八年级下册第16章分式
图片预览
文档简介
【学习课题】 第1课时 分式（1）
【学习目标】1、能判断一个代数式是否为分式
2、能说出一个分式有意义的条件
3、会求分式值为零时，字母的取值
【学习重点】会求分式有意义时，字母的取值范围
【学习难点】求分式值为零时，字母的取值
【学习过程】
学习准备： 1、用六种运算符号连接数或表示数的字母的式子叫______。
2、在加、减、乘、除运算中，只有除数不能为__ _。
（一）解读教材
阅读教材2—3页。完成下面的填空：
小明家离学校路程有2000米，他以每分钟V米的速度步行上学需要 分钟。
王亮为家里买回a千克苹果用去15元钱，苹果单价为 。
甲每小时做x个零件，乙每小时比甲少做5个零件，则乙做100个零件需要 小时。
上述代数式的共同特征是 ；
它们与整式的区别是 。
一般的，整式A除以整式B，可以写成____的形式。如果B中含有____，式子就叫____，其中A叫___ _，B叫__ __。
【即时练习】：下列哪些代数式是整式，哪些代数式是分式？
①， ②2a+b, ③-, ④, ⑤, ⑥, ⑦-
整式有： ；分式有：
（二）挖掘教材
1、在整式中，由于字母表示的数只作加法，减法，乘法，乘方运算，所以字母的取值可以是____；而在分式中，含字母表达的数作为除数，因为除数为零时，式子没有意义。因此，分式的____取值不能为____。
3、分式的值为零所需要的条件为___________ _。
【例1】：已知：分式。①当x取何值时，分式没有意义？ ②当x取何值时，分式有意义？
解： ①当________时，分式没有意义。
由3x+4=0，得x=____，∴当x=_____时，分式没有意义。
②当x≠______时，______不等于0，此时分式有意义。
【即时练习】：
当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） 。
当x取什么值时，下列分式无意义？
（1） ；（2） 。
【例2】：当取何值时，分式的值为零？
解：由，得x=_____，
∴x=_____时，分式的值为0。
【即时练习】：当x取什么值时，下列分式的值为零？
（1） ； （ 2） ； （3） 。
【反思小结】：
1、能判断一个代数式是否为分式
2、能说出一个分式有意义的条件
3、会求分式值为零时，字母的取值
【达标检测】（6分钟完成）
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1） ；（2）2a+b ；（3） ；（4） 。
2、有意义，则x_______。 3、如果有意义，则x_______。
4、如果的值为0，则x=____。 5、当x______时，分式的值为0。
6、若的值为正整数，求x的值。
【学习课题】 第２课时 分式的基本性质（1）
【学习目标】1、能叙述分式的基本性质并会用式子表示；
2、能利用分式的基本性质对分式进行恒等变形．
3、了解最简分式的概念，能进行分子分母是单项式的简单约分．
【学习重点】1、分式的基本性质
2、利用分式的基本性质约分，将一个分式化简为最简分式。
【学习难点】分子、分母是单项式和多项式的约分问题。
【学习过程】
（一）解读教材
1、探索分式的基本性质
（1） 的依据是什么？答：______________________________________
（2）你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流．
我的猜想是：
[提示] 在运用此性质时，应特别注意什么？______________________________________________
【例1】（口答）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）= （）； （2）=
【分析】：可以看出，（1）的等号的右边是把等号的左边的分子、分母同乘以得到的。由于≠0，问题得以解决。而（2）的左边是分式，因而隐含bx≠0即x≠0且b≠0。分式的分子分母同除以x即可。
【归纳分式的基性质】
1、今天学习的性质叫做________________,它的语言叙述是____________________________,
它的公式写做_____________________,公式中对哪些字母有什么要求？____________
什么是分式的约分？和化简可联系分数的约分和化简。答：____________________________________。
什么是最简分式？答：________________________________________，化简分式时，结果一定要求最简。
（二）挖掘教材
【例2】：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：
（1） （2）
分析：在不改变分式的值的条件下，要将分子与分母中的系数化为整数，只要运用分式的基本性质，在分式的分子分母上同乘以所有分数系数的分母的最小公倍数。
解：（略）
【例3】：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号。
（1） （2） （3）
分析：有理数除法的符号法则“同号得正，异号得负”，在分式（两式相除）中同样适用。
【归纳】：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
【例4】在化简 时，小颖是这样做的：= ＝ ＝
你对上述做法有何看法？与同伴交流。
【例5】：约分：（1）； （2）
解：（1）略；（2）＝＝.
说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.
【例6】 分式是最简分式吗？如果不是，请化简为最简分式．
【课堂小结】
1．分式的基本性质是今后学习分式运算的重要基础，注意“都”、“同一个”、“不等于零”三个条件．
2．运用分式的符号法则时注意“改变其中任意两个”．当分子、分母出现多项式时，必须将它作为整体进行变号．
3．作业中写好必要的中间步骤，提高正确性．
【达标测评】
1、填空：
2、化简：(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (9)
(10) (11) (12)
(13) (14) (15)
【学习课题】 第3课时 分式的基本性质（2）
【学习目标】1、能叙述分式的基本性质并会用式子表示；
2、能利用分式的基本性质对分式进行恒等变形．
3、了解最简分式的概念，能进行异分母分式的通分．
【学习重点】1、分式的基本性质的应用
2、会求异分母分式的最简公分母，并利用分式的基本性质通分。
【学习难点】会求异分母分式的最简公分母，并利用分式的基本性质通分。
【学习过程】
（一）学习准备：
1、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
用式子表示是： （ 其中M是不等于零的整式）。
2、【例1】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
（1）； （2）.
注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。
（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。
（二）解读教材
1、【例2】把分数通分。
解：，，
2、归纳概念
（1）什么叫分数的通分？
把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
（2）和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
3、确定异分母分式的最简公分母
【例3】求分式的（最简）公分母。
【分析】：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为12x3y4z。
【例4】 求分式与的最简公分母。
【分析】：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即4x—2x2= —2x（x-2），x2—4=（x+2）（x—2），把这两个分式的分母中所有的因式都取到。如果在这些分母中有相同的因式，则取最高次幂的因式，去掉低次幂的相同因式（如果相同因式的次数相同，则取其中一个）。其中，系数取正数，并取其最小公倍数2，然后再取它们的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。
【归纳】请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。
1．取各分式的分母中系数最小公倍数；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的（如果相同因式的次数相同，则取其中一个）；
4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
【例5】通分：（1）,,； （2）,； （3）,。
【分析】：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。
解：（1）、（2）略
（3）因为 ＝________________, ＝________________,
所以与的最简公分母为__________________________，
因此＝_________________， ＝___________________.
【课堂小结】
把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
【达标测评】
1、通分：（1） （2） （3）
（4），； （5）， （6）
（7），， （8），，
2、（能力提升）若实数、满足，试求的值。
【学习课题】 第4课时 分式乘除法
【学习目标】1、类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则；
2、会进行分式的乘除法的运算；
【学习重点】掌握分式乘除法的法则及其应用。
【学习难点】分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。
【学习过程】
【学习准备】：
阅读教材6—7。
计算
(1)______ (2) (3) (4)
【解读教材】
3.思考：×=? ÷=? 与同伴交流总结并完成填空：
两个分式相乘，把_________作为积的分子，把____________作为积的分母，用字母表示_____________；
两个分式相除，把_________________________后再与____________,用字母表示_________________。
【例1】计算
（1）·; （2）
【注意】：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；
（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.
