7.3.1 三角函数的周期性 教案

第七章　三角函数
7.3.1 三角函数的周期性
本章的研究对象是周期性现象，建构的是“刻画周期性现象的数学模型”，教材突出了周期性，它是教材的出发点和归属．首先研究“三角函数的周期性”，为此专门列了一节．三角函数的周期性，不是由图象得到的，而是从三角函数的定义，从终边位置周而复始的出现，从诱导公式，即从以前的研究过程中得到的．相反，三角函数周期性的研究为后续图象与性质的研究起了铺垫作用．在正式研究三角函数的性质之前，教科书就从总体上作出了判断：“周而复始的基本性质必然蕴含在三角函数的性质之中”，因为三角函数就是我们为刻划周期运动而建构的数学模型．这样的判断对不对呢？这就促使我们来研究三角函数具有哪些性质？首先什么是“周而复始的基本性质？“这样就提出了本小节的问题：如何用数学语言刻划函数的周期性？这样的设计，不仅为三角函数性质的学习提供了问题背景，突出了本章“建立刻画周期性现象的数学模型”这一主题，而且充分地发挥了理性思维的作用．
课程目标 学科素养
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义. 2.理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数，都存在最小正周期. 3.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期． a数学抽象: 周期函数、周期、最小正周期的定义. b逻辑推理: 理解三角函数都是周期函数，都存在最小正周期. c数学运算: 会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
1.教学重点：理解函数y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x都是周期函数.
2.教学难点：会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期．
1．化简：＝________.
答案：－tan α
2．化简：sin＝________.
答案：－cos α
3．已知sin θ＝，则cos(450°＋θ)＝_________.
解析：cos(450°＋θ)＝cos(360°＋90°＋θ)＝cos(90°＋θ)＝－sin θ＝－.
答案：－
4. 若sin＝a，则cos＝________.
解析：cos＝sin＝sin＝－sin＝－a.
答案：－a
知识点一　周期函数
1．周期函数的定义
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x值 ，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
2．最小正周期
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期．
知识点二　正弦函数、余弦函数、正切函数的周期
1．正弦函数、余弦函数的周期
正弦函数和余弦函数都是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它们的周期，它们的最小正周期都是2π.
2．正切函数的周期
正切函数是周期函数，最小正周期是π.
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的周期
一般地，函数y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω>0)的周期T＝.
典型例题
题型一　求三角函数的周期
例1　求下列函数的周期：
(1)y＝3sin；
(2)y＝2cos.
解　(1)T＝＝＝4.
(2)y＝2cos＝2cos，
∴T＝＝4π.
总结　求三角函数的周期，通常有三种方法
(1)定义法．
(2)公式法：对y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，且A≠0，ω≠0)，有T＝.
(3)观察法(图象法)．
跟踪训练1　(1)函数y＝3cos的最小正周期为________．
(2)y＝2cos的最小正周期为π，则ω＝_____________________.
答案　(1)4π　(2)±2
解析　(1)y＝3cos中ω＝，故T＝4π.
(2)∵T＝＝π，∴ω＝±2.
题型二　利用周期求函数值
例2　若f(x)是以为周期的奇函数，且f＝1，求f的值．
解　∵f(x)是以为周期的奇函数，
∴f＝－f
＝－f＝－f＝f
＝f＝－f，
又∵f＝1，
∴f＝－f＝－1.
总结　(1)利用函数的周期性，可以把x＋nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值．
(2)利用函数性质，将所求转化为可求的x的函数值，从而可解决求值问题．
跟踪训练2　定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝sin x，求f的值．
解　∵f(x)是周期函数，且最小正周期为π，
∴f＝f＝f.
∵f(x)是偶函数，
∴f＝f.
当x∈时，f(x)＝sin x，
∴f＝sin ＝，
∴f＝f＝.
题型三　函数周期性的综合应用
例3　已知函数f(n)＝sin(n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝____________.
解析：由诱导公式知sin＝sin＝sin，
∴f(n＋12)＝f(n)，
且f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0,102＝12×8＋6，
∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)
＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(6)
＝sin＋sin＋…＋sin＝2＋.
答案：2＋
总结　如果一个函数是周期函数，倘若要研究该函数的有关性质，结合周期函数的定义可知，完全可以只研究该函数一个周期上的特征，再加以推广便可以得到函数在定义域内的有关性质．
跟踪训练3　已知 (x)是以π为周期的偶函数，且x∈时， (x)＝1－sin x，当x∈时，求 (x)的解析式．
解：x∈时，3π－x∈，
因为x∈0，时， (x)＝1－sin x，
所以 (3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.
又 (x)是以π为周期的偶函数，
所以 (3π－x)＝ (－x)＝ (x)，
所以 (x)的解析式为 (x)＝1－sin x，x∈.
周期函数的定义是学习中的一个难点．同学们可以从“周而复始的重复出现”出发，如“白天黑夜、白天黑夜”，一步步地使语言精确化，通过“每隔一定时间出现”、“自变量每增加或减少一个值函数值就重复出现”等逐步抽象出函数周期性的定义．