所成角的正切值．

20.（本小题共 12 分）已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是、边长为的菱形，又，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点．
（1）证明：平面PMB平面PAD；（2）求点A到平面PMB的距离．
21. （本小题共 12 分）已知长方体ABCD-中，棱AB＝BC＝3，＝4，连结，过B点作的垂线交于E，交于F．
（1）求证：⊥平面EBD；
（2）求ED与平面所成角的正弦值；
（3）求二面角E-BD-C的正切值．
　
22. （本小题共 12 分）正四棱锥中，侧棱与底面所成角的正切值为。
（1）求侧面与底面所成二面角的大小；
（2）在棱PD上寻找一点F，使得EF侧面PBC。试确定点F的位置，并加以证明。
桂林中学2012-2013学年度下学期
高二文科数学答题卷
题号
一
二
三
总分
17
18
19
20
21
22
得分
选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
B
A
C
A
C
C
A
C
A
B
C
二、填空题：
13、 ____ 14、 _______
15、 ___ 16、 4 ___
三、解答题：（本大题共6小题，满分70分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：设球的半径为R，则V＝πR3＝4π，∴R＝………３分
设A，C两点对球心的张角为θ，则A、C的球面距离为Rθ＝θ＝π，∴θ＝，∴AC＝，∴AC为△ABC所在平面的小圆的直径，∴∠ABC＝90°……….7分
设△ABC所在平面的小圆圆心为O′，则球心到平面ABC的距离为d＝OO′＝＝＝…..１0分
18. （本小题共 12 分）
证：（1）直三棱柱,底面三边长AB=8,AC=6,BC=10,∴AC⊥AB,
又⊥平面ABC，∴⊥AB, ∩AC=A,∴AB⊥平面,∴AB⊥.
(2)设与的交点为E，连接DE，∵D是BC的中点，E是的中点，
∴DE∥,∵DE?平面ADB1，平面，
∴∥平面
19．（本小题满分12分）
解:（I）由题意，，，
是二面角是直二面角，
，又，
平面，又平面．
平面平面．….6分
（II）作，垂足为，连结，则，
是异面直线与所成的角．
在中，，，
．又．
在中，．
异面直线与所成角的正切值为 ．….12
20．（本小题共 12 分）
解： （1）,又因为底面ABCD是、边长为的菱形，且M为AD中点，所以.又所以.
……6分
（2）因为M是AD中点，所以点A与D到平面PMB等距离.过点D作于H，由（1）平面PMB平面PAD，所以.
故DH是点D到平面PMB的距离.
所以点A到平面PMB的距离为.………12分
21. （本小题共 12 分）
解：（Ⅰ）连结AC交BD于O，则AC⊥BD．
又　∵　⊥平面AC，　∴　⊥BD．
∵　⊥BE而⊥平面，　∴　⊥BE．
　∵　BD BE＝B，　∴　⊥平面BED． ………4分
（Ⅱ）连结，由∥CD知D在平面内，由（1）是⊥EB．　　又∵　⊥BE，　　∴　BE⊥平面，即得F为垂足．
连结DF，则∠EDF为ED与平面所成的角．
由已知AB＝BC＝3，＝4，可求是＝5，．21世纪教育网
　∴　，，则，．　　
∴　．　在Rt△EDF中，，　　
∴　ED与平面所成角的正弦值为． …21世纪教育网…8分
（Ⅲ）连结EO，由EC⊥平面BDC且AC⊥BD知EO⊥BD．∴　∠EOC为所求二面角E-BD-C的平面角．∵　，，
∴　在Rt△EOC中，．
　∴　二面角E-BD-C的正切值为． 21世纪教育网…12分
22. （本小题共 12 分）
解：（1）连交于点，连PO，则PO⊥面ABCD，∴ ∠PAO就是与底面所成的角，∴ tan∠PAO=。设AB=1，则PO=AO?tan∠PAO = 。
设F为AD中点，连FO、PO，则OF⊥AD，所以，PF⊥AD，所以，就是侧面与底面所成二面角的平面角。在Rt中，，
∴ ,即面与底面所成二面角的大小为……6分
（2）延长交于点，连接。设为中点，连接。
∵ 四棱锥为正四棱锥且为中点，所以，为中点，
∴ ，。
∴ 。∴ 面⊥。
∵ ，，∴ 为正三角形。
∴ ，∴ 。
取AF中点为K，连EK，则由及得四边形为平行四边形，所以，。∴……12分