【即时练习】：计算（1） （2）
【挖掘教材】
4.分子分母出现多项式的运算
根据已学可知：×=; ÷=×=.
【例2】计算：
解：原式 解：
=
【注意】由上题可知：进行分式乘法运算，当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化。
【即时练习】：
反思小结
1、两个分式相乘（或相除），如果分子和分母都是单项式，可以_________________________________进行计算；如果分子和分母都是多项式，那么先将分子和分母_______________，然后再运用分式的乘法（或除法）法则进行计算。
2、如果整式与分式相乘（或相除），可以把整式看作________________的式子进行计算，当整式是多项式时，同样要先________________。
3、对于，小明是这样计算的：，他的计算过程是正确的吗？为什么？
【达标测评】
1、计算下列各式：
2、（1）若，试求分式的值。
（2）已知，求的值。
【学习课题】 第5课时 分式的乘方
【学习目标】1、类比分数乘方的运算法则.探索乘方的运算法则；
2、会进行分式的乘方运算；
【学习重点】掌握分式乘方的法则及其应用。
【学习难点】熟练分式乘除乘方的混合运算。
【学习过程】
【学习准备】：
阅读教材6—7。
计算
()2= ()3=
【解读教材】
3. 据乘方的意义和分式乘法法则计算：
= ； = ； =
探究: = = .
归纳:分式的乘方，把_________________________，用字母表示_________________。
【例1】计算
（1） （2） （3）
解： 解： 解：
=
=
【注意】：（1）将算式对照分式乘方的法则，混合运算时注意运算顺序；
（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.
【即时练习】：计算（1） （2） (3)
【例2】计算：
(1) (2)
解： 解：
【注意】由上题可知：进行分式乘法运算，当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化。
【即时练习】：(3) (4)
反思小结
1、分式乘方的法则是什么？结果的符号怎样确定？
2、分式乘除乘方混合运算时的运算顺序是____________________
3、对于，小明是这样计算的：，他的计算过程是正确的吗？为什么？
【达标测评】
1、判断下列各式是否成立，不成立请改正.
（1）= （2）= （3）= （4）=
2、计算
（1） （2） （3）
【学习课题】 第6课时 同分母的分式加减法
【学习目标】 1、经历探索同分母分式加减运算法则过程，不断与分数情形类比加深对新知识的理解。
2、能熟练进行同分母分式相加减。
【学习重点】同分母分式加减法
【学习难点】正确进行同分母分式的加减
【学习过程】
【学习准备】：
计算：（1）= (2) = (3)=
【阅读理解】：
（一）解读教材
阅读教材第7页，根据上题运算结果，用自已的语言叙述同分母分式加减法法则：
类比同分母分数加减：分母不变，把分子相加减。
同分母分式加减法法则：_________________________________。
例1：（1）（同分母分式相加） （同分母分式相减）
解：原式= （分母不变，分式相加） 解：原式 = （分母不变，分式相减）
= =
同分母分式的加减的步骤是_________________________ ；
【即时练习】：
（1） （2） （3） （4）
【知识回顾】分子，分母、分式的符号
； ______； _______； ________。
【归纳】：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
【即时训练】：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号。
（1） （2） （3）
（4） （5）
【达标检测】
1、计算：（1） （2） （3）
2、计算：
（1） （2）
【学习课题】 第7课时 异分母分式的加减
【学习目标】1、能正确的确定几个异分母分式的最简公分母，并会通分。
2、会正确进行异分母分式的加减
【学习重点】确定异分母分式的最简公分母
【学习难点】异分母分式的加减
【学习过程】
一、复习准备
1、求分数、分式的最简公分母
【例1】：求下列式子的最简分分母
（1），， （2），
解：∵ 解：∵
∴，的最简公分母是。
∴ ，，的最简公分母是8
【即时训练】：指出下列各式的最简公分母：
（1） ， （2），
2、分式的通分：
【例2】：通分：（1）， （2）与
解：∵和 的最简公分母是 解：∵与的最简公分母是
∴ ， ∴＝ =
＝
【小结】（1）最简公分母：
（2）通分：
（3）通分的关键是：
【即时练习】：通分：（1）， （2），
（3）与 （4）与
二、解读教材
【例3】、计算：（1）+ （2）
解：原式=+解：原式=
= =
= =
（3） =
【分析】：把看成分母是1的分式。 =
解：原式= =
【注意】： =
若把看成也可以，但运算复杂。
【即时练习】：计算：(1)－ (2) -
【归纳小结】
1．学习了异分母分式加减法法则，关键是确定最简公分母后通分。
2．多项式分母要因式分解。
3．整式看成分母是1的分式。
4．一些较复杂的题目可以采用逐步通分法。
【达标检测】
1、计算：(1) (2)
(3) (4)
2、用两种方法计算：
3、若,求的值．
【学习课题】 第8课时 解可化为一元一次方程的分式方程（1）
【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；
2.了解分式方程增根产生的原因，并理解验根的必要性；
3.进一步强化数学的“转化”思想。
【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤，了解分式方程增根产生的原因并明确解分式方程验根的必要性。
【学习难点】明确解分式方程验根的必要性。
一、学习准备
1.当x= 时，分式无意义。 2.当x= 时分式的值为。
3.的公分母 ；的公分母 。
二、教材解读与挖掘
1.阅读教材11—13页。
2.【例1】：回忆一元一次方程的解法，解方程
解：
第一步，去分母：方程两边同时乘以分母的最小公倍数6得：
第二步，去括号得：
第三步，移项，合并同类
第四步，化x的系数为1得：
【解后反思】本题的易错点：
【例2】：模仿例一的解法及步骤，解方程
第一步，去分母：
第二步，去括号：
第三步，移项，合并同类项得：
第四步，化x的系数为1：
【解后反思】这样解出的x的值是方程的解吗？你怎样检验？
【试一试】解分式方程
【例3】：解分式方程
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步，检验：
【解后反思】解出来的x是方程的解吗，为什么？________________________________
______________________
【教材解读】：
由以上几个例题中可以看出：在将分式方程变形为整式方程时，方程的两边同时乘以原分式方程中的分母的最简公分母，并约去了分母，这样就失去了“分母≠0”的条件的限制，扩大了未知数的取值范围，因此就可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根。
② 增根不是原分式方程的解，但它是原分式方程所化成的整式方程的解。因此在解分式方程时必须验根，为了简便起见，，将所化得的整式方程的解代入最简公分母中，看它的值是否为零。如果为零，即为增根。公式方程的完整解法如下：
【例4】：解方程：
解：去分母：在方程的两边同时乘以得：
去括号，得：
移项，合并同类项，得：
化的系数为1，得：
检验：把代入得：≠0
∴是原分式方程的根。
【小结】你能根据以上几个例题总结出解分式方程的一般步骤？
①_________________②__________________③_____________________④_____________________
三、【达标测试】
方程的解是x=
若关于x的分式方程有增根，则增根可能是
解分式方程：
①： ②： ③ x+1-
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧ ⑨
4、若关于的方程有增根，求m的值。
5、若关于方程会产生增根，试求k的值
【学习课题】 第9课时 解可化为一元一次方程的分式方程（2）
【学习目标】1、掌握解分式方程的一般步骤；
2、掌握解分式方程中的一些常见技巧。
3、能熟练地解含字母系数的一元一次方程。
【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤。
【学习难点】.掌握解分式方程中的一些常见技巧。
一、【教材解读】
【例1】解分式方程：
【分析】：本题如果按照分式方程的常规解法，那么所转化出来的整式方程是一个高次方程，这样就会增加解题的难度。因此，解本题时，可采用“整体代入”的思想（将和分别作为一个整体看待，从而使解题过程简单化。
【解】：将原分式方程的两边分别通分，得：
整理，得：
去分母，得：
将和分别作为一个整体，利用分配律运算，得：
化简，得：
解得：
把代入中，≠0，
∴原分式方程的解是：
【即时训练】
（1） （2） （3）
二、【挖掘教材】
【例】解下列关于x的方程：
（1）a2(x－1)＋a(x＋3)=6x＋2（a≠2，a≠－3）； （2）=－（a≠0）；
解：a2x－a2＋ax＋3a=6x＋2， 解：∵ a＋b≠0，a－b≠0，
a2x＋ax－6x=2＋a2－3a， ∴方程两边都乘以(a＋b)(a－b)，得
(a2+a－6)x=a2－3a＋2， (a－b)(x＋1)=2a－(x－1)(a＋b)。
(a－2)(a＋3)x=(a－1)(a－2)。 (a－b)x＋a－b=2a－(a＋b)x＋a＋b，
