课件26张PPT。本章小结 一、函数的零点与方程根的关系
确定函数零点的个数有两个基本方法，一是利用图象研究与x轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性判断．二是判断区间(a，b)上是否有零点，可应用f(a)·f(b)<0判断，但还需结合函数的图象和单调性，特别是二重根容易漏掉．【例1】 求函数f(x)＝ex＋4x－4的零点的个数．
思路分析：可以利用计算机画出f(x)的图象，利用图象的直观性直接判断；也可以利用函数的单调性及区间(a，b)内存在零点的条件进行判断；或令f(x)＝0，即有ex＝4(1－x)，然后在同一直角坐标系中作出y＝ex，y＝4－4x的图象，观察两图象交点的个数．解法一：利用计算机画出函数f(x)＝ex＋4x－4的图象，如下图所示，可知函数有一个零点，且零点在(0,1)之间．
解法二：∵函数f(x)的图象是连续不断的，且f(0)＝－3<0，f(1)＝e＋4×1－4＝e>0，
∴f(0)f(1)<0，又函数f(x)在R上是增函数，
∴函数f(x)在(0,1)之间有且只有一个零点．解法三：根据函数零点与方程实根之间的关系，令f(x)＝0，即有ex＝4－4x.
在同一直角坐标系中分别作出y＝ex，y＝4－4x的图象，如右图所示，由右图易知，两函数图象仅有一个公共点，故方程ex＝4－4x有唯一实根，从而函数f(x)＝ex＋4x－4有唯一的零点．
温馨提示：对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要用零点存在定理来判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需结合函数的单调性情况，其步骤是：
(1)用计算器或计算机列出x、f(x)的对应值表；
(2)用描点法作出函数的图象；
(3)取区间[a，b]，判断f(a)·f(b)<0是否成立；
(4)判断函数f(x)的单调性；
(5)结合单调性确定函数零点的个数．【例2】 若关于x的方程x2＋(m－1)x＋1＝0在[0,2]内有解，求m的取值范围．
思路分析：构造函数，利用对称轴、判别式、端点函数值建立不等式组．解法二：由Δ≥0?m≥3或m≤－1.
若m≥3，则x1＋x2<0，x1·x2＝1，
故方程有两个负根，不合题意；
若m≤－1，则x1＋x2>0，x1·x2＝1，
∴方程有两个正根，且互为倒数．
∴方程在[0,1]内必有一个根，
∴方程在[0,2]内必有一个根?m≤－1.二、函数模型及应用
把握函数模型的分类，熟练掌握不同类型应用题的解题步骤，比较例题的类型．通过体会实例来掌握各类应用题的解法．函数模型的应用实例主要包含三个方面：1.利用给定的函数模型解决实际问题；2.建立确定性函数模型解决问题；3.建立拟合函数模型解决实际问题．【例3】 如图所示是某厂老板和工会主席所画的股东红利和工资增长的函数图，通过以下两图能说出老板和工会主席各持什么观点吗？思路分析：老板所画的两条线平行，说明其增长幅度相同，工会主席所画的两条线起点重合，说明随后的增长率有差异．解：老板和工会主席都选择一次函数来描述此问题，直线的倾斜程度就反映出了增长的快慢，老板从工资额增长的角度说明工资总额和股东红利在数量上同步增长，工会主席从增长率的角度说明股东红利提高的速度比工资总额提高的速度要快．【例4】 某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加1辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？
(2)每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月利益是多少？思路分析：(1)先求出未租出的车辆数．
(2)收益＝租车总收入－已租车辆维护费－未租车辆维护费．【例5】 某商场经营一批进价是30元/件的商品，在市场试销中发现，此商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系：(1)在所给坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定y与x的一个函数关系式y＝f(x)；
(2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少元时，才能获得最大的日销售利润？思路分析：依据表中的数据作为点的坐标画出散点图．再确定模拟函数来解决．解：(1)根据上表作图，如下图中点(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)，它们近似在同一条直线上，设它们共线于直线l∶y＝kx＋b.(2)依题意有P＝y(x－30)＝(－3x＋150)(x－30)
＝－3(x－40)2＋300.
∴当x＝40时，P有最大值300.
故当销售单价为40元时，才能获得最大日销售利润．第三章 素质测评
一、选择题
1．若函数f(x)＝，则函数g(x)＝4f(x)－x的零点是
( )
A．－2 B．2
C．－ D.
解析：g(x)＝－x＝
＝＝0，则x＝2.
答案：B
2．方程x－1＝lgx必有一个根的区间是
( )
A．(0.1,0.2) B．(0.2,0.3)
C．(0.3,0.4) D．(0.4,0.5)
解析：设f(x)＝lgx－x＋1，f(0.1)＝lg0.1－0.1＋1＝－0.1<0，f(0.2)＝lg0.2－0.2＋1≈0.1>0，f(0.1)f(0.2)<0.
