2.1.2 函数的表示方法 学案（1）
【预习要点及要求】
1．函数的表示方法；
2．了解列表法、图像法、解析法三种表示方法；
3．会画简单函数的图象。
【知识再现】
1、映射的概念:___________________________________
2、映射与函数的关系：__________________________
【概念探究】
学生看课本P38-39，完成下列填空。
①函数y=f(x)常用的表示方法有三种，分别是 ， ， 。
②通过 来表示函数关系的方法叫列表法。
用 表示函数的方法叫做图象法。
如果在函数y=f(x), 中， ，则这种表示方法叫做解析法。
1、如何理解图象上任一点的坐标与函数y=f(x)的对应关系。
2、如何检验一个图形是否是一个函数的图象？
自主学习
课本P39，例1
总结作函数图象的步骤：（1） （2） （3）
体会数形结合的思想。
完成课本P41练习A1、2 P42 练习B 1、2
P40例2
理解取整函数的含义。
完成课本P42练习A 4
【例题讲解】
例1、在学校的洗衣店中每洗一次衣服（4.5公斤以内）需要付费4元，但在这家店洗衣10次可以免费洗一次。
（1）根据题意填写下表：
洗衣次数n
5
9
10
11
15
洗衣费用c
（2）费用c是次数n的函数还是次数n是费用c的函数？
例2、作出下列函数的图象：
（1） （2）
【当堂练习】
1、下列式子或表格：
① ② ③
④
x
1
2
3
4
5
y
90
89
89
85
95
其中表示y是x的函数的是（ ）
A、①②③④ B、①②④ C、②③ D、③④
2、从水平位置的球体容器顶部的一个孔向球内以相同的速度注水，容器水面的高度h与注水时间t之间的关系用图象表示为（ ）
3、据新华社2002年3月12日电，1985年到2000年内，我国农村人均居住面积如下图所示，其中从 年到 年的五年间增长最快。
4、某种笔记本的单价是5元，买本笔记本需要y元，试用函数的三种表示法表示函数y=f(x)
参考答案
【例题讲解】
例1、
（1）
洗衣次数n
5
9
10
11
15
洗衣费用c
20
36
40
40
56
（2）费用c是次数n的函数。
例2、（1）这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y=1+x上，如图（1）所示。
（2）∵，∴ 这个函数的图象是抛物线介于之间的一段弧，如图（2）所示。
【当堂练习】
1、D 2、A 3、1995，2000
4、这个函数的定义域是数集{1, 2, 3, 4, 5}, 用解析法可将函数f(x)表示为。用列表法可将函数y=f(x)表示为
笔记本数x
1
2
3
4
5
钱数y
5
10
15
20
25
用图象法可将函数y=f(x)表示为（如图所示）
2.1.2函数的表示方法 学案（2）
【预习要点及要求】
1．分段函数的概念。
2。了解分段函数的函数，会画比较简单的分段函数的图象。
【知识再现】
1、函数的概念:___________________________________
2、函数的三种表示方法：______________________________________
3、函数解析式的求法：______________________________________
【概念探究】
完成课本P42 例4，完成填空
分段函数是指：
课本P43例5
思考：①分段函数的表示形式；
②分段函数图象的画法。
完成课本P43，练习A1—3 P43练习B1—2
【例题讲解】
例1．已知函数
（1）画出函数的图象；
（2）根据已知条件分别求f(1)、f(-3)、、的值。
例2．某汽车以52千米/小时的速度从A地驶向260千米远处的B地。在B地停留小时后，再以65千米/小时的速度返回A地，试将汽车离开A地后行走的路程S表示为时间t的函数。
例3．已知函数，求f(x+1)
【当堂练习】
1、函数的图象是（ ）
2、在函数x的值是（ ）
A、1 B、1或 C、 D、
3、水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）。
给出以下三个论断：
①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水；
③4点到6点不进入不出水；
其中一定正确的论断是（ ）
A、① B、①② C、①③ D、①②③
4、设函数，则f(x)的解析式f(x)= 。
参考答案
【例题讲解】
例1、（1）函数图象如图所示：
（2）f(1)=12=1
f(-3)=0.