∵ a≠2，a≠－3， (a－b)x＋(a＋b)x=2a＋a＋b－a＋b，
∴ a－2≠0，a＋3≠0。 2ax=2a＋2b。
方程两边都除以(a－2)(a＋3)，得x=。 ∵ a≠0， ∴ x=。
【即时训练】：解下列关于x的方程：
（1）a(a＋3)x=2(2x＋a－1)。（a≠1,a≠-4） （2）x=－－2x，()
【归纳小结】
1．在方程ax=b（a≠0）中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数，对x来说，a是x的系数，叫字母系数，字母b是常数项，方程ax=b（a≠0）叫含字母系数的一元一次方程。
2．含字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含字母的式子去乘或除方程两边，这个式子的值不能等于零。
【达标训练】
1、解方程：
（1） （2）
2、解方程：①的根是x= ； ②的根是x= 。
③ 的根是x= ； ④的根是x=
……
请你根据规律直接写出第⑤、⑥两个方程及它们的根；
（2） 请你用一个正整数n的式子表示出上述规律，并求出它的根
3、若关于x的方程有增根，则k= 。
4、已知关于x的方程的根相同，则a= .
5、若分式方程有增根，则m的值为多少？
6、已知，求x+y+z的值
7、当m= 时，关于x的方程有增根。
8、（2003，天津）如果，试求A,B的值。
9、若关于x的方程的解为正数，a的取值范围。
【学习课题】 第10课时 列分式方程解应用题
【学习目标】1. 能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤。
【学习重点】列分式方程解应用题.。
【学习难点】根据题意，找出等量关系，正确列出方程。
一、学习准备
1、阅读教材11—14页。
2、解方程：①： ②：
二、教材解读与挖掘
【例1】、 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式：
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
路程：骑车行进路程=队伍行进路程= (千米)
速度：骑车的速度= 倍步行速度
时间：骑车所用的时间=步行的时间－ 小时.
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来：
设这名学生骑车追上队伍需x小时，则队伍所走时间(x+0.5)小时。
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：
第五步：（解）解方程得：x=
第六步：（检验）经检验x=是方程的解，∴这名学生追到队伍用了x=
【解后反思】解本题的关键点：
解本题的易错点：
你能用另一种方法解本题吗？
【试一试】已知甲、乙两站相距828千米，一列普通快车与一列直达快车都由甲站开往乙站，直达快车平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2个小时，结果比普通快车早4个小时到达乙站，分别求出两车的平均速度。
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：_________________________________________________
第五步：（解）解方程得：
第六步：（检验） ∴
【例2】：某单位将沿街的房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元，该单位共有多少间房屋？
【解后反思】解本题的关键点：
解本题的易错点：
【小结】你能根据以上几题总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？
三、【达标测试】
1、填空：
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；
(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;
(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2、某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
3、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
把等式中的6用未知数x代替，即等式变为分式方程：；请结合生活实际编一道应用题。
5、某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元，若每户每月水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超出5m3的部分每立方米收费多少元？
6、为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁—昆明的直达快车，已知南宁—昆明两地相距828km，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达昆明，求两车的平均速度？
7、某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
8、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。
【学习课题】 第11课时 零指数幂与负整指数幂
【学习目标】1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。
2、使学生掌握（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算。
3、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。
【学习重点】不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。
【学习难点】不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点【学习过程】：
【学习准备】：讲解零指数幂的有关知识
【问题1】在介绍同底数幂的除法公式am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？
【教材解读】：
1、先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式：
52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得：
52÷52＝52-2＝50，
103÷103＝103-3＝100，
a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).
另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.
所以，我们可以得到：50=1，100=1，a0=1（a≠0）.
这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.
2、讲解负指数幂的有关知识
我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 52÷55， 103÷107，
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得：52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4.
另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为
52÷55＝＝＝， 103÷107＝＝＝.
由此启发，我们规定： 5-3＝， 10-4＝.
一般地，我们规定： (a≠0，n是正整数)
这就是说，任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n?次幂的倒数.
【例题讲解】
【例1】计算：（1）810÷810； （2）10-2； （3）
解： （1）810÷810＝810-10＝80＝1.
（2）10-2＝＝.
（3）＝1×＝.
【例2】计算：⑴ ⑵
解： ⑴。
⑵
【例3】、用小数表示下列各数： （1）10-4； （2）2.1×10-5.
解： （1）10-4＝＝0.0001.
（2）2.1×10-5＝2.1×＝2.1×0.00001＝0.000021.
【例4】、一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.
【分析】 我们知道：1纳米＝米.由＝10-9可知，1纳米＝10-9米.
所以35纳米＝35×10-9米.
而35×10-9＝（3.5×10）×10-9
＝35×101＋（－9）＝3.5×10-8，
所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8
【归纳小结】
引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足，1≤∣a∣＜10. 其中n是正整数
【达标训练】
1、计算：
（1）（-0.1）0； （2）； （3）2-2； （4）
2、计算
（1） （2）
（3）16÷（—2）3—（）-1+（-1）0
3、用小数表示下列各数：
（1）-10-3×（-2） （2）（8×105）÷（-2×104）
4、用科学记数法表示：
（1）0.000 03； （2）-0.000 0064； （3）0.000 0314； （4）2013 000.
