4.2.1 对数的概念 教案

第四章　指数与对数
第4.2.1节　对数的概念
本节课是新课标高中数学苏教版必修①中第四章指数与对数内容的第二课时，对数是一个新的概念，教材是以具体问题为背景，从指数运算与对数运算的互逆关系出发，引进了对数的概念，是对数函数的入门，为后面学习对数函数作铺垫。为学生发现与论证对数的运算性质、研究对数函数提供了方便．
课程目标 学科素养
1.了解对数的概念. 2.会进行对数式与指数式的互化. 3.会求简单的对数值． a数学抽象:对数符号的理解 b逻辑推理:理解指数运算与对数运算之间的关系 c数字运算:掌握基本的对数运算 d数学建模:能够通过对数运算解決实际问题。
1.教学重点：对数的概念、对数式与指数式的互化．
2.教学难点：会求简单的对数值．
1．判断．(对的打“√”，错的打“×”)
(1) ＝－2；(　　)
(2) ＝－2；(　　)
(3)a＝a；(　　)
(4)＝.(　　)
答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2．计算：(1)25＝________；(2)－5＝________；
(3) ＝________.
解析：(1)25＝(52) ＝＝5－1＝.
(2)－5＝(2－1)－5＝2(－1)×(－5)＝25＝32.
(3)＝＝－3＝.
答案：(1)　(2)32　(3)
3．求值：＋＋＋＝________.
解析：原式＝－＋(π－3)＋(3－π)＝0.
答案：0
预习课本P81～82，思考并完成以下问题
1．对数的概念
一般地，如果a(a>0，a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么就称b是以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．
[点睛]　loga N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．
2．常用对数与自然对数
通常将以10为底的对数称为常用对数，为了简便起见，对数log10N简记为lg_N.
在科学技术中，常常使用以e为底的对数，这种对数称为自然对数(其中e＝2.718 28…是一个无理数)，正数N的自然对数logeN一般简记为ln_N.
3．对数与指数的关系
若a＞0，且a≠1，则ax＝N logaN＝x.
对数恒等式：alogaN＝N；logaax＝x(a＞0，且a≠1)．
4．对数的性质
(1)零和负数无对数，即真数N＞0.
(2)底的对数为1,1的对数为0，即logaa＝1，loga1＝0(a＞0且a≠1)．
5.微课辅助
典例剖析
题型一　对数的概念
例1　在N＝log(5－b)(b－2)中，实数b的取值范围是(　　)
A．b<2或b>5 B．2C．4答案　D
解析　∵∴2总结　由于对数式中的底数a就是指数式中的底数a，所以a的取值范围为a>0，且a≠1；由于在指数式中ax＝N，而ax>0，所以N>0.
变式训练1　求f(x)＝logx的定义域．
解　要使函数式有意义，需解得0∴f(x)＝logx的定义域为(0,1)．
题型二　对数基本性质的应用
例2　求下列各式中x的值：
(1)log2(log5x)＝0；
(2)log3(lg x)＝1.
解　(1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.
(2)∵log3(lg x)＝1，∴lg x＝31＝3，∴x＝103＝1 000.
总结　此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问题．
logaN＝0 N＝1；logaN＝1 N＝a使用频繁，应在理解的基础上牢记．
变式训练2　若log2(log3x)＝log3(log4y)＝log4(log2z)＝0，则x＋y＋z的值为(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　A
解析　∵log2(log3x)＝0，∴log3x＝1.
∴x＝3.同理y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
题型三　对数式与指数式的互化
命题角度1　指数式化为对数式
例3　将下列指数式写成对数式：
(1)54＝625；
(2)2－6＝；
(3)3a＝27；
(4)m＝5.73.
解　(1)log5625＝4；(2)log2＝－6；
(3)log327＝a；(4)
总结　指数式化为对数式，关键是弄清指数式各部位的去向：
变式训练3　(1)如果a＝b2 (b>0，b≠1)，则有(　　)
A．log2a＝b B．log2b＝a
C．logba＝2 D．logb2＝a
答案　C
解析　logba＝2，故选C.
(2)将3－2＝，6＝化为对数式．
解　3－2＝可化为log3＝－2；
6＝可化为
(3)解方程：m＝5.
命题角度2　对数式化为指数式
例4　求下列各式中x的值：
(1)log64x＝－；(2)logx8＝6；(3)lg 100＝x；
(4)－ln e2＝x；(5)log(－1)＝x.
解　(1)
(2)因为x6＝8，所以
(3)10x＝100＝102，于是x＝2.
(4)由－ln e2＝x，得－x＝ln e2，即e－x＝e2.
所以x＝－2.
(5)因为
所以(－1)x＝＝＝＝－1，
所以x＝1.
总结　要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求解．
变式训练4　计算：(1)log927；
解　(1)设x＝log927，则9x＝27,32x＝33，∴x＝.
∴x＝16.
(3)
∴x＝3.
对数函数对于学生来说是一个全新的函数模型，学习起来比较困难。而对数函数又是本章的重要内容，在高考中占有一定的分量。通过本节课的学习，可以让学生理解对数的概念，从而进一步深化对对数模型的认识与理解，为学习对数函数作好准备。同时，通过对数概念的学习，对培养学生对立统一 ，相互联系、相互转化的思想 ，培养学生的逻辑思维能力都具有重要的意义。