答案：A
3．实数a、b、c是图象连续不断的函数y＝f(x)定义域中的三个数，且满足a
( )
A．2 B．奇数
C．偶数 D．至少是2
解析：∴f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，∴f(a)·f(c)>0，即图象在区间(a，c)上至少有两个交点．
答案：D
4．若函数f(x)唯一的一个零点同时在区间(0,16)、(0,8)、(0,4)、(0,2)内，那么下列命题中正确的是
( )
A．函数f(x)在区间(0,1)内有零点
B．函数f(x)在区间(0,1)或(1,2)内有零点
C．函数f(x)在区间[2,16)上无零点
D．函数f(x)在区间(1,16)内无零点
解析：依题意知零点在区间(0,2)内，故选C.
答案：C
5．若函数y＝f(x)在区间(－2,2)上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(－2,2)上仅有一个实数根，则f(－1)·f(1)的值
( )
A．大于0 B．小于0
C．无法判断 D．等于零
解析：由题意不能断定零点在区间(－1,1)内部还是外部．
答案：C
6．某种细菌在培养过程中，每15分钟分裂一次(由一个分裂成两个)，这种细菌由1个繁殖成4096个需经过的小时数为
( )
A．12 B．4
C．3 D．2
解析：设需要经过x次分裂，则4096＝2x，解得x＝12，
∴时间t＝＝3小时．
答案：C
7．某农民计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的农药和化肥，根据需要，农药至少要3瓶，化肥至少要2袋，则不同的选购方式有
( )
A．5种 B．6种
C．7种 D．8种
解析：设购买农药x瓶，化肥y袋，其中x∈N，y∈N，且x≥3，y≥2，则60x＋70y≤500，即6x＋7y≤50.因此不同的选购方式有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)，共7种．
答案：C
8．按复利计算利率的储蓄，存入银行5万元，年息为6%，利息税为20%,4年后支取，可得利息为人民币
( )
A．5(1＋0.06)4万元
B．(5＋0.06)4万元
C．4[(1＋0.06)4－1]万元
D．4[(1＋0.06)3－1]万元
解析：由已知4年利息和为5×(1＋6%)4－5，扣去20%的利息税余5×[(1＋6%)4－1]×(1－20%)＝4[(1＋6%)4－1]．
答案：C
9．储油30 m3的油桶，每分钟流出m3的油，则桶内剩余油量Q(m3)以流出时间t(分)为自变量的函数的定义域为
( )
A．[0，＋∞) B．[0，]
C．(－∞，40] D．[0,40]
解析：Q＝30－t，由于30－t≥0，∴t≤40，
又∵t≥0，∴定义域为[0,40]，故选D.
答案：D
10．扇形的周长10 cm，扇形面积S是半径R的函数，则此函数的值域是
( )
A．(0，] B．(0，πR2]
C．(0，πR2) D．(0，)
解析：设圆心角为θ，则10＝2R＋θR，∴θ＝，面积S＝θR2＝××R2＝5R－R2＝－(R－)2，∴0答案：A
11．从盛满20升酒精的容器里倒出1升后用水加满，再倒出1升混合溶液后又用水填满，这样继续进行，若倒第k(k≥1)次倒出酒精f(k)升，则f(k)的表达式为
( )
A．f(k)＝k B．f(k)＝()k－1
C．f(k)＝ D．f(k)＝＋1
解析：第1次倒出1升酒精，第2次倒出1×()升酒精，第3次倒出1×()2升酒精……故第k次倒出()k－1升酒精．
答案：B
12．某商店迎来店庆，为了吸引顾客，采取“满一百送二十，连环送”的酬宾促销方式，即顾客在店内花钱满100元(可以是现金，也可以是奖励券或二者合计)，就送20元奖励券；满200元，就送40元奖励券；满300元，就送60元奖励券；……当日花钱最多的一位顾客共花出现金70040元，如果按照酬宾促销方式，他最多能得到优惠
( )
A．17000元 B．17540元
C．17500元 D．17580元
解析：这位顾客花的70000元可得奖励券700×20＝14000(元)，只有这位顾客继续把奖励券消费掉，也才能得到最多优惠，但当他把14000元奖励券消费掉可得140×20＝2800元奖励券再消费又可得到28×20＝560(元)奖励券，560元消费再加上先前70040中的40元共消费600元应得奖励券6×20＝120元．
120元奖励券消费时又得20元奖励券．
∴他总共会得到14000＋2800＋560＋120＋20＝17500(元)优惠．
答案：C
二、填空题
13．函数y＝x2与函数y＝xlnx在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________．
解析：对数函数增长速度较为缓慢．
答案：y＝x2
14．长为4，宽为3的矩形，当长增加x，且宽减少时的面积最大，此时x＝________，面积S＝________.
解析：S＝(4＋x)(3－)＝－＋x＋12＝－(x2－2x－24)＝－(x－1)2，当x＝1时，Smax＝.
答案：1
15．下表是函数f(x)在区间[1,2]上一些点的函数值.
x
1
1.25
1.375
1.4065
1.438
1.5
1.625
1.75
1.875
2
f(x)
－2
－0.984
－0.260
－0.052
0.165
0.625
1.982
2.645
4.35
6
由此可判断方程f(x)＝0的一个近似解为________．(精确到0.1)
解析：由表知f(1.4065)·f(1.438)<0
∵近似解x0∈(1.4065,1.438)，
取x0＝＝1.4225≈1.4.