5、用科学记数法填空：
（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_________秒； （2）1毫克＝_________千克；
（3）1微米＝_________米； （4）1纳米＝_________微米；
（5）1平方厘米＝_________平方米； （6）1毫升＝_________立方
【学习课题】 第12课时 复习1 本章知识结构梳理(尽量用符号语言填写)
【知识体系】
（1）分式的定义：_______________________________________
（2）分式有意义的条件：_______________________________________
（3）分式无意义的条件：_______________________________________
1、分式的定义 （4）分式 的值为0的条件：__________________________________
（5）分式>0的条件：_______________________________________
（6）分式<0的条件：_______________________________________
（1）基本性质：_______________________________________
公式：_______________________________________
2、分式的基本性质 （2）约分：_______________________________________
（3）通分：_______________________________________
（1）分式的乘除法法则：_______________________________________
公式：_______________________________________
3、分式的运算 同分母的分式相加减：_________________________
（2）分式加减
异分母的分式相加减：_________________________
（1）定义：_______________________________________
（2）解分式方程的步骤：_______________________________________
增根的定义 ：____________________________________
（3）增根 分式方程产生增根的原因：____________________________
4、分式方程 检验增根的方法：____________________________________
（4）解分式方程的方法：_______________________________________
（5）分式方程的应用
【达标练习】：
1、当x __________时，分式的值为零。 2、当x __________时，分式有意义。
3、当x 时，分式有意义。 4、当x= 时，分式的值为零。
5、分式中，当时，分式没有意义，当时，分式的值为零；
6、当x __________时分式有意义；当 时，的值为负数
7、求当x取何值时，分式的值为0。
8、已知分式，当时，分式值为0，当时，分式无意义，求，的值。
【学习课题】 第13课时 复习2 分式的运算
【友情提示】分式的运算包括加、减、乘、除以及他们的混合运算，总起来说分式的乘除运算最终是一个约分的过程，分式的加减运算是一个通分的过程，所以所以约分和通分是本章中两个重要的概念，只要四种运算熟练了，再注意正确的运算顺序及合理的运算律，分式的运算就一般不会出错了。
【例题】计算：
解法一： 解法二：
原式= 原式＝
= ＝
= ＝
= ＝
＝
＝
【达标检测】：
1. 若使式子从左到右变形成立，应满足的条-------（ ）
A、 B、 C、 D、
2. 化简分式：等于------------------------------------------（ ）
A 、1 B、 C、 D、
3. 下列等式成立的是-----------------------------------------------------（ ）
A、 B、 C、 D、
4. 下面三个式子：，，，其中正确的是（ ）
A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个
5. 把分式中的分子、分母的、同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A、都扩大2倍 B、都缩小2倍 C、改变原来的 D、不改变
6. 不改变分式的值，化下列个分式中的分子、分母的系数为整数，其结果不正确的为（ ）
A B
C D
7、化简：＝ ；＝ ； ＝ 。
8、若__________。
9、计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）、
（7）、 （8）、
（9） （10）
（11）+ （12）
【学习课题】 第14课时 复习３ 方程的解法及其应用
【友情提示】分式方程是继整式方程后又一类重要的方程，是解决实际问题的又一重要模型，解分式方程时，先要把分式方程转化为整式方程，而这一转化过程可能会出现增根，故必须进行检验。
在应用分式方程解决实际应用问题时，关键是找出等量关系。
【例题1】解方程：
【即时训练】
解下列分式方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）. （6）分式方程+1=有增根，求m的值。
【例题2】八年级学生去距离学校10千米的博物馆参观。一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学的2倍，求骑车同学的速度？
【分析】：本题的等量关系是：(骑自行车同学所用的时间-汽车所用时间= ；
(汽车速度=骑自行车同学的速度2；
(汽车所走的路程=骑自行车的路程=10千米；
【解】：设骑自行车同学的速度为x千米/时，根据题意有：
【即时训练】
1、某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A、─ B、 C、 D、=5
2、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A、 B、 C、 D、
3、为了绿化江山，某村计划在荒山上种植1200棵树，原计划每天种x棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前了5天完成了任务，则可以列出方程为（ ）
A、 －=5 B、－=5 C、－=5 D、－=5
4、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的，求步行和骑自行车的速度各是多少？
5、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？
6、 金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.
8、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
这个八年级的学生总数在什么范围内？
若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？
【学习目标】1、能判断一个代数式是否为分式
2、能说出一个分式有意义的条件
3、会求分式值为零时，字母的取值
【学习重点】会求分式有意义时，字母的取值范围
【学习难点】求分式值为零时，字母的取值
【学习过程】
学习准备： 1、用六种运算符号连接数或表示数的字母的式子叫______。
2、在加、减、乘、除运算中，只有除数不能为__ _。
（一）解读教材
阅读教材2—3页。完成下面的填空：
小明家离学校路程有2000米，他以每分钟V米的速度步行上学需要 分钟。
王亮为家里买回a千克苹果用去15元钱，苹果单价为 。
甲每小时做x个零件，乙每小时比甲少做5个零件，则乙做100个零件需要 小时。
上述代数式的共同特征是 ；
它们与整式的区别是 。
一般的，整式A除以整式B，可以写成____的形式。如果B中含有____，式子就叫____，其中A叫___ _，B叫__ __。
【即时练习】：下列哪些代数式是整式，哪些代数式是分式？
①， ②2a+b, ③-, ④, ⑤, ⑥, ⑦-
整式有： ；分式有：
（二）挖掘教材
1、在整式中，由于字母表示的数只作加法，减法，乘法，乘方运算，所以字母的取值可以是____；而在分式中，含字母表达的数作为除数，因为除数为零时，式子没有意义。因此，分式的____取值不能为____。
3、分式的值为零所需要的条件为___________ _。
【例1】：已知：分式。①当x取何值时，分式没有意义？ ②当x取何值时，分式有意义？
解： ①当________时，分式没有意义。
由3x+4=0，得x=____，∴当x=_____时，分式没有意义。
②当x≠______时，______不等于0，此时分式有意义。
【即时练习】：
当x取什么值时，下列分式有意义？
（1） ； （2） ； （3） ；
（4） ； （5） ； （6） 。
当x取什么值时，下列分式无意义？
（1） ；（2） 。
【例2】：当取何值时，分式的值为零？
解：由，得x=_____，
∴x=_____时，分式的值为0。
【即时练习】：当x取什么值时，下列分式的值为零？
（1） ； （ 2） ； （3） 。
【反思小结】：
1、能判断一个代数式是否为分式
2、能说出一个分式有意义的条件
3、会求分式值为零时，字母的取值
【达标检测】（6分钟完成）
1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？
（1） ；（2）2a+b ；（3） ；（4） 。
2、有意义，则x_______。 3、如果有意义，则x_______。
4、如果的值为0，则x=____。 5、当x______时，分式的值为0。
6、若的值为正整数，求x的值。
【学习课题】 第２课时 分式的基本性质（1）
【学习目标】1、能叙述分式的基本性质并会用式子表示；
2、能利用分式的基本性质对分式进行恒等变形．
3、了解最简分式的概念，能进行分子分母是单项式的简单约分．
【学习重点】1、分式的基本性质
2、利用分式的基本性质约分，将一个分式化简为最简分式。
【学习难点】分子、分母是单项式和多项式的约分问题。
【学习过程】
（一）解读教材
1、探索分式的基本性质
（1） 的依据是什么？答：______________________________________
（2）你认为分式与相等吗？与呢？与同伴交流．
我的猜想是：
[提示] 在运用此性质时，应特别注意什么？______________________________________________
【例1】（口答）下列等式的右边是怎样从左边得到的？
（1）= （）； （2）=
【分析】：可以看出，（1）的等号的右边是把等号的左边的分子、分母同乘以得到的。由于≠0，问题得以解决。而（2）的左边是分式，因而隐含bx≠0即x≠0且b≠0。分式的分子分母同除以x即可。
【归纳分式的基性质】
1、今天学习的性质叫做________________,它的语言叙述是____________________________,
它的公式写做_____________________,公式中对哪些字母有什么要求？____________
什么是分式的约分？和化简可联系分数的约分和化简。答：____________________________________。
什么是最简分式？答：________________________________________，化简分式时，结果一定要求最简。
（二）挖掘教材
【例2】：不改变分式的值，把下列各式的分子与分母中各项的系数都化为整数：
（1） （2）
分析：在不改变分式的值的条件下，要将分子与分母中的系数化为整数，只要运用分式的基本性质，在分式的分子分母上同乘以所有分数系数的分母的最小公倍数。
解：（略）
【例3】：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号。
（1） （2） （3）
分析：有理数除法的符号法则“同号得正，异号得负”，在分式（两式相除）中同样适用。
【归纳】：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
【例4】在化简 时，小颖是这样做的：= ＝ ＝
你对上述做法有何看法？与同伴交流。
【例5】：约分：（1）； （2）
解：（1）略；（2）＝＝.