f[f(-3)]=f(0)=1
f{f[f(-3)]}= f[f(0)]=f(1)=12=1
例2、解：260÷52=5（小时），260÷65=4（小时）
所以
例3、
【当堂练习】
1、C
2、D
3、A
4、
2.1.2 函数的表示方法 教案(1)
一、教学目标
1、知识目标：
(1) 掌握函数的三种常见的表示方法；
(2) 了解函数表示形式的多样性用其转化．
2、能力目标：
(1) 使学生掌握函数的三种常用表示方法的选用；
(2) 使学生初步认识用函数的知识解决具体问题；
(3) 使学生初步了解数形结合的思想方法．
3、情感目标：
通过本节课的教学，使学生认识到数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．
二、教学重点：
对函数图象的分析．
三、教学难点：
通过函数的解析式分析函数的图象．
四、教学过程：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
1、函数的概念；
2、函数的定义域和对应法则；
问题1：初中时我们是如何作函数y = 2x + 1的图象的？
教师提出问题，学生思考后回答问题．
通过对旧知识的回顾，为新知识的学习做好认知铺垫．
概念形成
投影出P38人口普查实例．
问题2：所列表格能否表示一个函数？为什么？
1、列表法：
通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法．
问题3：y = 2x + 1的图象能否表示一个函数？为什么？
2、图象法：
如果图形是函数的图象，则图象上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图象上．这种由图形表示函数的方法叫做图象法．
问题4：我们在作作函数y = 2x + 1的图象时，先列表，后描点作图．这实际上就是函数的列表法表示和图象法表示，而y = 2x + 1这种表示方法则叫做解析法．你能给解析法下个定义吗？
3、解析法：
如果在函数中，是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法．
教师逐一提出问题，学生思考后回答，依次引入函数的三种常见的表示方法．
通过生活中的实际问题，使学生进一步认识到，数学源于生活；
通过对学生熟悉的问题1引入函数的三种常见的表示方法，使学生感受到本课所学的知识仅仅是以前所学知识的概括与深化．
概念深化
概念深化
问题5：三种表示函数的方法各有优缺点．请你认真思考、对比，或与周围的同学研究、探讨一下，然后谈谈你的看法，供其他同学参考和借鉴．
4、三种表示函数的方法各有优缺点：
(1) 用解析法表示函数关系
优点：简间明了．能从解析式清楚看到两个变量之间的全部相依关系，并且适合于进行理论分析和推导计算．
缺点：在求对应值时，有进要做较复杂的计算．
(2) 用列表法表示函数关系
优点：对于表中自变量的每一个值，可以不通过计算，直接把函数值找到，查询时很方便．
缺点：表中不能把所有的自变量与函数对应值全部列出，而且从表中看不出变量间的对应规律．
(3) 用图象法表示函数关系
优点：形象直观．可以形象地反映出函数关系变化的趋势和某些性质，把抽象的函数概念形象化．
缺点：从自变量的值常常难以找到对应的函数的准确值．
教师提出问题，让学生充分思考、探讨、交流，然后发表意见．
通过对函数三种表示方法的优缺点比较，使学生进一步理解概念，并在今后的学习中学会根据情况选择恰当的表示方法
应用举例
例1（教材P39）作函数y =的图象．
例2 购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y表示为x(x ({1，2，3，4})的函数，并指出函数的值域．
例3（教材P41）已知函数y = f(n)，满足f(0) = 1，且f(n) = n f(n ( 1)，n ( N+．求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．
例4 (教材P40例2) 设x是任意的一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．
启发学生探索完成，教师板演例1示范．
通过应用举例，使学生进一步理解函数三种表示方法的联系与区别．
巩固练习
教材第41—42页：练习A、B．
学生练习，教师巡视．
使学生巩固本节所学知识．
归纳小结
5．小结：
函数的三种基本表示方法，各有各的优点和缺点.因此，要根据不同问题与需要，灵活地采用不同的方法.在数学或其他科学研究与应用上，有时把这三种方法结合起来使用，即由已知的函数解析式，列出自变量与对应的函数值的表格，再画出它的图象．
学生总结，补充，教师归纳、完善．
使学生养成归纳总结的好习惯．
布置作业
1．教材第53页 习题2-1B第5题；
2．思考题：用计算机软件画出函数，，，的图像．
学生课外练习与思考．
使学生巩固本节所学知识和方法；
通过思考题培养学生对信息技术的运用能力，进一步感知表示函数的解析法与图象法间的内在联系．
2.1.2 函数的表示方法 教案(2)
一、教学目标
1、知识目标：
(1) 进一步理解函数的三种表示方法；
(2) 了解简单的分段函数，并能简单应用．
2、能力目标：
(1) 进一步提高对函数本质的理解；
(2) 初步培养学生运用函数知识解决实际问题的能力．
3、情感目标：
通过本节课的教学，使学生进一步认识到，数学源于生活，数学也可应用于生活，能够解决生活中的实际问题．
二、教学重点：
函数解析式的求法．
三、教学难点：
对函数分段解析式的理解．
四、教学过程：
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
问题1：函数有哪三种常见的表示方法？它们各有何优缺点？
教师提出问题，学生思考后回答问题．
通过对旧知识的回顾，为新知识的学习做好认知铺垫．
概念形成
投影出如下实例．
问题2：由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表：