答案：1.4
16．若函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点个数为3，则a＝________.
解析：作出函数y＝|x2－4x|与函数y＝4的图象，发现它们恰有3个交点．
答案：4
三、解答题
17．有一批单放机原价为每台80元，在两个商场降价销售，甲商场优惠的办法是：买一台少收4元，买两台每台少收8元，买三台每台少收12元……依次类推，直到减到半价为止，乙商场的优惠办法是：一律按原价的70%销售，某单位为每名职工买一台，问买哪一个商场的单放机较合算．
解：设某单位职工为x人，即购买x台，则甲商场：该单位的花费为y1＝(x∈N*)
乙商场：该单位的花费为y2＝80×x×70%＝56x.
若x>10，则y2>y1，购买甲商场的单放机合算；
若0即0y2，购买乙商场的单放机合算；
6x＝6时，在两个商场购买单放机一样；
综合当06时，在甲商场购买合算．
18．麦当劳店每天的房租、人员工资等固定成本为200元，某种食品每份的成本价是5元．销售单价与日均销售量的关系如下表所示：
销售单价/元
6
7
8
9
10
11
12
日均销售量/份
440
400
360
320
280
240
200
请你根据以上数据作出分析，该麦当劳店怎样定价才能获得最大利润？
解：设定价为x元，利润为y元．
y＝(x－5)[440－40(x－6)]－200
＝－40x2＋880x－3600
＝－40(x－11)2＋1240，
x∈(5,17)，
当x＝11时，ymax＝1240.
定价为11元时，利润最大．
19．经市场调查，某商品在120天内的日销售量和售价均为时间t(天)的函数，日销售量与时间的关系用下图(1)的一条折线表示，售价与时间的关系用下图(2)的一条折线表示．
(1)写出图(1)表示的日销售量(千克)与时间t的函数关系式Q＝g(t)；写出图(2)表示的售价(元/千克)与时间t的函数关系式P＝f(t)．
(2)求日销售额y(元)与时间的函数关系式，并求出日销售额最高的是哪一天？最高销售额是多少？(注：日销售额＝日销售量×售价)
解：(1)g(t)＝
f(t)＝
(2)当0＝－t2＋5t＋600＝－(t－30)2＋675，
∴当t＝30时，ymax＝675(元)．
当60≤t≤120时，y＝(－＋60)(t＋15)
＝－t2－t＋900＝－(t＋30)2＋，
∴当x∈[60,120]时，y＝f(x)为减函数．
∴当t＝60时，ymax＝600(元)．
综上得日销售额与时间的函数关系为
y＝
∴第30天日销售额最高，最高销售额为675元．
20．对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点．已知f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)(a≠0)．
(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；
(2)若对b∈R，函数f(x)恒有两个相异的不动点．求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝x2－x－3，若x0是不动点，则f(x0)＝x0，即x－2x0－3＝0，
∴x0＝－1或x0＝3，∴3和－1是f(x)的不动点．
(2)f(x)恒有两个不动点，则f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋(b－1)＝x，即ax2＋bx＋(b－1)＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝b2－4a(b－1)>0恒成立，即b2－4ab＋4a>0恒成立．∴(－4a)2－4×4a<0，即a2－a<0.∴021．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c.若任意x1，x2∈R，且x1解：∵f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]，
∴ax2＋bx＋c＝(ax＋bx1＋c＋ax＋bx2＋c)，
整理得：2ax2＋2bx－a(x＋x)－b(x1＋x2)＝0，
∴Δ＝4b2＋8a[a(x＋x)＋b(x1＋x2)]
＝2[(2ax1＋b)2＋(2ax2＋b)2]．
∵x1，x2∈R，x1∴Δ>0，故方程有两个不相等的实数根．
令g(x)＝f(x)－[f(x1)＋f(x2)]，则
g(x1)g(x2)＝－[f(x1)－f(x2)]2.
又f(x1)≠f(x2)，则g(x1)g(x2)<0，故方程f(x)＝[f(x1)＋f(x2)]有一个根属于(x1，x2)．
22．某小型自来水厂的蓄水池中存有400吨水，自来水厂每小时可向蓄水池中注入60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断地供水，t小时内供水总量为120吨(0≤t≤24)．
(1)从供水开始后几个小时，蓄水池中的水量最少？最少水量有多少吨？
(2)若蓄水池中水量少于80吨，就会出现供水紧张现象．试问在一天的24小时内，有几小时出现供水紧张现象？并说明理由．
解：(1)设蓄水池中的总水量为y则
y＝400＋60t－120(0≤t≤24)，
配方整理得
y＝60(－)2＋40 (0≤≤2)，
当＝时，y有最小值40，
即从供水开始后6小时，蓄水池水量最少，最少量有40吨．
(2)据题意当y<80时，会出现供水紧张现象．
即：400＋60t－120<80,3t－6＋16<0，
令＝m，则t＝m2，
∴m2－6m＋16<0，∴4∴即∴一天中有－＝8小时出现供水紧张现象．