说明：在进行分式约分时，若分子和分母都是多项式，则往往需要先把分子、分母分解因式（即化成乘积的形式），然后才能进行约分。约分后，分子与分母不再有公因式，我们把这样的分式称为最简分式.
【例6】 分式是最简分式吗？如果不是，请化简为最简分式．
【课堂小结】
1．分式的基本性质是今后学习分式运算的重要基础，注意“都”、“同一个”、“不等于零”三个条件．
2．运用分式的符号法则时注意“改变其中任意两个”．当分子、分母出现多项式时，必须将它作为整体进行变号．
3．作业中写好必要的中间步骤，提高正确性．
【达标测评】
1、填空：
2、化简：(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
(7) (8) (9)
(10) (11) (12)
(13) (14) (15)
【学习课题】 第3课时 分式的基本性质（2）
【学习目标】1、能叙述分式的基本性质并会用式子表示；
2、能利用分式的基本性质对分式进行恒等变形．
3、了解最简分式的概念，能进行异分母分式的通分．
【学习重点】1、分式的基本性质的应用
2、会求异分母分式的最简公分母，并利用分式的基本性质通分。
【学习难点】会求异分母分式的最简公分母，并利用分式的基本性质通分。
【学习过程】
（一）学习准备：
1、分式的基本性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.
用式子表示是： （ 其中M是不等于零的整式）。
2、【例1】不改变分式的值，使下列分式的分子与分母的最高次项的系数是正数：
（1）； （2）.
注意：（1）根据分式的意义，分数线代表除号，又起括号的作用。
（2）当括号前添“+”号，括号内各项的符号不变；当括号前添“—”号，括号内各项都变号。
（二）解读教材
1、【例2】把分数通分。
解：，，
2、归纳概念
（1）什么叫分数的通分？
把几个异分母的分数化成同分母的分数，而不改变分数的值，叫做分数的通分。
（2）和分数通分类似，把几个异分母的分式化成与原来的分式相等的同分母的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
3、确定异分母分式的最简公分母
【例3】求分式的（最简）公分母。
【分析】：对于三个分式的分母中的系数2，4，6，取其最小公倍数12；对于三个分式的分母的字母，字母x为底的幂的因式，取其最高次幂x3，字母y为底的幂的因式，取其最高次幂y4，再取字母z。所以三个分式的公分母为12x3y4z。
【例4】 求分式与的最简公分母。
【分析】：先把这两个分式的分母中的多项式分解因式，即4x—2x2= —2x（x-2），x2—4=（x+2）（x—2），把这两个分式的分母中所有的因式都取到。如果在这些分母中有相同的因式，则取最高次幂的因式，去掉低次幂的相同因式（如果相同因式的次数相同，则取其中一个）。其中，系数取正数，并取其最小公倍数2，然后再取它们的积，即2x（x+2）（x-2）就是这两个分式的最简公分母。
【归纳】请同学概括求几个分式的最简公分母的步骤。
1．取各分式的分母中系数最小公倍数；
2．各分式的分母中所有字母或因式都要取到；
3．相同字母（或因式）的幂取指数最大的（如果相同因式的次数相同，则取其中一个）；
4．所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积（其中系数都取正数）即为最简公分母。
【例5】通分：（1）,,； （2）,； （3）,。
【分析】：分式的通分，即要求把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式。通分的关键是确定几个分式的公分母；要归纳出分式分式是多项式如何确定最简公分母，一般应先将各分母分解因式，然后按上述的方法确定分母。
解：（1）、（2）略
（3）因为 ＝________________, ＝________________,
所以与的最简公分母为__________________________，
因此＝_________________， ＝___________________.
【课堂小结】
把几个异分母的分式，分别化成与原来分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。分式通分，是让原来分式的分子、分母同乘以一个适当的整式，根据分式基本性质，通分前后分式的值没有改变。通分的关键是确定几个分式的公分母，从而确定各分式的分子、分母要乘以什么样的“适当整式”，才能化成同一分母。确定公分母的方法，通常是取各分母所有因式的最高次幂的积做公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
【达标测评】
1、通分：（1） （2） （3）
（4），； （5）， （6）
（7），， （8），，
2、（能力提升）若实数、满足，试求的值。
【学习课题】 第4课时 分式乘除法
【学习目标】1、类比分数乘除法的运算法则.探索分式乘除法的运算法则；
2、会进行分式的乘除法的运算；
【学习重点】掌握分式乘除法的法则及其应用。
【学习难点】分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算。
【学习过程】
【学习准备】：
阅读教材6—7。
计算
(1)______ (2) (3) (4)
【解读教材】
3.思考：×=? ÷=? 与同伴交流总结并完成填空：
两个分式相乘，把_________作为积的分子，把____________作为积的分母，用字母表示_____________；
两个分式相除，把_________________________后再与____________,用字母表示_________________。
【例1】计算
（1）·; （2）
【注意】：（1）将算式对照乘除法运算法则，进行运算；
（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.
【即时练习】：计算（1） （2）
【挖掘教材】
4.分子分母出现多项式的运算
根据已学可知：×=; ÷=×=.
【例2】计算：
解：原式 解：
=
【注意】由上题可知：进行分式乘法运算，当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化。
【即时练习】：
反思小结
1、两个分式相乘（或相除），如果分子和分母都是单项式，可以_________________________________进行计算；如果分子和分母都是多项式，那么先将分子和分母_______________，然后再运用分式的乘法（或除法）法则进行计算。
2、如果整式与分式相乘（或相除），可以把整式看作________________的式子进行计算，当整式是多项式时，同样要先________________。
3、对于，小明是这样计算的：，他的计算过程是正确的吗？为什么？
【达标测评】
1、计算下列各式：
2、（1）若，试求分式的值。
（2）已知，求的值。
【学习课题】 第5课时 分式的乘方
【学习目标】1、类比分数乘方的运算法则.探索乘方的运算法则；
2、会进行分式的乘方运算；
【学习重点】掌握分式乘方的法则及其应用。
【学习难点】熟练分式乘除乘方的混合运算。
【学习过程】
【学习准备】：
阅读教材6—7。
计算
()2= ()3=
【解读教材】
3. 据乘方的意义和分式乘法法则计算：
= ； = ； =
探究: = = .
