3.1不等式的基本性质 教案

第三章　不等式
第3．1节　不等式的基本性质
本节内容选自苏教版《普通高中课程标准实验教科书数学必修1》第一册第二章第一节的内容。主要讲解不等式的性质及其运用；
现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，数学中，我们用不等式来表示不等关系。不等式的性质是解决不等式问题的基本依据，凡是不等式的变形、运算都要严格按照不等式的性质进行。
本节通过类比等式的性质，猜想并证明不等式的性质，并用不等式的性质证明简单的不等式，是体会化归与转化，类比等数学思想，和培养学生数学运算能力，逻辑推理能力的良好素材。
在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学几乎所有章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点．
课程目标 学科素养
1. 通过具体情景,感受在现实世界和日常生活中存在着大量不等关系。掌握不等式的性质； 2. 会用不等式的性质证明简单的不等式。3. 培养学生观察、类比、辨析、运用的综合思维能力，体会化归与转化、类比等数学思想，提高学生数学运算和逻辑推理能力； 1.逻辑推理：运用不等式的性质证明不等式； 2.数学运算：运用不等式的性质求解证明不等式； 3.直观想象：在几何图形中发现不等式； 4.数学建模：能够在实际问题中构建不等关系，解决问题。
重点：将不等关系用不等式表示出来，理解并证明不等式的性质；
难点：并能用不等式的性质证明一些简单的不等式；
学案的印制分发、多媒体课件调试。
让学生看图片，并领会在日常生活、生产实际和科学研究中经常要进行大小、多少、高低、轻重、长短、快慢、远近等的比较，反映在数量上就是相等与不等两种情况，通过具体的情境，让学
生感受到现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，激发学生的学习热情，并让学生展开联想，进人新课的学习
典例剖析
题型一 用不等式表示不等关系
例1　某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本.据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本.若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢？
解　提价后销售的总收入为x万元，
那么不等关系“销售的总收入仍不低于20万元”可以表示为不等式x≥20.
点评　数学中考查的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系.用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时
(1)要先读懂题，设出未知量；
(2)抓关键词，找到不等关系；
(3)用不等式表示不等关系.思维要严密、规范.
题型二　比较大小
例2　已知a，b均为正实数.试利用作差法比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小.
解　∵a3＋b3－(a2b＋ab2)＝(a3－a2b)＋(b3－ab2)
＝a2(a－b)＋b2(b－a)
＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).
当a＝b时，a－b＝0，a3＋b3＝a2b＋ab2；
当a≠b时，(a－b)2>0，a＋b>0，a3＋b3>a2b＋ab2.
综上所述，a3＋b3≥a2b＋ab2.
点评　比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号.作差法比较实数的大小的一般步骤是：差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式.
变式训练1：已知x<1，试比较x3－1与2x2－2x的大小.
解　∵(x3－1)－(2x2－2x)＝x3－2x2＋2x－1
＝(x3－x2)－(x2－2x＋1)＝x2(x－1)－(x－1)2
＝(x－1)(x2－x＋1)＝(x－1)，
又∵2＋＞0，x－1<0，
∴(x－1)<0，∴x3－1<2x2－2x.
变式训练2：若a＝1816，b＝1618，则a与b的大小关系为________．
解析：＝＝16＝1616＝16，
∵∈(0,1)，∴16<1，
∵1816>0,1618>0，∴1816<1618，即a答案：a点评　作商法的依据：若b＞0，则＞1 a＞b.
微课辅助
题型三　不等式的基本性质
例3　已知a>b>0，c<0，求证：>.
证明　因为a>b>0，所以ab>0，>0.
于是a×>b×，即>.由c<0，得>.
点评　有关不等式的证明，最基本的依据是不等式的8条基本性质，在解不等式时，对不等式进行有关变形的依据也是8条基本性质.
变式训练：如果a>b>0，c>d>0，证明：ac>bd.
证明
ac>bd.
不等式的性质
品味生活
日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖，则这杯糖水变甜了.请根据这一事实提炼出一道不等式，并加以证明.
通过具体背景与实例，经历利用不等式来刻画不等关系，并解决实际问题的过程，感受和体会不等式与函数、方程等相关内容的密切联系．进而从整体上理解和把握数学的结构，灵活运用数学的思想和方法，提高分析问题、解决问题的能力．