重量级别
资费(元)
20克及20克以内
1.50
20克以上至100克
4.00
100克以上至250克
8.50
250克以上至500克
16.70
若设信函的重量为W(克)，应支付的资费为P元，能否建立函数P = f(W)的解析式？
教师提出问题，学生思考后回答，导出分段函数的概念．
通过生活中的实际问题，使学生进认识到，数学源于生活．
概念深化
问题3：分段函数是“一个函数”，还是“几个函数”？
问题4：分段函数中的“段”是不是一定等长？
问题5：以前我们见过分段函数吗？
教师提出问题，让学生充分思考、探讨、交流，然后发表意见．
通过讨论、交流，使学生初步理解分段函数是“一个函数”，还是“几个函数”；分段函数中的“段”不一定等长．
应用举例
应用举例
例1（教材P42例4）已知一个函数y = f(x)的定义域为区间[0，2]，当x ([0，1]时，对应法则为y = x，当x ((1，2(时，对应法则为y = 2 ( x，试用解析法与图象法分别表示这个函数．
例2（教材P43例5）在某地投寄外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依次类推，每封xg (0 < x ( 100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．
例3在矩形ABCD中，AB = 4m，BC = 6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过t秒后，所构成的△ABP 面积为Sm2，求函数S = f(t)的解析式，并画出该函数的图象．
启发学生探索完成，教师板学演例1示范．
对于例2，教师注意帮助学生理解题意．
通过应用举例，使学生进一步理解函数三种表示方法的联系与区别．
巩固练习
1．教材第43—44页：练习A、B．
2．以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象．
学生练习，教师巡视．
使学生巩固本节所学知识．
拓展思维
1、讨论分别用x ( a，y ( b分别替换函数y = f(x)中的x，以后函数的图象会发生哪些变化？
2、讨论分别用( x，( y分别替换函数y = f(x)中的x，y以后函数的图象会发生哪些变化？
3、讨论分别用ax，by分别替换函数y = f(x)中的x，y以后函数的图象会发生哪些变化？
4、讨论分别用| x |，| f(x) |分别替换函数y = f(x)中的x，f(x)以后函数的图象会发生哪些变化？
5、若f(3 ( x) = f(3 + x)，那么函数f(x)的图象有何性质？
6、y = f(3 ( x)与y = f(3 + x)的图象之间有何关系．
学生思考、探索、讨论、交流，教师适时点拔．
使学生初步了解函数图象的几种基本变换(平移变换、伸缩变换、对称变换等)，拓展学生思维，开阔学生视野，为后续学习打下一定的基础．
归纳小结
小结：
本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法，还学习了一些基本的函数图象变换知识．
学生总结，补充，教师归纳、完善．
使学生养成归纳总结的好习惯．
布置作业
1．教材第53页 习题2-1A第9题；
2．思考题：甲、乙两人分别骑自行车与摩托车从A城出发到B城旅游．甲、乙两人离开A城的路程与时间之间的函数图象如图所示．根据图象你能得到甲、乙两人旅游的哪些信息？
学生课外练习与思考．
使学生巩固本节所学知识和方法；
通过思考题，培养学生的观察能力和归纳总结的能力．
附思考题参考答案：
根据图象能得到甲、乙两人旅游的以下一些信息：
1．甲骑自行车从A城去B城用了8个小时．乙骑摩托车从A城去B城用了2个小时．
2．甲比乙早4个小时出发，晚2个小时到达．
3．甲骑自行车在出发后第一个2小时内行驶了40千米，第二个2小时内行驶了20千米，然后停留了1个小时，又在1个小时内行驶了20千米，最后用2个小时行驶了20千米完成全程到达B城．
4．乙骑摩托车在2小时内行驶了100千米路程到达B城．
5．甲、乙在距A城60多千米的地方相遇一次．
2.1.2函数的表示方法 教案(3)
教学目标：根据要求求函数的解析式、了解分段函数及其简单应用
教学重点：函数解析式的求法
教学过程：
分段函数
由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表
重量级别
资费（元）
20克及20克以内
1.50
20克以上至100克
4.00
100克以上至250克
8.50
250克以上至500克
16.70
引出问题：若设信函的重量为（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导出分段函数的概念。
通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法
可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出P点与A点距离与的函数关系式。
2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过秒后，所构成的△ABP 面积为m2，求函数的解析式。
3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。
2．例题讲解
例1、已知函数
求f(2), f(3), f(4), f(5)的值。
例2、已知，求f(x)；
例3、已知，求f(x);
例4、f(x)是二次函数，且f(2)=-3, f(-2)=-7, f(0)=-3，求f(x)。
参考答案：
例1、解：
，
例2、（1）因为
例3、令
则
所以。
例4、（1）设
∵
∴ 解理
∴
课堂练习：教材第46页 练习A、B
小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法.