归纳:分式的乘方，把_________________________，用字母表示_________________。
【例1】计算
（1） （2） （3）
解： 解： 解：
=
=
【注意】：（1）将算式对照分式乘方的法则，混合运算时注意运算顺序；
（2）强调运算结果如不是最简分式时，一定要进行约分，使运算结果化为最简分式.
【即时练习】：计算（1） （2） (3)
【例2】计算：
(1) (2)
解： 解：
【注意】由上题可知：进行分式乘法运算，当分子、分母是多项式时，一般应先分解因式，并在运算过程中约分，使运算简化。
【即时练习】：(3) (4)
反思小结
1、分式乘方的法则是什么？结果的符号怎样确定？
2、分式乘除乘方混合运算时的运算顺序是____________________
3、对于，小明是这样计算的：，他的计算过程是正确的吗？为什么？
【达标测评】
1、判断下列各式是否成立，不成立请改正.
（1）= （2）= （3）= （4）=
2、计算
（1） （2） （3）
【学习课题】 第6课时 同分母的分式加减法
【学习目标】 1、经历探索同分母分式加减运算法则过程，不断与分数情形类比加深对新知识的理解。
2、能熟练进行同分母分式相加减。
【学习重点】同分母分式加减法
【学习难点】正确进行同分母分式的加减
【学习过程】
【学习准备】：
计算：（1）= (2) = (3)=
【阅读理解】：
（一）解读教材
阅读教材第7页，根据上题运算结果，用自已的语言叙述同分母分式加减法法则：
类比同分母分数加减：分母不变，把分子相加减。
同分母分式加减法法则：_________________________________。
例1：（1）（同分母分式相加） （同分母分式相减）
解：原式= （分母不变，分式相加） 解：原式 = （分母不变，分式相减）
= =
同分母分式的加减的步骤是_________________________ ；
【即时练习】：
（1） （2） （3） （4）
【知识回顾】分子，分母、分式的符号
； ______； _______； ________。
【归纳】：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
【即时训练】：不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“-”号。
（1） （2） （3）
（4） （5）
【达标检测】
1、计算：（1） （2） （3）
2、计算：
（1） （2）
【学习课题】 第7课时 异分母分式的加减
【学习目标】1、能正确的确定几个异分母分式的最简公分母，并会通分。
2、会正确进行异分母分式的加减
【学习重点】确定异分母分式的最简公分母
【学习难点】异分母分式的加减
【学习过程】
一、复习准备
1、求分数、分式的最简公分母
【例1】：求下列式子的最简分分母
（1），， （2），
解：∵ 解：∵
∴，的最简公分母是。
∴ ，，的最简公分母是8
【即时训练】：指出下列各式的最简公分母：
（1） ， （2），
2、分式的通分：
【例2】：通分：（1）， （2）与
解：∵和 的最简公分母是 解：∵与的最简公分母是
∴ ， ∴＝ =
＝
【小结】（1）最简公分母：
（2）通分：
（3）通分的关键是：
【即时练习】：通分：（1）， （2），
（3）与 （4）与
二、解读教材
【例3】、计算：（1）+ （2）
解：原式=+解：原式=
= =
= =
（3） =
【分析】：把看成分母是1的分式。 =
解：原式= =
【注意】： =
若把看成也可以，但运算复杂。
【即时练习】：计算：(1)－ (2) -
【归纳小结】
1．学习了异分母分式加减法法则，关键是确定最简公分母后通分。
2．多项式分母要因式分解。
3．整式看成分母是1的分式。
4．一些较复杂的题目可以采用逐步通分法。
【达标检测】
1、计算：(1) (2)
(3) (4)
2、用两种方法计算：
3、若,求的值．
【学习课题】 第8课时 解可化为一元一次方程的分式方程（1）
【学习目标】1.掌握解分式方程的一般步骤；
2.了解分式方程增根产生的原因，并理解验根的必要性；
3.进一步强化数学的“转化”思想。
【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤，了解分式方程增根产生的原因并明确解分式方程验根的必要性。
【学习难点】明确解分式方程验根的必要性。
一、学习准备
1.当x= 时，分式无意义。 2.当x= 时分式的值为。
3.的公分母 ；的公分母 。
二、教材解读与挖掘
1.阅读教材11—13页。
2.【例1】：回忆一元一次方程的解法，解方程
解：
第一步，去分母：方程两边同时乘以分母的最小公倍数6得：
第二步，去括号得：
第三步，移项，合并同类
第四步，化x的系数为1得：
【解后反思】本题的易错点：
【例2】：模仿例一的解法及步骤，解方程
第一步，去分母：
第二步，去括号：
第三步，移项，合并同类项得：
第四步，化x的系数为1：
【解后反思】这样解出的x的值是方程的解吗？你怎样检验？
【试一试】解分式方程
【例3】：解分式方程
第一步：
第二步：
第三步：
第四步：
第五步，检验：
【解后反思】解出来的x是方程的解吗，为什么？________________________________
______________________
【教材解读】：
由以上几个例题中可以看出：在将分式方程变形为整式方程时，方程的两边同时乘以原分式方程中的分母的最简公分母，并约去了分母，这样就失去了“分母≠0”的条件的限制，扩大了未知数的取值范围，因此就可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根。
② 增根不是原分式方程的解，但它是原分式方程所化成的整式方程的解。因此在解分式方程时必须验根，为了简便起见，，将所化得的整式方程的解代入最简公分母中，看它的值是否为零。如果为零，即为增根。公式方程的完整解法如下：
【例4】：解方程：
解：去分母：在方程的两边同时乘以得：
去括号，得：
移项，合并同类项，得：
化的系数为1，得：
检验：把代入得：≠0
∴是原分式方程的根。
【小结】你能根据以上几个例题总结出解分式方程的一般步骤？
①_________________②__________________③_____________________④_____________________
三、【达标测试】
方程的解是x=
若关于x的分式方程有增根，则增根可能是
解分式方程：
①： ②： ③ x+1-
④ ⑤ ⑥
⑦ ⑧ ⑨
4、若关于的方程有增根，求m的值。
5、若关于方程会产生增根，试求k的值
【学习课题】 第9课时 解可化为一元一次方程的分式方程（2）
【学习目标】1、掌握解分式方程的一般步骤；
2、掌握解分式方程中的一些常见技巧。
3、能熟练地解含字母系数的一元一次方程。
【学习重点】掌握解分式方程的一般步骤。
【学习难点】.掌握解分式方程中的一些常见技巧。
一、【教材解读】
【例1】解分式方程：
【分析】：本题如果按照分式方程的常规解法，那么所转化出来的整式方程是一个高次方程，这样就会增加解题的难度。因此，解本题时，可采用“整体代入”的思想（将和分别作为一个整体看待，从而使解题过程简单化。
【解】：将原分式方程的两边分别通分，得：
整理，得：
去分母，得：
将和分别作为一个整体，利用分配律运算，得：
化简，得：
解得：
把代入中，≠0，
∴原分式方程的解是：
【即时训练】
（1） （2） （3）
二、【挖掘教材】
【例】解下列关于x的方程：
（1）a2(x－1)＋a(x＋3)=6x＋2（a≠2，a≠－3）； （2）=－（a≠0）；
解：a2x－a2＋ax＋3a=6x＋2， 解：∵ a＋b≠0，a－b≠0，
a2x＋ax－6x=2＋a2－3a， ∴方程两边都乘以(a＋b)(a－b)，得
(a2+a－6)x=a2－3a＋2， (a－b)(x＋1)=2a－(x－1)(a＋b)。
(a－2)(a＋3)x=(a－1)(a－2)。 (a－b)x＋a－b=2a－(a＋b)x＋a＋b，
∵ a≠2，a≠－3， (a－b)x＋(a＋b)x=2a＋a＋b－a＋b，
∴ a－2≠0，a＋3≠0。 2ax=2a＋2b。
方程两边都除以(a－2)(a＋3)，得x=。 ∵ a≠0， ∴ x=。
【即时训练】：解下列关于x的方程：
（1）a(a＋3)x=2(2x＋a－1)。（a≠1,a≠-4） （2）x=－－2x，()
【归纳小结】
1．在方程ax=b（a≠0）中，x是未知数，a和b是用字母表示的已知数，对x来说，a是x的系数，叫字母系数，字母b是常数项，方程ax=b（a≠0）叫含字母系数的一元一次方程。
2．含字母系数的方程的解法与以前学过的只含有数字系数的方程的解法相同，但必须特别注意：用含字母的式子去乘或除方程两边，这个式子的值不能等于零。
【达标训练】
1、解方程：
（1） （2）
2、解方程：①的根是x= ； ②的根是x= 。
③ 的根是x= ； ④的根是x=
……
请你根据规律直接写出第⑤、⑥两个方程及它们的根；
（2） 请你用一个正整数n的式子表示出上述规律，并求出它的根
3、若关于x的方程有增根，则k= 。
4、已知关于x的方程的根相同，则a= .