达标练习：
1、若f(x)为一次函数，，则f(x)的解析式为（ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[3.1]=3，则f(-3,5)等于（ ）
A、-2 B、 C、1 D、2
3、已知，求f(x)的解析式。
4、已知二次函数满足，且方程f(x)=x有等根。
求f(x)的解析式。
答案
1、B 2、C
3、令
所以
即
4、由题意知有等根，这个方程的根是0，所以b-1=0，所以b=1。
由可得，
，
解得
所以
课后作业：（略）
2.1.2函数的表示方法(一)
教学目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数
教学重点：图像法、列表法、解析法表示函数
教学过程：
1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法
2、图像法：如果图形是函数的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法.
3、如果在函数中，是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法
4、与x轴垂直的直线至多与函数的曲线有一个交点
5、用计算机软件画出函数，，，的图像
6、讨论分别用，分别替换函数中的，以后函数的图像会发生哪些变化？
7、讨论分别用，分别替换函数中的，以后函数的图像会发生哪些变化？
8、讨论分别用，分别替换函数中的，以后函数的图像会发生哪些变化？
9、讨论分别用，分别替换函数中的，以后函数的图像会发生哪些变化？
10、试作出下列函数的图像：
（1） （2）
11、若，那么函数的图像有何性质？
12、与的图像之间有何关系
13、第44页例3
课堂练习：教材第45页 练习A、B
小结：本节课学习了图像法、列表法、解析法表示函数.
课后作业：第58页 习题2-1B第5题
2.1.2函数的表示方法(二)
教学目标：根据要求求函数的解析式、了解分段函数及其简单应用
教学重点：函数解析式的求法
教学过程：
分段函数
由实际生活中，上海至港、澳、台地区信函部分资费表
重量级别
资费（元）
20克及20克以内
1.50
20克以上至100克
4.00
100克以上至250克
8.50
250克以上至500克
16.70
引出问题：若设信函的重量为（克）应支付的资费为元，能否建立函数的解析式？导出分段函数的概念。
通过分析课本第46页的例4、例5进一步巩固分段函数概念，明确建立分段函数解析式的一般步骤，学会分段函数图象的作法
可选例：1、动点P从单位正方形ABCD顶点A开始运动，沿正方形ABCD的运动路程为自变量，写出P点与A点距离与的函数关系式。
2、在矩形ABCD中，AB＝4m，BC＝6m，动点P以每秒1m的速度，从A点出发，沿着矩形的边按A→D→C→B的顺序运动到B，设点P从点A处出发经过秒后，所构成的△ABP 面积为m2，求函数的解析式。
3、以小组为单位构造一个分段函数，并画出该函数的图象。
补充综合例题
例1根据下列条件分别求出函数的解析式
(1) （3）
注：（1）观察法 （2）方程法 （3）换元法
例2设二次函数满足：且图像在轴上的截距为1，被轴截得的线段长为，求函数的解析式
例3设为定义在上的偶函数，当时，得图像经过，斜率为1的射线，又在的图像中有一部分是顶点为，且过点（-1，1）的一段抛物线，试写出函数的表达式，并作出函数的图像
例4用长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为，求此框架围成的面积与的函数解析式.
例5．设 求f[g(x)]。
解： ∴
∴
∴
例6．已知 (x>0) 求f(x)
例7 已知 求f(x)
课堂练习：教材第47页 练习A、B
小结：本节课学习了分段函数及其简单应用，进一步学习了函数解析式的求法.
课后作业：（略）
1．下列图象可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是 ( )．
答案 D
2．已知函数f(x)＝则f(f(f(－1)))的值等于( )．
A．π2－1 B．π2＋1
C．－π D．0
解析 f(－1)＝π2＋1，f(π2＋1)＝0，f(0)＝－π.
答案 C
3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝m的交点个数为 ( )．
A．可能无数个 B．只有一个
C．至多一个 D．至少一个
答案 C
4．已知函数y＝f(n)满足f(1)＝8，且f(n＋1)＝f(n)＋7，n∈N＋.则f(2)＝________，f(3)＝________，f(4)＝________.
解析 f(2)＝f(1)＋7＝15，f(3)＝f(2)＋7＝22，f(4)＝f(3)＋7＝29.
答案 15 22 29
5．已知x∈N*，f(x)＝则f(3)＝________.
解析 ∵3＜6，∴f(3)＝f(3＋2)＝f(5)＝f(5＋2)＝f(7)＝7－5＝2.
答案 2
6．已知函数f(x)＝1＋(－2(1)用分段函数的形式表示该函数；
(2)画出该函数的图象；
(3)写出该函数的值域．
解 (1)当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1，当－2∴f(x)＝.
(2)函数f(x)的图象如图所示，
(3)由(2)知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)．
7．函数f(x)＝，若f(x)＝3，则x的值是( )．
A．1 B．1或
C．1，±， D.
解析 当x≤－1时，x＋2≤1<3；当x≥2时，2x≥4>3，f(x)＝3中的f(x)不能用第1,3个对应法则，只能用f(x)＝x2，∴x2＝3，解得x＝(x＝－舍去)，故选D.
答案 D
8．已知函数f(x)定义在[－1,1]上，其图象如图所示，那么f(x)的解析式是( )．
A．f(x)＝
B．f(x)＝
C．f(x)＝
D．f(x)＝
解析 由图象知：当x∈[－1,0]时，f(x)＝x＋1，x∈(0,1]时，f(x)＝－x.
答案 C
9．设f(x)＝，则f{f[f(－)]}＝________，f(x)的定义域是________．
解析 ∵－1＜－＜0，∴f(－)＝2×(－)＋2＝，而0＜＜2，
∴f()＝－×＝－，
∵－1＜－＜0，∴f(－)＝2×(－)＋2＝.因此f{f[f(－)]}＝.
函数f(x)的定义域为{x|－1≤x＜0}∪{x|0＜x＜2}∪{x|x≥2}＝{x|x≥－1，且x≠0}．
答案 {x|x≥－1，且x≠0}
10．设函数f(x)＝使得f(x)≥1的自变量x的取值范围是__________．
解析 在同一坐标系中分别作出f(x)及y＝1的图象(如图所示)，观察图象知，x的取值范围是(－∞，－2]∪[0,2]．
答案 (－∞，－2]∪[0,2]
11．某地出租车的出租费为4千米以内(含4千米)，按起步费收10元，超过4千米按每千米加收1元，超过20千米(不含20千米)每千米再加收0.2元，若将出租车费设为y，所走千米数设为x，试写出y＝f(x)的表达式，并画出其图象．
解 当0当4当x>20时，y＝10＋16＋(x－20)×1.2＝1.2x＋2.
综上所述，y与x的函数关系为：
y＝
如图所示：
12．(创新拓展)已知函数f(x)＝
(1)求f(－3)，f[f(－3)]；
(2)画出y＝f(x)的图象；
(3)若f(a)＝，求a的值．
解 (1)∵x≤－1时，f(x)＝x＋5，
∴f(－3)＝－3＋5＝2，
∴f[f(－3)]＝f(2)＝2×2＝4.
(2)函数图象如图所示．
(3)当a≤－1时，f(a)＝a＋5＝，a＝－≤－1；
当－1＜a＜1时，f(a)＝a2＝，
a＝±∈(－1,1)；
当a≥1时，f(a)＝2a＝，a＝?[1，＋∞)舍去．
故a的值为－或±.
课件31张PPT。解析法 图象法 列表法 数学 图象 表格 对应关系 并集 分别作出每一段的图象 单击此处进入 活页规范训练