5、若分式方程有增根，则m的值为多少？
6、已知，求x+y+z的值
7、当m= 时，关于x的方程有增根。
8、（2003，天津）如果，试求A,B的值。
9、若关于x的方程的解为正数，a的取值范围。
【学习课题】 第10课时 列分式方程解应用题
【学习目标】1. 能分析题目中的等量关系，掌握列分式方程解应用题的方法和步骤。
【学习重点】列分式方程解应用题.。
【学习难点】根据题意，找出等量关系，正确列出方程。
一、学习准备
1、阅读教材11—14页。
2、解方程：①： ②：
二、教材解读与挖掘
【例1】、 一队学生去校外参观，他们出发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校出发，按原路追赶队伍.若骑车的速度是队伍进行速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校出发到追上队伍用了多少时间?
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式：
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
路程：骑车行进路程=队伍行进路程= (千米)
速度：骑车的速度= 倍步行速度
时间：骑车所用的时间=步行的时间－ 小时.
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来：
设这名学生骑车追上队伍需x小时，则队伍所走时间(x+0.5)小时。
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：
第五步：（解）解方程得：x=
第六步：（检验）经检验x=是方程的解，∴这名学生追到队伍用了x=
【解后反思】解本题的关键点：
解本题的易错点：
你能用另一种方法解本题吗？
【试一试】已知甲、乙两站相距828千米，一列普通快车与一列直达快车都由甲站开往乙站，直达快车平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2个小时，结果比普通快车早4个小时到达乙站，分别求出两车的平均速度。
第一步：（审）读题，本题属于什么问题，基本公式
第二步：（找）根据题意，找出本题的等量关系：
第三步：（设）用以上的一个等量关系设其中一个为x，并把相关量用x表示出来
第四步：（列）用另外一个等量关系列方程：_________________________________________________
第五步：（解）解方程得：
第六步：（检验） ∴
【例2】：某单位将沿街的房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元，该单位共有多少间房屋？
【解后反思】解本题的关键点：
解本题的易错点：
【小结】你能根据以上几题总结出列分式方程解应用题的一般步骤吗？
三、【达标测试】
1、填空：
(1)一件工作甲单独做要m小时完成，乙单独做要n小时完成，如果两人合做，完成这件工作的时间是______小时；
(2)某食堂有米m公斤，原计划每天用粮a公斤，现在每天节约用粮b公斤，则可以比原计划多用天数是______;
(3)把a千克的盐溶在b千克的水中，那么在m千克这种盐水中的含盐量为______千克.
2、某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结果比第一次少用了18个小时.已知他第二次加工效率是第一次的2.5倍，求他第二次加工时每小时加工多少零件?
3、已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?
把等式中的6用未知数x代替，即等式变为分式方程：；请结合生活实际编一道应用题。
5、某自来水公司水费计算办法如下：若每户每月用水不超过5m3，则每立方米收费1.5元，若每户每月水超过5m3，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是17.5元，李家当月水费是27.5元，超出5m3的部分每立方米收费多少元？
6、为了方便广大游客到昆明参加游览“世博会”，铁道部临时增开了一列南宁—昆明的直达快车，已知南宁—昆明两地相距828km，一列普通列车与一列直达快车都由南宁开往昆明，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍，直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达昆明，求两车的平均速度？
7、某校招生录取时，为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，然后让计算机比较两人的输入是否一致.已知甲的输入速度是乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完.问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？
8、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A开往B，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30分钟，已知小汽车与大汽车的速度之比为5：2，求两车的速度。
【学习课题】 第11课时 零指数幂与负整指数幂
【学习目标】1、使学生掌握不等于零的零次幂的意义。
2、使学生掌握（a≠0，n是正整数）并会运用它进行计算。
3、通过探索，让学生体会到从特殊到一般的方法是研究数学的一个重要方法。
【学习重点】不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点。
【学习难点】不等于零的数的零次幂的意义以及理解和应用负整数指数幂的性质是本节课的重点也是难点【学习过程】：
【学习准备】：讲解零指数幂的有关知识
【问题1】在介绍同底数幂的除法公式am÷an=am-n时，有一个附加条件：m＞n，即被除数的指数大于除数的指数.当被除数的指数不大于除数的指数，即m=n或m＜n时，情况怎样呢？
【教材解读】：
1、先考察被除数的指数等于除数的指数的情况.例如考察下列算式：
52÷52，103÷103，a5÷a5(a≠0).
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得：
52÷52＝52-2＝50，
103÷103＝103-3＝100，
a5÷a5＝a5-5＝a0(a≠0).
另一方面，由于这几个式子的被除式等于除式，由除法的意义可知，所得的商都等于1.
所以，我们可以得到：50=1，100=1，a0=1（a≠0）.
这就是说：任何不等于零的数的零次幂都等于1.
2、讲解负指数幂的有关知识
我们再来考察被除数的指数小于除数的指数的情况，例如考察下列算式： 52÷55， 103÷107，
一方面，如果仿照同底数幂的除法公式来计算，得：52÷55＝52-5＝5-3， 103÷107＝103-7＝10-4.
另一方面，我们可利用约分，直接算出这两个式子的结果为
52÷55＝＝＝， 103÷107＝＝＝.
由此启发，我们规定： 5-3＝， 10-4＝.
一般地，我们规定： (a≠0，n是正整数)
这就是说，任何不等于零的数的－n （n为正整数）次幂，等于这个数的n?次幂的倒数.
【例题讲解】
【例1】计算：（1）810÷810； （2）10-2； （3）
解： （1）810÷810＝810-10＝80＝1.
（2）10-2＝＝.
（3）＝1×＝.
【例2】计算：⑴ ⑵
解： ⑴。
⑵
【例3】、用小数表示下列各数： （1）10-4； （2）2.1×10-5.
解： （1）10-4＝＝0.0001.
（2）2.1×10-5＝2.1×＝2.1×0.00001＝0.000021.
【例4】、一个纳米粒子的直径是35纳米，它等于多少米？请用科学记数法表示.
【分析】 我们知道：1纳米＝米.由＝10-9可知，1纳米＝10-9米.
所以35纳米＝35×10-9米.
而35×10-9＝（3.5×10）×10-9
＝35×101＋（－9）＝3.5×10-8，
所以这个纳米粒子的直径为3.5×10-8
【归纳小结】
引进了零指数幂和负整数幂，指数的范围扩大到了全体整数，幂的性质仍然成立。科学记数法不仅可以表示一个绝对值大于10的数，也可以表示一些绝对值较小的数，在应用中，要注意a必须满足，1≤∣a∣＜10. 其中n是正整数
【达标训练】
1、计算：
（1）（-0.1）0； （2）； （3）2-2； （4）
2、计算
（1） （2）
（3）16÷（—2）3—（）-1+（-1）0
3、用小数表示下列各数：
（1）-10-3×（-2） （2）（8×105）÷（-2×104）
4、用科学记数法表示：
（1）0.000 03； （2）-0.000 0064； （3）0.000 0314； （4）2013 000.
5、用科学记数法填空：
（1）1秒是1微秒的1000000倍，则1微秒＝_________秒； （2）1毫克＝_________千克；
（3）1微米＝_________米； （4）1纳米＝_________微米；
（5）1平方厘米＝_________平方米； （6）1毫升＝_________立方
【学习课题】 第12课时 复习1 本章知识结构梳理(尽量用符号语言填写)
【知识体系】
（1）分式的定义：_______________________________________
（2）分式有意义的条件：_______________________________________
（3）分式无意义的条件：_______________________________________
1、分式的定义 （4）分式 的值为0的条件：__________________________________
（5）分式>0的条件：_______________________________________
（6）分式<0的条件：_______________________________________
（1）基本性质：_______________________________________
公式：_______________________________________
2、分式的基本性质 （2）约分：_______________________________________
（3）通分：_______________________________________
（1）分式的乘除法法则：_______________________________________
公式：_______________________________________
3、分式的运算 同分母的分式相加减：_________________________
（2）分式加减
异分母的分式相加减：_________________________
（1）定义：_______________________________________
（2）解分式方程的步骤：_______________________________________
增根的定义 ：____________________________________
（3）增根 分式方程产生增根的原因：____________________________
4、分式方程 检验增根的方法：____________________________________
（4）解分式方程的方法：_______________________________________
（5）分式方程的应用
【达标练习】：
1、当x __________时，分式的值为零。 2、当x __________时，分式有意义。
3、当x 时，分式有意义。 4、当x= 时，分式的值为零。
5、分式中，当时，分式没有意义，当时，分式的值为零；
6、当x __________时分式有意义；当 时，的值为负数
7、求当x取何值时，分式的值为0。
8、已知分式，当时，分式值为0，当时，分式无意义，求，的值。
【学习课题】 第13课时 复习2 分式的运算
【友情提示】分式的运算包括加、减、乘、除以及他们的混合运算，总起来说分式的乘除运算最终是一个约分的过程，分式的加减运算是一个通分的过程，所以所以约分和通分是本章中两个重要的概念，只要四种运算熟练了，再注意正确的运算顺序及合理的运算律，分式的运算就一般不会出错了。
【例题】计算：
解法一： 解法二：
原式= 原式＝
= ＝
= ＝
= ＝
＝
＝
【达标检测】：
1. 若使式子从左到右变形成立，应满足的条-------（ ）
A、 B、 C、 D、
2. 化简分式：等于------------------------------------------（ ）
A 、1 B、 C、 D、
3. 下列等式成立的是-----------------------------------------------------（ ）
A、 B、 C、 D、
4. 下面三个式子：，，，其中正确的是（ ）
A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个
5. 把分式中的分子、分母的、同时扩大2倍，那么分式的值（ ）
A、都扩大2倍 B、都缩小2倍 C、改变原来的 D、不改变
6. 不改变分式的值，化下列个分式中的分子、分母的系数为整数，其结果不正确的为（ ）
A B
C D
7、化简：＝ ；＝ ； ＝ 。
8、若__________。
9、计算：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）、
（7）、 （8）、
（9） （10）
（11）+ （12）
【学习课题】 第14课时 复习３ 方程的解法及其应用
【友情提示】分式方程是继整式方程后又一类重要的方程，是解决实际问题的又一重要模型，解分式方程时，先要把分式方程转化为整式方程，而这一转化过程可能会出现增根，故必须进行检验。
在应用分式方程解决实际应用问题时，关键是找出等量关系。
【例题1】解方程：
【即时训练】
解下列分式方程：
（1） （2）
（3） （4）
（5）. （6）分式方程+1=有增根，求m的值。
【例题2】八年级学生去距离学校10千米的博物馆参观。一部分同学骑自行车先走，过了20分钟后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车同学的2倍，求骑车同学的速度？
【分析】：本题的等量关系是：(骑自行车同学所用的时间-汽车所用时间= ；
(汽车速度=骑自行车同学的速度2；
(汽车所走的路程=骑自行车的路程=10千米；
【解】：设骑自行车同学的速度为x千米/时，根据题意有：
【即时训练】
1、某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客户要求提前5天交货，设每天应多做x件，则x应满足的方程为（ ）
A、─ B、 C、 D、=5
2、A、B两地相距48千米，一艘轮船从A地顺流航行至B地，又立即从B地逆流返回A地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则可列方程（ ）
A、 B、 C、 D、
3、为了绿化江山，某村计划在荒山上种植1200棵树，原计划每天种x棵，由于邻村的支援，每天比原计划多种了40棵，结果提前了5天完成了任务，则可以列出方程为（ ）
A、 －=5 B、－=5 C、－=5 D、－=5
4、甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的，求步行和骑自行车的速度各是多少？
5、为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？
6、 金泉街道改建工程指挥部，要对某路段工程进行招标，接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知：甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的；若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为0.84万元，乙队每天的施工费用为0.56万元.工程预算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响，拟安排甲、乙两队合作完成这项工程，则工程预算的施工费用是否够用？若不够用，需追加预算多少万元？请给出你的判断并说明理由.
8、一个批发兼零售的文具店规定：凡一次购买铅笔300枝以上（不包括300枝），可以按批发价付款，购买300枝以下（包括300枝）只能按零售价付款。小明来该店购买铅笔，如果给八年级学生每人购买1枝，那么只能按零售价付款，需用120元，如果多购买60枝，那么可以按批发价付款，同样需要120元，
这个八年级的学生总数在什么范围内？
若按批发价购买6枝与按零售价购买5枝的款相同，那么这个学校八年级学生有多少人？